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课时38 数学思想和方法
【学习目标】
1. 了解初中常见的几种数学思想和方法。
2. 会分辨使用的数学思想和方法，能主动运用数学思想和方法解题。
一、【知识回顾】
b
a
0
1、（八上P60第7题）如果a、b表示两个实数的点，在数轴上的位置如图所示x，那么化简的结果等于（ ）
A、2a B、2b C、-2a D、-2b
2.、点O在矩形ABCD内可随意运动，已知矩形ABCD的长为4，宽为3，则O到点A的距离不超过1的概率是
3.（九下P73第13题）△ABC是一块锐角三角形材料边长BC=120mm高AD=80mm要把它加工成长方形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上这个矩形零件的长和宽各是多少时，面积最大？求最大值。

4、（九上P22第22题）已知，求的值。
5、（七下P60第7题）如图，三角形中任意一点P（xo、yo）经半移后对应点为P1（xO+5，yo + 3) ，将三角形ABC作同样的半移得到三角形A1B1C1 ，求A1，B1 ，C1的坐标。
6、（八下P159面第4题）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株麦苗，测得苗高如下（单位：cm）
甲 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
①分别计算两种小麦的平均苗高;②哪种小麦的长势比较整齐?

二、【知识梳理】
思想和方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想。是具体数学知识技能转化为能力的纽带，是知识与技能的升华。近年来中考试题对常见的数学思想方法进行了适度而又比较突出的考查。
1. 常见的数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想、函数与方程思想、统计思想。
常见的数学方法：待定系数法、配方法、整体代人法分类讨论法、反证法、归纳法。
2. 知识点简介
【1】.数形结合思想：数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:
一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;
二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等
热点内容 (1).利用数轴解不等式(组)
(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.
(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.
(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构造方程(组),求得有关结论等问题.
【2】分类讨论思想：就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐步进行研究和求解的一种数学解题思想。对于因存在一些不确定因素，解答无法用统一的方法或者结论不能给以统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类，或若干个局部问题来解决。对问题进行分类讨论时，必须做到不重不漏，必须按同一标准分类。
引起分类讨论的几个主要原因 ：
1.问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型.
2.问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如讨论一次函数
ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.
3.解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>2时分a>0、a＝0
和a<0三种情况讨论.这称为含参型.
4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.
【3】转化（化归）思想：就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．
三、【典例精析】
1．（黄冈09）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）
A．12分钟 B．15分钟
C．25分钟 D．27分钟
2.（09河南）.某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、
冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示：
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在(1)的条件下．如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?

A
B
C
DO
G
H
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，G，H分别是BD，AC中点，求证：GH=(BC-AD)

4、(福州2008) 如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点 Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动，设运动时间 为t(s),解答下列问题:
（1）当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
（2）设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
（3）作QR∥BA交AC于点R,连接PR,当t为何值时, △APR∽△PRQ?

O
B
A
A

第2题

四、【当堂训练】
1、已知|x|=4，|y|=且xy＜0则=
2．如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组的
解集为
3、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C也在坐标轴上，△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C最多有 个。
4、要做甲、乙两个形状相同的三角形框架，已有的三角形框架甲的三条边长分别为50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一条边为20cm那么符合条件的三角形框架乙共有 种。
5、某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店准备提高销售价格在，经试验发现，当按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；当每件25元销售时，每月能卖210件，假定每月销售的件数y是价格x(元/件)的一次函数。
（1）求y与x的函数关系式。
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，当销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？最大利润是多少？

A
P
B
C
O

五、【课后作业】
1、若不等组的正整数解只有2，求a的整数值
2、已知⊙O的半径为5，AB为弦，P是线AB上的一点，PB=3，AB=8，tan∠OPA的值为 。
3、如图AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A=50° 点P是圆上异于B、C的
一个动点，则∠BPC= 度。
S
第4题
4、如图，电影胶片上每一个图中的规格为3.5cm×3.5cm,放映屏幕
的规格为2m×2m，若放映机的光源S距胶片20cm，则光源S距屏
幕 m时，放映的图象刚好布满整个屏幕。
5、甲、乙两班的学生到集市上购买苹果，苹果价格如下：
购苹果数
不超过30kg
30kg上50kg以下（含50kg)
50kg以上
每千克的价格
3元
2.5元
2元
甲班分两次共购苹果70kg(第二次多于第一次)共付189元,而乙班一次购买苹果70kg,
①乙班比甲班少付多少元? ②甲班第一次,第二次分别购买苹果多少千克?

6.（09遂宁25）.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横
坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

7．（08天门）如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．
(1)点N的坐标为(　　　　　　　　，　　　　　　　　　)；
(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？
(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．