2015届山东省威海市高三五月中旬文科数学试题及答案.doc

高三文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数满足，则的虚部为
（A） （B） （C） （D）
2.已知集合,则是的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
3.设单位向量的夹角为，，则
（A） （B） （C） （D）
4.已知等差数列满足，则下列选项错误的是
主视图
左视图
俯视图
1
2
第5题图
.
（A）（B）（C）（D）
5.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A） （B） （C） （D）
6.双曲线的顶点到其渐近线的距离为
（A） （B） （C） （D）
7.周期为4的奇函数在上的解析式为，则

（A） （B） （C） （D）
8.已知满足约束条件，则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
9.在中，内角的对边分别是，若，的面积为，则
（A） （B） （C） （D）
10.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是
（A）在单调递增 （B）在单调递减
（C）在上有极大值 （D）在上有极小值
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．
输出

是
结束
否
开始

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.右面的程序框图输出的的值为_____________.
12.在区间上随机取一个点，若满足的概率为，
则____________.
13.若点在函数的图象上，则_______.
14.已知且，则的最小值为______.
15.函数的零点个数为___________.
三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分） 已知向量，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为.
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
17.（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,某月的产量如下表(单位:辆):
类别
A
B
C
数量
400
600

按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆A类轿车的概率;
1 2　9 4 2 3
6　3　8　5

A类轿车得分
B类轿车得分

（Ⅲ）用随机抽样的方法从A,B两类轿车中各抽
取4辆，进行综合指标评分，经检测它们
的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较
稳定.
18.（本小题满分12分）已知 是各项都为正数的数列，其前 项和为 ，且为 与的等差中项.
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设求的前项和.
19.（本小题满分12分）如图：是直径为的半圆，为圆心,是上一点，
O
F
B
C
E
D
R
Q
且.，且，，为的中点，为的中点，为上一点,且.
(Ⅰ)　求证： 面⊥面；
（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

20.（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，求函数的极小值；
（Ⅲ）若方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围.
21.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率，它的一
个顶点在抛物线的准线上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上两点，已知，
且.
（ⅰ）求的取值范围；
(ⅱ)判断的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.

高三文科数学试题参考答案
一、选择题 D A D C A, B B D A D
二、填空题
11. ； 12. ； 13 ； 14. ； 15. ；
三、解答题
16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
， ----------------------2分
由题意知，，， ----------------------3分
. ----------------------4分
由，
解得：, ----------------------5分的单调增区间为. ---------------6分
（Ⅱ）由题意，若的图像向左平移个单位，得到，
再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，------8分
，， ----------------------10分
， ----------------------11分
函数的值域为. ---------------------12分
17．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ)由题意得,,所以 ------------------3分
(Ⅱ)根据分层抽样可得,,解得 -------------------4分
∴样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(A1, A2) (A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3),(B1 ,B2), (B1 ,B3) , (B2 ,B3)共10个,其中至少有1辆A类轿车的基本事件有7个: (A1, A2) ,(A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3), ,所以从中任取2辆,至少有1辆A类轿车的概率为.
----------------------6分（Ⅲ）, --------8分
∴, ----------------------10分
∵,∴B类轿车成绩较稳定. ----------------------12分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，即，① ----------------------1分
当时，由①式可得; ----2分
又时,有，代入①式得
整理得． ----------------------3分
∴ 是首项为1，公差为1的等差数列. ----------------------4分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得， ----------------------5分
∵ 是各项都为正数，∴， ----------------------6分
∴（）， -------------------7分
又,∴． ----------------------8分
（Ⅲ） ----------------------10分

∴的前项和. ----------------------12分
F
R
Q
B
C
E
D
O
M
19．（本小题满分12分）
证明：(Ⅰ)∵,,,∴,
∴ ----------------------1分
又,∴⊥平面 ----------------------2分
∴⊥，
又⊥,∴⊥平面, ----------------------3分
∵面
∴面⊥面. ----------------------4分
（Ⅱ）连接OQ，在面CFD内过R点做RM⊥CD，
∵O,Q为中点，∴OQ∥DF,且 -----------------5分
∵　∴RM∥FD,　 ----------------------6分
　又,∴,∴，
∵E为FD的中点，∴. ----------------------7分
∴∥,且
∴为平行四边形，∵∥ ----------------------8分
又平面, 平面,　　∴∥平面. ---------------------9分
（Ⅲ）∵，∴，∴在直角三角形BCD中有，，
∴--------12分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立；---1分
∴， ----------------------2分
∵，∴， ----------------------3分
∴时函数的最小值为，
∴ ----------------------4分
(Ⅱ) 当时， ------------------5分
令得，
解得或（舍），即 ----------------------7分
当时，，当时，
∴的极小值为 ----------------------8分
（Ⅲ）将方程两边同除得
整理得 ----------------------9分
即函数与函数在上有两个不同的交点； ----------------------10分
由（Ⅱ）可知，在上单调递减，在上单调递增
，当时， ∴
实数的取值范围为 ----------------------13分
21. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为抛物线的准线， --------------------1分
由 ----------------------2分
∴椭圆的方程为. ----------------3分
（Ⅱ）由得 ----------------------4分
设所在直线为,当斜率不存在时，
则，又，
----------------------5分
当斜率存在时，设方程，
联立得

且 ----------------------7分

由整理得-----------8分

由得，
综上：. ----------------------10分
（ⅱ）由（ⅰ）知，斜率不存在时， ，----------------11分
斜率存在时，

将带入整理得 ----------------------13分
所以的面积为定值 . ----------------------14分

·14·