直线与平面平行经典题目.doc

9.2 直线与平面平行
●知识梳理
1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.
2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.
●点击双基
1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是
A.α⊥β且m⊥β B.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ
答案：D
2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.
答案：A
3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
记α∩γ=b，β∩γ=c，
则a∥b且a∥c，
∴b∥c.
又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.

答案：C
4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
A.平行　　　　B.相交 C.垂直 D.互为异面直线
解析：对于任意的直线与平面，若在平面α内，则存在直线m⊥；若不在平面α内，
且⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于，若不在平面α内，且于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直，
综上所述，选C.
5.已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.
（i）当满足条件 ③⑤ 时，有；（ii）当满足条件 ②⑤ 时，有.
（填所选条件的序号）
●典例剖析
【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.

证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.
又NQ= BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.

∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE.
又==，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.
又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

【例2】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.
（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.
∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.
又∵BN∶ND=PM∶MA，
∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.
（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.
设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO==.
由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE=.
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，
根据余弦定理，得PE=.
在Rt△POE中，PO=，PE=，
∴sin∠PEO==.
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.
【例3】如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1；
（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．

解析：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，
E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴ AC1//平面CDB1；
（III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，
ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，
∴ ，
∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.
●闯关训练
夯实基础
1. （07福建理）已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，
则下列命题中正确的是
A. ∥，n∥ ∥ B. ∥，，m∥n
C. m⊥，m⊥nn∥ D. n∥m,n⊥m⊥
解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D
2.（06福建卷）对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A.若m⊥，m⊥n，则n∥ B.若m∥，n∥，则m∥n
C.若m，n∥，则m∥n D.若m、n与所成的角相等，则n∥m
解：对于平面和共面的直线、真命题是“若则”， 选C.
3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的 中点
作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )
A. 4条 B.6条 C.8条 D.12条
解：如图，过平行六面体任意两条棱的中点
作直线, 其中与平面平行的直线共有12条，选D.
4.(06重庆卷)若是平面外一点，则下列命题正确的是
A.过只能作一条直线与平面相交 B.过可作无数条直线与平面垂直
C.过只能作一条直线与平面平行 D.过可作无数条直线与平面平行
解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，
且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D
5.如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、 K分
别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的
重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使得该棱柱恰有
2条棱与平面PEF平行，则P为 （ C ）
A．K B．H C．G D．B′
6.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.
在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）
解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；
AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；
DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.

答案：①②④
7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α
成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________.
解析：分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′.

设AA′=BB′=x，则AC2=（）2=2x2，
BC2=（）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，∴6x2=（2）2， x=2. 答案：2

8、（07江西）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，
截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。
（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；

x
z
y
M
G
D
S
F
C
B
E
A
A
第39题图

第38题图
F
E
P
D
C

（II）求二面角B—AC—A1的大小；
（Ⅲ）求此几何体的体积；
解法一：（1）证明：作交于，连．
则．因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有．
平面且平面，
则面．
（2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于，连．
因为面，所以，则平面．
又因为，，．
所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因为，所以，故，
即：所求二面角的大小为．
（3）因为，所以．
．
所求几何体体积为 ．

解法二：
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，
所以，．
易知，是平面的一个法向量．
因为，平面，所以平面．
（2），，
设是平面的一个法向量，则
则，得：
取，．
显然，为平面的一个法向量．
则，结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．
（3）同解法一．
培养能力
9.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，
∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,
点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？
证明你的结论.

（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
（Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.
又PE : ED=2 : 1，所以
从而
（Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

令 得

解得 即 时，
亦即，F是PC的中点时，、、共面.
又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.
解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，
证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ①
由 知E是MD的中点.
连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.
所以 BM//OE. ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC.
又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
证法二
因为

所以 、、共面.
又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.
探究创新
10.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.

（1）求证：EM∥平面A1B1C1D1；
（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；
（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2），
求V1∶V2的值.
（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.
∵E为A1B的中点，∴EFB1B.

又C1MB1B，∴EFMC1.
∴四边形EMC1F为平行四边形.
∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，
FC1平面A1B1C1D1， ∴EM∥平面A1B1C1D1.
（2）解：作B1H⊥A1N于H，连结BH.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N.
∴∠BHB1为二面角B—A1N—B1的平面角.
∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，
∴EM∥A1N. 又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1.
又∵A1F∥NC1，∴四边形A1FC1N是平行四边形.∴NC1=A1F.
设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.
在Rt△A1D1N中，
A1N== a， ∴sin∠A1ND1==.
在Rt△A1B1H中，B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·= a.
在Rt△BB1H中，tan∠BHB1===.
（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.
又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，
∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.
又∵平面MNC1∥平面BA1B1，
∴几何体MNC1—BA1B1为棱台.∵S=·2a·a=a2，S=·a·a= a2，
棱台MNC1—BA1B1的高为B1C1=2a，V1=·2a·（a2++a2）= a3，
∴V2=2a·2a·a－a3= a3.∴=.
●思悟小结
1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.
2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.
教学点睛
1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.
2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.
拓展题例
【例1】 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b.

（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：A1C1⊥AB；
（3）求点B1到平面ABC1的距离.
（1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中点，
∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC，∴EF∥AC.∴EF∥平面ABC.
（2）证明：∵AB=CC1，∴AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，
∴四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，则A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1. ∴AB1⊥A1C1.
又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1. ∴A1C1⊥AB.
（3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1.
∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.
过A1作A1G⊥AC1于点G，
∵AB⊥平面ACC1A1，
∴AB⊥A1G.从而A1G⊥平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G= .
评述：本题（3）也可用等体积变换法求解.
2、（07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小；
解法一：（1）作交于点，则为的中点．

连结，又，故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．

（2）不妨设，
则为等腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，．取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．所以二面角的大小为
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