二次函数与四边形答案.doc

1. 解：（1）∵y=-x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）
∵抛物线过A、B两点，
则：，解得，
∴抛物线解析式为：y=-x2+x+2．
（2）如答图1，
设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4-t．
∵tan∠ABO===，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4-t）×=2-t．
又N点在抛物线y=-x2+x+2上，且点横坐标是:x=t，
∴N点纵坐标：NE=-t2+t+2，
∴MN=NE-ME=-t2+t+2-（2-t）=-t2+4t．
∴当t=2时，MN有最大值4．
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如图2所示

（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由AD=MN，得=4，解得a1=6，a2=-2，
∴D1点为（0，6），D2点为（0，-2）．
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点．
设直线D1N为：y=kx+b,则
，解得
∴直线D1N解析式为：y=-x+6．
设直线D2M为y=kx+b,则
，解得
∴直线D2M解析式为：y=x-2．
联立，得
∴D3点为（4，4）
综上所述，满足条件的D点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．
2. 解：(1)∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x﹣5上，
∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，
∴A(1，﹣4)．
(2)△ABD是直角三角形．
将A(1，﹣4)代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，
∴y=x2﹣2x﹣3，∴B(0，﹣3)
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3
∴C(﹣1，0)，D(3，0)，
BD2=OB2+OD2=18，AB2=(4﹣3)2+12=2，AD2=(3﹣1)2+42=20，
BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
(3)存在．
由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点A(0，﹣5)，交x轴于点F(5，0)
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C
设P(x1，x1﹣5)，则G(1，x1﹣5)
则PC=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得：
(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2，4
∴P(﹣2，﹣7)，P(4，﹣1)
存在点P(﹣2，﹣7)或P(4，﹣1)使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．
3.解：（1）A（1，4）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a(x-1) 2+4
因抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）2+4
∴a=-1
所以抛物线的解析式为y=-(x-1) 2+4，
y=-x2+2x+3
（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6. 点P（1，4-t）
将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+.
∴点G的横坐标为1+t/2，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t2/4.
∴GE=（4-）-（4-t）=t-.
又点A到GE的距离为t/2，C到GE的距离为2-t/2，
S△ACG=S△AEG+S△CEG=1/2·EG·t/2+1/2·EG（2-t/2）
=·2（t-）=-（t-2）2+1.
当t=2时，S△ACG的最大值为1.
（3）t=或t=20-8。
4.解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，
若△ABO∽△AP1D，则
∴DP1=AD=4 , ∴P1
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4,
∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）
（3）如图设点E ，则

①当P1(-1,4)时，
S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE =
∴ ∴
∵点E在x轴下方 ∴
代入得： ,即
∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解
②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =
∴ ∴
∵点E在x轴下方 ∴ 代入得：
即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（
解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3．∵点A在点B的左侧，
∴A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则，
解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3．∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）抛物线上有三个这样的点Q，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，
代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，
代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；
综上可得满足题意的点Q有三个，
分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．
（3）点B作BB'⊥AC于点F，使B'F=BF，则B'为点B关于直线AC 的对称点．
连接B'D交直线AC与点M，
则点M为所求，过点B'作B'E⊥x轴于点E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2，
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴，由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）
得OA=1，OB=3，OC=3，
∵AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB'=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B'EB，
∴，
∴，
即．
∴B'E=，BE=，
∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B'点的坐标为（﹣，）．
设直线B'D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
∴，
解得，
∴直线B'D的解析式为：y=x+，
联立B'D与AC的直线解析式可得：，
解得，
∴M点的坐标为（，）．

6.解：（1）将A（-3,0）,D(-2，-3)的坐标代入y=x2+bx+c得，
，
解得：，
∴y=x2+2x－3 ……………2分
由x2+2x－3=0，
得： x1=-3，x2=1，
∴B的坐标是（1,0），
设直线BD的解析式为y=kx+b,则
，
解得：
，
∴直线BD的解析式为y=x－1； ……………………4分
（2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,
∴直线EF的解析式为：y=x－a. ……………………5分
若四边形BDFE是平行四边形，
则DF∥x轴,
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3. ……………6分
由，得
y2+（2a+1）y+a2+2a-3=0，
解得：y=. ……………………7分
令=－3，
解得：a1=1，a2=3. ……………………9分
当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意.
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形. ……………10分