勾股定理是否在(台风、噪声、触礁等)影响范围问题的解决方法.doc

勾股定理是否在（台风、噪声、触礁等）影响范围问题的解决方法
新课程强调“人人学有价值的数学，人人学有用的数学。”因此，数学学习必须加强与生活实际的联系，让学生感受到生活中处处有数学。数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。勾股定理作为一个重要知识点，是往年中考中必考的一个内容，而且这一知识点考查，也常结合在一些实际问题中出现。
例题1、 我校的九（6）班教室A位于工地B处的正西方向，且AB=160米，一辆大型货车从B处出发，以10米/秒的速度沿北偏西60度的方向行驶，如果大型货车的噪声污染半径为100米，试问
（1）教室A是否在大型货车的噪声污染范围内？若不在，试说明理由。
C
（2）若在，请求出教室A受污染的时间是多少？

学生思考：
（1）“教室A是否在大型货车的噪声污染范围内”看什么？怎样说明？
（2）要求“教室A受污染的时间是多少”应该先求什么？怎样求？
（通过问题，启发学生思维，培养学生文字语言、图形语言、符号语言的转译能力，提高数学思考、交流的能力，给后进生以深入学习的机会。）
解：（1）过点A作AD垂直于BC，垂足为D
米
∴ 在中能解得AD=80米<100米，所以受噪声影响，
以点A为圆心，100米为半径画圆弧分别交BC与E，F两点 线段EF即为受影响的路段。
（2）在中，由勾股定理求出ED=60米，EF=2ED=120米，秒
答：教室受噪声影响的时间为12秒。

练习1、今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
C

    解：过点C作CD⊥AB，设垂足为D，
    在Rt△ADC中，

    在Rt△BDC中，

    ∴
    ∴
    ∵136.5米＞120米，故没有危险。
    答：若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。
点拨：熟记特殊三角函数值，注意所求结果符合实际情况，情景应用题。

例题2、 如图，一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60度。40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30度。 已知以小岛C为中心周围18海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区。问：
(1)这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？为什么？
(2)若有危险，渔船在距离A处多少海里前就要改变方向？

(3)渔船经过多少分钟可侥幸脱离危险？

学生思考：
（1）有无危险，怎样用图形语言结合符号语言表达？
（2）怎样确定改变方向的地点？
（3）怎样确定有危险的一段行程？
（4）例题1与例题2在解题方法上有什么共同之处吗？请说明。
（在问题驱使下，引导学生发现两例题解法的共同点，在学生总结的过程中，不断培养学生的语言表达能力、归纳概括能力、提炼升华能力。）

练习2、如图10，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
    （1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由。
    （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货？
    解：（1）过点B作BC⊥AC于D，
    依题意，∠BAC=30°
    在Rt△ABD中，

    ∴B处会受到台风的影响。
    （2）以点B为圆心，200海里为半径作圆交AC于E，F
    由勾股定理，求得
    ∴（海里）
    ∴（小时）
    ∴该船应在3.8小时内卸完货物。
点拨：不是纯数学化的“已知”，“求解”的模式，而是结合一种情景，一种实际需求，以解决一种实际问题为标志，旨在考查学生的数学应用能力。

例题3、 在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米．
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．

解：（1）100； ．
（2）作OH⊥PQ于点H，可算得
（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）．
∴城市O不会受到侵袭．
（给学生充足的独立思考的空间，在实际操作的过程中理解方法，内化知识。）
练习3 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。如图5，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时速度沿北偏东方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响。
（1） 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
（2） 若会受到影响，那么以台风影响该城市的持续时间有多长？
（3） 该城市受到台风影响的最大风力为几级？
分析：本题的特点是台风的中心在不停的移动，而城市位置却不变，因而要判断城市是否受台风影响，关键要看台风中心离城市最近时，是否会对城市产生影响。而台风中心离城市A最近的点就是过点A作AD⊥BC垂足所在位置，然后结合题目的数据求出AD长。另外，本题还有一个难点就是台风中心离城市距离在什么范围内才会影响城市，解决一定难点的关键在于求出风力为四级的地方离台风中心多少距离。
解：（1）如图6，作AD⊥BC，垂足为D。
因为AB=220，，所以AD=110（千米）。
由题意，当A点距台风中心不超过千米时，将会受到台风的影响，因为110（千米）＜160（千米），故该城市会受到这次台风的影响。
（2）由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。假设当台风中心移动到E点开始对城市A产生影响，到F点对城市A失去影响。则AE=AF=160。当台风中心从E移动到F处时，该城市都会受到这次台风的影响，由勾股定理得，所以（千米）。因为该台风中心以15千米/时的速度移动，所以对该市的影响时间为（小时）。
（3）当台风中心位于D时，A市所受这次台风的影响风力最大，其最大风力为（级）。

小结
1、对于“方位”问题，首先要根据题意画出图像，并标注条件：
通过以上题目，重点是让大家掌握如何把实际问题转化为数学问题，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何图形，此外在解直角三角形中也渗透了方程思想。
（1）数学建模及方程思想
从实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题求解；
解直角三角形常结合用方程。
（2）解题方法小结
A．把实际问题转化为数学问题的两个方面；（图形转化，条件转化）
B．把数学问题转化为解直角三角形的处理方法．（构造直角三角形）
（将实际问题转化为数学问题，关键要画好示意图，从实际问题抽象出数学模型，联系实际，对问题情境的理解需要具有一定的空间想象能力，逐步从实际问题中，抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题来解决。已知什么和求什么，进而利用解直角三角形知识解决问题，并在解题后及时加以归纳，挖掘图形结构及条件的特点。）
2、一类“受影响”问题的一般解题步骤：
（1）、作“危害区域中心”与“关注物”的最短距离（作垂线段）；
（2）、若垂线段的长 ＞ 危害区域半径，则不受影响；
若垂线段的长 ≤ 危害区域的半径，则受影响。
（3）、以静止的“物”或“中心”为圆心，危害区域的半径为半径画弧，交运行路线于两点，经过该两点间的时间就是受影响的时间。
3、模拟运动状态使我们获得了容易理解和掌握的解题方法，这种从感性认识上升到理性认识的探索问题的方法是十分有效的，大家应善于应用。

拓展练习

一艘轮船以20海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到A时，测得台风中心移到位于点A正南方向处，且AB=100海里。
（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求台风最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。
（2）现船自A处立即提高船速，向位于北偏东60度的方向、与A相距60海里的D港驶去，为在台风到来之前到达D港，问船速应至少提高多少？
（结果取整数，=3.6）
解：（1）设图中会遇到台风，且从船航行开始到最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，∴AC=20t，AE=100-40t，EC=
∴
∴从A 处航行经1小时最初遇到台风.
（2）设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心移至M点。过D作DF⊥AB，在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=600，∴DF=30

∴轮船要至少提速6海里/小时.