车库的车位停泊设计-数学建模作业.doc

绍兴文理学院数模竞赛C题
近几年我国居民活水平有了显著提高，我校有越来越多的教师购置了汽车，为了解决停车问题，在图书馆前面造了一个地下车库。车库面积有限，问题是如何利用车库高效地停车，即在保证安全的情况下，尽可能多地停车。为简单起见，我们假设该车库是一个100x100米的正方形，见下图

出口
入口

教师的车都是标准的轿车2x3米,车的最小转弯半径为４米，试设计一个最佳停车方案（只考虑平面）。

数
学
模
文
论
建

论文题目：车库的车位停泊设计

姓名1： 学号： 专业：
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年 月 日

目录

一.摘要 1
二.问题的提出 1
三.问题的分析 2
四.建模过程 2
1.模型假设 2
2.定义符号说明 3
3.模型建立 3
(1)单车停放设计 3
(2)停车场整体布局 9

五.模型的评价与改进 12

12

一. 摘要：

“车库的车位停泊设计”数学模型是利用数学模型的计算来规划出一种使用更合理、利用率高的车库车位停泊方案。近几年来，随着人们生活水平的提高，私家车的数量越来越多，汽车的停泊就成为一个越来越重要的问题，如果汽车停泊问题不能合理的解决，将会影响到汽车的使用。许多大型公司或者是商场门前，都设有自己的停车场，停车场的面积是有限的，而我们希望的就是在这有限的面积内尽可能停放更多的汽车。当然，停放尽可能多的汽车只是建造停车场时一个需要解决的问题，一个比较成功的停车场还需要具备的就是良好的汽车疏导能力，这就需要在停车场设计时更合理的安排汽车的停放位置。另外还需要考虑的就是停车场的监控设施和照明设施。监控设施一方面用来保障停车场的财产安全，另一方面还可以监督车辆出入行驶。照明设施是停车场必备的设施，但怎样的电灯位置设计才是最合理的呢？这也是停车场在建造的过程中必须解决的问题！
由于车库的车位停泊不仅要考虑使车库容纳尽可能多的汽车，又要考虑使停泊在车库中的汽车能方便自由的出入，就需要解决以下三个问题：（1）汽车在车库中的停放姿势。汽车通常的停放姿势有水平停放，这是通常马路上惯用的停车姿势，也有垂直停放，这在一些小型的停车场也经常能够看到，还有一种就是倾斜式的停车姿势，这是现在大型停车场常用的停车姿势。但是汽车倾斜的角度不同，车位占用的面积就有所不同，什么样的角度才能使车位的占地面积最小呢？（2）车库的整体规划。汽车在车库中出出入入，如果没有一个合理的整体规划，那么汽车出入的效率将会很低，这不是一个合理的车库应出现的。什么样的规划才是比较合适的方案呢？（3）车库的进出口问题。每一个车库都有进出口，但是进出口的位置应该放在哪呢？进出口的个数应该有几个呢？显然，如果只有一个进出口，那么对于大型收费停车场是极为不方便的！如果能在车库的车位停泊问题上很好的解决以上三个问题，这应该就是一个比较成熟的方案！

关键字：车库 车位停泊 规划方案

二.问题的提出
随着城市车辆的增加，停车位的需求量也越来越大，停车困难已逐渐成为市民们头疼的问题。要解决停车难问题，除了尽可能的增加停车场以外，对停车场进行优化设计也能在一定程度上缓解这一供需矛盾。停车场的优化设计就是在停车场大小确定的情况下，对停车区域进行优化设计，以便容纳更多的车辆。本文的目的就是希望分析一下这一情况，找出缓解停车困难的有效办法。
三．问题的分析
由题意可以得出，目的就是要建立一种模型，使每一个汽车尽可能在停车场中自由的出入，同时每一个停车位的面积又最小，从而停车场的利用率能够达到很高！首先我们需要建立一个倾斜角与车位面积和汽车通道宽度的函数，然后利用这个函数得出在什么样倾角的前提下，每一个停车位的面积与汽车通道能够占地最小。问题二中，我们考虑让每一个停车位都能紧靠一个汽车通道，并且尽可能多的增加汽车通道的个数，这样就能使汽车在停车场中方便自由的出入。问题三中，在结合汽车通道的条件下，尽量增加汽车进出口的个数！最后根据网上提供的知识，再结合自己的亲身体验，写出车库车位停泊的可行性方案。

四.建模过程
模型假设：

假设某公共场所附近有一块空地，而且这个停车场停放的只有小型家用汽车的前提下，如果不考虑建设地下或多层结构，我们该如何有效的设计停车位置呢？一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径”， 而通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。所以我们的问题就是要确定在满足车辆能够自由进出的实际需求下，如何进行停车位置和车行通道的设计，才能够停放更多的车辆，从而做到既方便停车又能获得最大的经济效益。
2.定义符号说明：
停车场中停放汽车需要的车位长（这其中包括了0.1米的标志线宽度）
停车场中停放汽车需要的车位宽（至少0.3米的汽车间的横向间距）
C1 汽车最小转弯半径
C2 汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离
θ 表示汽车的倾斜角度
R 通道的最小宽度
L 汽车停车位长度
L0 停车位末端的距离
W 汽车停车位宽度
K 汽车真正的宽度
3.模型建立：

（一）单车停放设计

考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。根据实际调查，可设汽车的最小转弯半径为C1，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为C2 = C1-K ，如图1所示。

图1

我们先不考虑停车场的实际大小，只是来研究一下应当如何给出局部设计，才能使每辆车占据的停车场地面积最小。对于每一个车位，为了便于该车位上的小汽车自由进出，必须有一条边是靠通道的，设该矩形停车位的长边与通道的夹角为，其中便是车辆垂直从通道驶入车位，就是车辆从通道平行驶入车位，即平时所说的平行泊车。为了留出通道空间和减少停车面积，显然，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，如图2所示。

西
东
θ
图2

上图中，汽车是自东向西行驶顺时针转弯角度驶入车位的。我们来具体研究一下汽车驶入车位的情况，见图3，其中为最小转弯半径，为通道的最小宽度。我们假定汽车的最外端在半径为的圆周上行驶，且此时轿车的最内端在半径为的圆周上随之移动，然后以角度进入停车位，所以通道的最小宽度。

θ
图3

θ
L
R

W
图4

每辆车均以角度停放，用表示小轿车停车位宽度，表示小轿车停车位长度（这里的最上方并没有取到最上端是考虑到车身以外的小三角形区域可以留给对面停车位使用），表示停车位末端的距离，易见他们分别是停车角的函数，且有

现在按照图4所示，计算一下每辆车占据的停车场面积.考虑最佳排列的极限情况，假设该排车位是无限长的，可以忽略该排车位两端停车位浪费掉的面积，因为它们被平均到每个车位上去的公摊面积很小，可以不计。从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为，另外，它所占的通道的面积为。考虑到通道对面（也就是图4的下部）也可以有类似的一排车位可以相互借用此通道，所以可以对占用的通道面积减半，于是我们得到：
（1）
我们的目标就是求出的最小值。
根据我们的实际调查，我们得出城市家用汽车的一些参数的实际平均值，我们这里就用这些实际平均值作为我们今天运算的标准数据。城市家用汽车的长度一般不超过3米，宽度一般不超过2米，所以这里，然后再考虑到0.1米的标志线宽度和至少0.3米的汽车间的横向间距，所以我们规定 =3.1米， =2.3米，K=2米，C1=4米，
C2=2米，于是得到：
S(θ)=7.13+,

所以，当，即（取其补角），达到最小值，且面积最小值为11.77平方米。
需要说明的是，当角等于0是，此时每辆车都得采用平行泊车的方式进入车位，这是现实生活中马路边的停车位常见的情况，在一般的停车场中几乎很少看到。平行泊车对驾驶员的技术要求较高，所以我们不考虑这样的情况。事实上，即便要计算在这种情况下每单位车辆所占据的停车场面积也不困难，只不过对于平行泊车，所要求的每个车位的长和宽不应再是上面所说的和，特别是停车位的长度将变得更长（否则，停泊的车辆将无法进出），其所要求的行车道的最小宽度也得足够大，以便能让泊车车辆通过，车位图形需按小轿车路线重新绘制,通过下面的绘图，我们可以从直观上了解到平行停车的方法要比倾斜角停车的方法占用的地方多。

以上是我们对局部汽车的停放方法做了一下设计，我们计算出当汽车的倾斜角到达时，每一辆汽车所占用的地方最小，接下来我们需要做的就是设计一下停车场的整体布局。

（二）停车场整体布局
上面的局部分析告诉我们，如果保持一排车位方向一致，且与单向通道的夹角为，可使单位车辆占据的面积最小，此时宽度为的单向通道分别提供给其两边的停车位使用。在通道两边都各安排一排汽车车位时，考虑到路线的单行性质，通道两边的停车位角度应该相对，如图5所示。

图5

对每一排停车位，其一边为通道，另一边则可以是另一排停车位或者是停车场的边缘。所以停车排数最多只能是通道数的两倍，即：
（2）
另一方面，如果按照一排停车位，一条通道，一排停车位这样三排一组的形式加以组合，依次排列，确实也可以达到。即（2）式中的等号是可以成立的。此时，车位数可以达到停车位位置的最大值，排列情况同样可以见图5.
图5显示，在每排车位数相当大或者说，在不考虑整个停车场四角浪费的那些面积时，我们可以使每单位车辆占用的停车场面积最小，并且对于小轿车来说，此最小值在车位角度时达到。
由可以求出每一个停车位的宽度为2.31米，由可以得出停车位的长度为3.18米，由可以算出同车道的最小宽度为3.85米，从而可以得出每一组停车位的宽度为2L+R为10.21米，因为地下停车库是100*100的，所以经过计算可以大概容得下9组停车位，而宽度没有用完，还剩大概8.91米，此时能够容得下一排停车位和一个同车道（大约为7.03米），这样每排停车位基本安排完毕。因为停车位的宽度大约为2.31米，这样100米可以容下大约43辆车，但是考虑到车库里面和最外面需要一排通道来为作为进出通道的导航，而且这样的导航通道一般作为整个车库的主干线，所以车流量会非常大，因此把这些通道的宽设为一般通道的两倍，这样，具体的车库设计模板如下图所示：

主干道A
北
455
Ⅳ
90
图6
主干道B

正如上图所示，这样100*100的停车库就需要抽出4R的长度作为主干道，即15.4,米，车库就剩下84.6米作为车排的长，这样每排停车位可以停放36辆车，这样一共有19排停车位，一共可以停放684辆车。
车库的大体模型就是这样，另外还要考虑车库的装饰问题。如果这个停车库是用作收费的，那么可以再每一个进入车库的入口设立收费系统。由于两条主干道都可以进行汽车的出入，所以在很大程度上缓解了主干道上的车流量压力。另外，需要考虑的就是车库的灯光问题。作为一个地下停车库，库内的灯光很重要。经过市场调查，普通灯泡的照明半径大约是20米左右，所以使车库内足够的明亮，我们需要在车库内装有9盏灯。这些灯的具体位置如在上图五角星所示。另外，我们为了车库的安全起见，我们还需要在车库内按上监控设施，即摄像头。经过调查，普通摄像头的扑捉半径一般为50米。经过计算，整个车库安装一台摄像头即可。但是为了保险起见，我们在车库内安装4台摄像头。摄像头的具体位置如上图所示。
五 模型的评价与改进
模型的整体设计基本满足题目中的要求，而且做到了容纳尽可能多的汽车。现实中的很多停车场在主干道的两侧都停放了汽车，但是考虑到这样会加大主干道的车流量，所以，上述的设计方案减小了主干道的车流量压力。方案的不足之处就是整个地下室停车场的整体进出口只有两个进口与两个出口，这样的设计会给两个进口与两个出口带来很大的压力，或许会造成汽车排队等候进入停车场的情况，尤其是在教师上下班的高峰期。为了解决以上问题，可以在停车场的周围增加停车场的出入口，但是这样会在车库的实际建造上出现比较大的困难。为了解决以上问题，初步设计以下几个方案：
（一） 与车库的建筑施工商协商，尽量增加车库的整体的进出入口。这也是解决汽车出入车库拥堵的重要手段。
（二） 在不妨碍汽车整体布局的情况下，扩大两条主干线的宽度。两条主干线的宽度越大，主干线的车流速度就相应的会有多提升，这样可以增加汽车进出入车库速度。
（三） 实际调查教室汽车数量。如果学校老师拥有的汽车数量远小于车库汽车的容纳量，那么我们可以改进车库的设计方案，增加车库中主干道的条数。另外，教室上班或许不全是开汽车，如果有相当一部分老师是用电动车或者是自行车上班的，那么这时候可以减少车库中车位数，从而抽出一部分的空间用来停放自行车或者是电车。
（四） 在汽车上下班时安排员工进行督导。当然，一个正规的大型停车库是需要有人来看管的，这时候管理员在汽车进出入高峰时期可以从当临时汽车督导员的作用。