1、8.2 线性规划
线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。
8.2.1 基本数学原理
线性规划问题的标准形式是：
或
写成矩阵形式为：
线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。
MATLAB采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。
8.2.2 有关函数介绍
在MATLAB工具箱中，可用linprog函数求解线性规划问题。
linprog函数的调用格式如下：
●x=linprog
2、f,A,b)：求解问题minf'*x，约束条件为A*x<=b。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x的下界lb和上界ub，使得x始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x
3、0,options)：用options指定的优化参数进行最小化。
●[x,fval]=linprog(…)：返回解x处的目标函数值fval。
●[x,lambda,exitflag]=linprog(…)：返回exitflag值，描述函数计算的退出条件。
●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output。
●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x处的拉格朗日乘子返回到lambda参数中。
调用格式中，lambda参数为解x处包含拉格朗日乘子的结构。它有以下一些字段
4、
lower—下界lb
upper—上界ub
ineqlin—线性不等式
eqlin—线性等式
exitflag参数表示算法终止的原因，下面列出不同值对应的退出原因：
1 函数在解x处有解
0 迭代次数超过options.MaxIter
-2 没有找到可行点
-3 问题无解
-4 执行算法时遇到NaN
-5 原问题和对偶问题都不可行
-7 搜索方向太小，不能继续前进。
8.2.3 应用实例
例8－2 某河流边有两个化工厂，流经第一个化工厂的河水流量是每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为200万立方米的支流（如图8－1所示）。第一个化工厂每
5、天排放工业污水2万立方米，第二个化工厂每天排放工业污水1.4万立方米，从第一个化工厂排出的污水流到第二个化工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%，因此两个化工厂都必须各自处理净化一部分污水，第一个化工厂处理污水的成本是0.1元∕立方米，第二个化工厂处理污水的成本是0.08元∕立方米。问在满足环保要求的条件下，各化工厂每天应处理多少污水，才能使两厂总的处理污水费用最少？
第一化工厂 第二化工厂
图8－1
解：设，分别表示第一个化工厂和第二个化工厂每天处理的污水量（万立
6、方米∕天）。
则目标函数：（元∕天）
约束条件1：，即；
约束条件2：，即；
约束条件3：。
因此，该问题的线性规划模型归结为：
求解程序：
%线性规划问题
f=[1000 800];
A=[-1 0;-0.8 -1;1 0;0 1];
b=[-1;-1.6;2;1.4];
lb=zeros(2,1);
[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
运行结果：
x =
1.0000
0.8000
fval =1.6400e+003
exitflag =1
由上可知，第一个化工厂每天处理的污水量为1万立方米∕天，第二个化工厂每天处理的污水量为0.8万立方米∕天，才能使两厂总的处理污水费用最少。
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