2022-2023学年北京市汇文中学高一上数学期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．若函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是
A. B.
C. D.
2．下列直线中，倾斜角为45°的是（）
A. B.
C. D.
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A.(，1) B.(1，2)
C. D.
4．已知集合，，若，则实数a值的集合为（）
A. B.
C. D.
5．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（　　）
A. B.y＝lnx2，y＝2lnx
C D.
6．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A.{1} B.{3，5}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
7．已知函数，那么（）
A.-2 B.-1
C. D.2
8．已知角的终边与单位圆相交于点，则=（ ）
A. B.
C. D.
9．若-3和1是函数y=loga（mx2+nx-2）的两个零点，则y=logn|x|的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
10．若，都为正实数，，则的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
11．的零点所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
12．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是　(　　)

A.AB B.AD
C.BC D.AC
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．函数的值域是__________
14．函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________.
15．求值: ____.
16．函数的零点个数为__
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．求下列函数的值域
（1）
（2）
18．中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时)，从这两个班中各随机抽取名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如下表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过小时，则称为“过度熬夜”．
甲班

乙班

（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；
（2）为了解学生过度熬夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取个数据，求抽到的数据来自同一个班级的概率；
（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据，求恰有个数据为“过度熬夜”的概率
19．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时“经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；
t
0
10
20
30

0
2700
5200
7500
阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.

（1）请分别写出函数和的解析式；
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
20．设函数
（1）若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；
（2）若函数在，的最大值为，求实数的值
21．已知函数，
（1）若，求函数的值域；
（2）已知，且对任意的，不等式恒成立，求的取值范围
22．在①，，②，，两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知函数___________（填序号即可）.
（1）求函数的解析式及定义域；
（2）解不等式.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
【解析】因为函数在区间上单调递减所以时，恒成立，即 ，故选A.
2、C
【解析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.
【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为，
对于A，直线斜率为，
对于B，直线无斜率，
对于C，直线斜率，
对于D，直线斜率，
故选：C
3、D
【解析】为定义域内的单调递增函数，计算选项中各个变量的函数值，判断在正负，即可求出零点所在区间.
【详解】解：在上为单调递增函数，
又，

所以的零点所在的区间为.
故选：D.
4、D
【解析】,可以得到，求出集合A的子集，这样就可以求出实数值集合.
【详解】,的子集有，
当时，显然有；当时，
当时，；
当，不存在符合题意，
实数值集合为，
故选:D.
【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论.
5、D
【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】对于A， 定义域为，而定义域为，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数，排除A；
对于B，定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；
对于C，  定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；
对于D，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.
故选：D
6、C
【解析】根据补集的运算得．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误
7、A
【解析】直接代入计算即可.
【详解】
故选：A.
8、C
【解析】先利用三角函数的定义求角的正、余弦，再利用二倍角公式计算即可.
【详解】角的终边与单位圆相交于点，故，
所以，
故.
故选：C.
9、C
【解析】运用零点的定义和一元二次方程的解法可得
【详解】根据题意得，解得，
∵n=2＞1由对数函数的图象得答案为C.
故选C
【点睛】本题考查零点的定义，一元二次方程的解法
10、D
【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
故选：D
11、C
【解析】根据零点存在性定理进行判断即可
【详解】，，，
，根据零点存在性定理可得，则的零点所在区间为
故选C
【点睛】本题考查零点存性定理，属于基础题
12、D
【解析】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB13、
【解析】利用换元法，将变为，然后利用三角恒等变换，求三角函数的值域，可得答案.
【详解】由，得，
可设，
故，不妨取为锐角，
而，时取最大值），
，
故函数的值域为，
故答案为:.
14、64
【解析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.
【详解】令，则，故点；
设幂函数，
则，
则；
故；
故答案为：64.
15、
【解析】根据诱导公式以及正弦的两角和公式即可得解
【详解】解：因为，

故答案为：
16、3
【解析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，

由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.
故答案为：3

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）（2）
【解析】(1)由，可得，从而得出值域；
(2)令将原函数转化为关于的二次函数，再求值域即可.
【详解】（1）

值域为
（2）设

当时y取最小值
当时y取最大值
所以其值域为
【点睛】本题主要考查的是三角函数最值，主要用型和换元后转换成二次函数求最值，考查学生的分析问题，解决问题的能力，是基础题.
18、（1），；（2）；（3）
【解析】（1）利用平均数公式代入求解；（2）由题意得甲班和乙班各有“过度熬夜”的人数为，计算得基本事件总数和个数据来自同一个班级的基本事件的个数，然后利用古典概型的公式代入计算取个数据来自同一个班级的概率；（3）甲班共有个数据，其中“过度熬夜”的数据有个，计算得基本事件总数和恰有个数据为“过度熬夜”的基本事件的个数，利用古典概型的公式代入计算恰有个数据为“过度熬夜”的概率.
【详解】（1）甲的平均值：；乙的平均值：；
（2）由题意，甲班和乙班各有“过度熬夜”的人数为，抽取个数据，基本事件的总数为个，抽到来自同一个班级的基本事件的个数为，则抽取个数据来自同一个班级的概率为；
（3）甲班共有个数据，其中“过度熬夜”的数据有个，从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据，基本事件的总数为个，恰有个数据为“过度熬夜”包含的基本事件的个数为个，则恰有个数据为“过度熬夜”的概率为.
19、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b.令＝kt，,代入（40，8000），解得k,再令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到和的解析式；
（2）由题意知每天的阅读量为=，分和两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.
【详解】（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以 ,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 .
（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为，则对“古诗词”的阅读时间为，
① 当，即时，
=
=，
所以当时，有最大值13600.
当，即时，
h
=，
因为的对称轴方程为，
所以 当时，是增函数，
所以 当时，有最大值为13200.
因为 13600>13200，
所以阅读总字数的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档
20、（1）
（2）
【解析】（1）通过，求出．得到函数的解析式，解方程，求解函数的零点即可
（2）利用换元法令，，，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可
【小问1详解】
解： 的图象关于原点对称，
奇函数，
，
，
即，．所以，所以，
令，
则，
，又，
，解得，即，
所以函数的零点为
【小问2详解】
解：因为，，
令，则，，，
对称轴，
当，即时，，；
②当，即时，，（舍；
综上：实数的值为
21、（1）；
（2）当时，；当且时，.
【解析】（1）由题设，令则，即可求值域.
（2）令，将问题转化为在上恒成立，再应用对勾函数的性质，讨论、，分别求出的取值范围
【小问1详解】
因为，
设，则，
因为，所以，即
当时，，当或时，，
所以的值域为.
【小问2详解】
因为，所以，
又可化成，
因为，所以，
所以，
令，则，，
依题意，时，恒成立，
设，，
当时，当且仅当，，故；
当，时，在上单调递增，
当时，，故，
综上所述：当时，；当且时，.
【点睛】关键点点睛：应用换元法及参变分离，将问题转化为二次函数求值域，及由不等式恒成立、对勾函数的最值求参数范围.
22、（1）条件选择见解析，答案见解析；
（2）条件选择见解析，答案见解析.
【解析】（1）根据所选方案，直接求出的解析式，根据对数的真数大于零可求得函数的定义域；
（2）根据所选方案，结合二次不等式和对数函数的单调性可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：若选①，，由，解得，
故函数定义域为；
若选②，，易知函数定义域为.
【小问2详解】
解：若选①，由（1）知，，
因为在上单调递增，且，所以，
解得或.
所以不等式的解集为；
若选②，由（1）知，，
令，即，解得，即，
因为在上单调递增，且，，所以.
所以不等式的解集为.