【Word版题库】第六章第3讲等比数列及其前n项和.doc

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第3讲　等比数列及其前n项和
一、填空题
1．设数列{a}前n项和为Sn，a1＝t，a2＝t2，Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，则{an}是________数列，通项an＝________.
解析　由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得Sn＋2－Sn＋1＝t(Sn＋1－Sn)，所以an＋2＝tan＋1，所以＝t，又＝t，
所以{an}成等比数列，且an＝t·tn－1＝tn.
答案　等比　tn
2．等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2＋a5＝0，则＝________.
解 ∵8a2＋a5＝8a1q＋a1q4＝a1q(8＋q3)＝0
∴q＝－2
∴＝＝1＋q3＝－7.
答案 －7
3．数列{an}为正项等比数列，若a2＝2，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前4项和S4＝________.
解析　由a1q＝2，a1qn－1＋a1qn＝6a1qn－2，得qn－1＋qn＝6qn－2，所以q2＋q＝6.又q＞0，所以q＝2，a1＝1.
所以S4＝＝＝15.
答案　15
4．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．
解析　∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知2＝×4t，显然t≠0，所以t＝5.
答案　5
5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2≥的最大正整数n的值为________．
解析　由等比数列的性质，得4＝a2·a4＝a(a3＞0)，所以a3＝2，所以a1＋a2＝14－a3＝12，于是由
解得所以an＝8·n－1＝n－4.
于是由an·an＋1·an＋2＝a＝3(n－3)＝n－3≥，得n－3≤1，即n≤4.
答案　4
6．在等比数列{an}中，an>0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．
解析 由已知a1a2·…·a7a8＝(a4a5)4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2＝2(当且仅当a4＝a5＝时取等号)．所以a4＋a5的最小值为2.
答案 2
7．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.
解析 ∵{an}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2，
又∵a2＋a8＝3，
∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，
∴q6＝＝2，∴q3＝，∴＝q3＝.
答案
8．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为________．
解析　由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥，即q的最小值为.
答案　
9．已知数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.
解析　由lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)得lg xn＋1－lg xn＝1，∴＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg 10100＝100.
答案　100
10．已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2，2a4＝b3，且存在常数α，β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n时成立，则αβ＝________.
解析　由题意，可设an＝2＋(n－1)d，bn＝qn－1，于是由得解得所以an＝2n，bn＝22n－2，代入an＝logαbn＋β，得2n＝(2n－2)logα2＋β，即2n(1－logα2)＝β－2logα2，所以
解得故αβ＝22＝4.
答案　4
二、解答题
11．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；[来源:]
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
解 (1)设等差数列{an}的公差是d.
依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3.
由a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.
(2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，[来源
得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，
所以bn＝3n－2＋cn－1.
所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)
＝＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)．
从而当c＝1时，Sn＝＋n＝.
当c≠1时，Sn＝＋.[来源:数理化网]
12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在最小的正整数m，使得n≥m时，an>恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．
解 (1)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以得＝1，
＝17.
相除得＝17，解得q4＝16.所以q＝2或q＝－2(舍去)．
由q＝2可得a1＝，所以an＝.
(2)由an＝>，得2n－1>2 011，而210<2 011<211，所以n－1≥11，即n≥12.
因此，存在最小的正整数m＝12，使得n≥m时，an>恒成立．
13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2·a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；
(3)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
解　(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，
所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根．
又公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13
所以解得a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.
(2)由1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1·a21＝a，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.
(3)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n.
假设存在常数k，使数列{}为等差数列，
由等差数列通项公式，可设＝an＋b，
得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b恒成立，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1使得{}为等差数列．
14．设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．
(1)若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{bn}是否为“和等比数列”；
(2)若数列{cn}是首项为c1，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，试探究d与c1之间的关系．
解　(1)因为数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，因此，bn＝2n－1，设数列{bn}前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，所以＝4.因此数列{bn}是“和等比数列”．
(2)设数列{cn}的前n项和为Rn，且＝k(k≠0)，则由{cn}是等差数列，得Rn＝nc1＋d，R2n＝2nc1＋d，所以＝＝k.
对于n∈N*都成立，化简得(k－4)dn＋(k－2)(2c1－d)＝0，
则有因为d≠0，所以k＝4，d＝2c1.
因此，d与c1之间的等量关系为d＝2c1.