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轴对称复习讲义
知识点一、轴对称的概念以及性质
1．如果一个图形沿着一条直线_____，直线两旁的部分能够_____，那么这个图形叫做_____，这条直线叫做它的_____，这时，我们也就说这个图形关于这条直线（或轴）_____．
2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与_____重合，那么这两图形叫做关于_____，这条直线叫做_____，折后重合的点是_____，又叫做_____．
练习
1、在图1－2的几何图形中，一定是轴对称图形的有 （ ）

图1－2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、如图1－3，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 （ ）

A．30° B．50° C．90° D．100°
轴对称的性质：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图
形的 、 完全相同。
（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的 点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴
作轴对称图形：
1、如图（1）和图（2），已知△ABC和直线l，你能分别作出△ABC关于直线l对称的图形。
l
C
B
A
图（2）
图（1）

2、和最小问题
1）已知直线l及直线异侧两点A、B，在直线l上取一点C，使得点C到A、B两点的距离之和最近（CA+CB最小）；
2）已知直线l及直线同侧两点A、B，在直线l上取一点C，使得点C到A、B两点的距离之和最近（CA+CB最小）。
·B
·A
l
·B
·A

l

3）、如图，∠xoy内有一点p，在射线ox上找出一点M，在射线Oy上找出一点N，使PM+MN+NP最短。

线段垂直平分线

垂直平分线性质：

B
C
D
E
A
1、如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是

2、　如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，
求AC的长度

B

3、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

4、下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5、如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于

[     ]
A．28° B．25° C．22.5° D．20°

垂直平分线的判定
1、如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对

2、

如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）OE是CD的垂直平分线；（3）∠ECD=∠EDC

角的平分线的性质
1、三角形中到三边距离相等的点是（　　）
A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点　
C、三条中线的交点　 D、三条角平分线的交点

2、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
则可供选择的地址有（　　） A、4处　　 B、3处　　 C、2处　　　D、1处

1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）
A、1
B、2
C、3
D、4

2.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）
A、PA=PB
B、PO平分∠APB
C、OA=OB
D、AB垂直平分OP

3.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC= 3： 2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　）
A、3：2
B、 3： 2
C、2：3
D、 2： 3

4.

4、如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　
A、1：1：1
B、1：2：3
C、2：3：4
D、3：4：5

5、在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为

6、
如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是

7、如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于

8.如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD=180°，请说明CD=DB的理由．

9、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，求△DEB的周长。

角平分线判定
1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，
AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。

2、如图：在△ABC中，，O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点。
求证：点O在∠A的平分线上。

3、如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。
求证：点D在∠A的平分线上。

4、如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线

5、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.

6、如图：在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC，BC⊥DF，垂足为F，AF交BD于E。
求证：AE=EF。

7、如图：在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC，垂足为E，F。求证：EB=FC。

综合应用
1、如图如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则DE等于______．

2、如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB。下列确定点P的方法正确的是

A.P为∠A、∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AB、AC两边上的高的交点
D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

3、
如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）求AE的长．

4、作图：有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）