交通工程习题2.doc

补充习题2
1、如图见某交叉口信号周期长为90s，某相位的有效绿灯时间为45s，在有效绿灯时间内排队车辆以1200辆每小时的流量通过交叉口。假设信号交叉口上游车辆到达率为400辆每小时，服从泊松分布。求：
（1）一个周期内到达车辆不超过10辆的概率；
（2）求到达车辆不致两次排队的周期最大百分率。
1. 解：
1）由于车辆到达率为400辆/h，所以一个周期内平均到达车辆数：
m=
所以一个周期内到达车辆数X不超过10辆概率为：
P(X<=10) =
2）由于到达车辆只能在有效绿灯时间内离开，所以一个周期内能离开最大车辆数为，如果某周期内到达车辆数X大于15辆，则最后到达的X-15辆车就不能在本周期通过，而要在下个周期通过，以致二次排队。所以，不发生二次排队的概率为：
P(x<=15) =
2、设有30辆车随意分布在6KM长的道路上，试求其中任意500m长的一段，至少有4辆车的概率。
解：由题意知，由于30辆车独立而随机地分布在6km长的道路上，因此，500m长路段上所包括的车辆平均数为：
m=，故其上的车辆数服从泊松分布：
P(X=x)=，P(x=0)==0.082
由递推公式P(X=x)
得到：P(X=1)=0.205 ；P(X=2)=0.257 ；P(X=3) =0.214

3、某交叉口最新的改善措施中，欲在交叉口入口设置一条左转弯候车道，为此需要预测一个周期内到达的左转车辆数。经研究发现，来车符合二项分布，并且每个周期内平均到达25辆车，有25％的车辆左转。求：
（1）求左转车的95％置信度的来车数；
（2）求到达5辆车中有一辆左转车的概率。
解：（1）由于每个周期平均来车辆数位25辆，而左转车只占25%，所以左转车x的分布为二项分布
，
因此，置信度为95%的来车数应满足：

计算可得：。
因此，可令。即左转车的95%置信度的来车数为9。
（2）由题意知，到达左转车服从二项分布：

所以
因此，到达5辆车有1辆左转车的概率是0.3955。

4、有一个无信号交叉口，主要道路上的车流量为Q辆/小时，次要道路上车辆横穿主路车流所需要的时间为 秒，假设主要道路上车头时距服从负指数分布，求次要道路上车辆的平均等待时间。
解：主要道路上车头时距为负指数分布，即分布密度为，分布函数为，其中。
由于只有当主路上车头时距时，次要道路上车辆才可以穿越。
所以，主路上任意一个间隔可被接受的概率为：

拒绝的概率为：
可求任意一个被拒绝的间隔，其分布为，即：

由概率论的条件概率论部分知识，可求得：

所以被拒绝的间隔平均长度为：

假设次要道路上的车辆接受了第i+1个间隔，则其前j个间隔都小于2，只有第j+1个间隔不少于2。所以拒绝j个间隔的概率为：

车辆等待的时间为拒绝的平均间隔数与其平均长度的乘积，故等待时间为，即：

5、一个停车库出口只有一个门，在门口向驾驶员收费并找零钱。假设车辆到达服从泊松分布，车辆平均到达率为120辆/h，收费平均持续时间15s，服从指数分布，试求收费空闲的概率、系统中有n辆车的概率、系统中平均车辆数、排队的平均长度、平均非零排队长度、排队系统中的平均消耗时间、排队中的平均等待时间。
解：由题意知，这是个M/M/1系统，并且辆/小时，次/小时。

系统稳定。
收费空闲的概率（系统中没有顾客的概率）：

系统中有n辆车的概率：
系统中的平均车辆数：
平均排队长度：辆
平均非零排队长度：辆
系统中的平均消耗时间：分钟
排队中的平均等待时间：

6、拟修建一个服务能力为120辆/h的停车场，只有一个出入通道。据调查每小时有72辆车到达，假设车辆到达服从泊松分布，每辆车服务时间服从负指数分布，如果出入通道能容纳5辆车，问是否合适？
解：这个是M/M/1排队系统。
由题意可知：辆/小时，辆/小时，
因此此系统稳定。
系统中平均车辆数为：辆<5辆。
因此，系统中的平均车辆数小于通道的容纳能力，故合适！