三角应用题.docx

三角函数应用题
高度问题
例1、　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)

总结：
[针对训练]：某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？

角度问题
例2、　在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

总结：
[针对训练]
如图所示，处于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．

课堂检测
1.如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________ m

2．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为________．

3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．

4．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？

5．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

6、如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．
，

7、如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元．设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
(1)写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
(2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？

8、一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧相切于B，C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.
(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P.设∠CMN＝θ rad，试用θ表示木棒MN的长度f(θ)；
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

向量
1、已知点P在△ABC 所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为________。

2、如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为______

3、设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

4．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

5、设D，P为△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋，则＝________.

6、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________.

8、已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p＝＋，则|p|＝________.

9、如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点．设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．

10、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．

11．若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为________．

12.如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C.
(1)若C为圆弧的中点，点D在线段OA上运动，求|＋|的最小值；
(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求·的取值范围．

答案
[典例]　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)
[解]　由题意，设AC＝x，
则BC＝x－×340＝x－40，
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC，

即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，
所以CH＝AC·tan ∠CAH＝140(米)．
故该仪器的垂直弹射高度CH为140米．
[备课札记]　　

[类题通法]
求解高度问题的注意事项
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
[针对训练]
(2010·江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？
解：(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得
H＝＝＝124.
因此电视塔的高度H是124 m.
(2)由题知d＝AB，则tan α＝.
由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝，
所以tan(α－β)＝
＝≤，
当且仅当d＝＝＝55时取等号．
又0＜α－β＜，所以当d＝55时，tan(α－β)的值最大，即α－β的值最大．

考点三
测量角度问题

[典例]　在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，

则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
[备课札记]　　

[类题通法]
解决测量角度问题的注意事项
(1)明确方位角的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
[针对训练]
如图所示，处于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.
由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝402＋202－2×40×20×＝2 800，
所以BC＝20.
由正弦定理得：＝，
故sin∠ACB＝sin∠BAC＝×＝.
又∠ACB为锐角，所以cos∠ACB＝.
又θ＝∠ACB＋30°，
所以cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－
sin∠ACBsin 30°＝×－×＝

[课下提升考能]
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1.(2014·苏州调研)如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________ m.
解析：在△BCD中，由正弦定理得BC＝·10＝10.在Rt△ABC中，AB＝BCtan 60°＝30(m)．
答案：30
2．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为________．

解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝
＝＝10(m)，
DE＝
＝＝130(m)，
EF＝
＝＝150(m)．
在△DEF中，由余弦定理，
得cos ∠DEF＝＝＝.
答案：
3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．
解析：依题意可得AD＝20 (m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案：45°

9．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
解：如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t.
在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，
∠BAC＝120°.
利用余弦定理可得BC＝.
由正弦定理，得
sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，
得∠ABC＝45°，即BC与正北方向垂直．
于是∠CBD＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝
＝＝，
得∠BCD＝30°，
∴∠BDC＝30°.
又＝，
＝，得t＝.
所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时．
10．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，
得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，
还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，
解得≤v≤，
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，
乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．

2．(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．
解析：过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，

由已知得AB＝－＝5(米)，BF＝－＝4(米)，
AF＝－＝9(米)．
则tan(α＋β)＝＝，
tan β＝＝，
∴tan α＝[(α＋β)－β]
＝＝
＝≤＝.
当且仅当FC＝，即FC＝6时，tan α取得最大值，
此时α取得最大值．
答案：6
3．(2013·盐城二模)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元．设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
(1)写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
(2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？

解：(1)由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，
AC＝10，∠ACD＝－α.
由正弦定理知＝＝，
即CD＝，AD＝，
所以S＝4AD＋8BD＋12CD＝12CD－4AD＋80
＝＋80
＝20·＋60.
(2)S′＝20·，令S′＝0得cos α＝ .
当cos α＞时，S′＜0；当cos α＜时，S′＞0，
所以当cos α＝时，S取得最小值，
此时sin α＝，AD＝＝，
所以中转点D距A处 km时，运输成本S最小

4．(2013·苏北四市二模)一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧相切于B，C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.
(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P.设∠CMN＝θ rad，试用θ表示木棒MN的长度f(θ)；
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

解：(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为Q.过点Q作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于点S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W.在Rt△NWS中，
因为NW＝2，∠SNW＝θ，
所以NS＝.
因为MN与圆弧相切于点P，
所以PQ⊥MN.
在Rt△QPS中，
因为PQ＝1，∠PQS＝θ，
所以QS＝，QT－QS＝2－.
①若S在线段TG上，则TS＝QT－QS.
在Rt△STM中，MS＝＝，
因此MN＝NS＋MS＝NS＋；
②若S在线段GT的延长线上，
则TS＝QS－QT.
在Rt△STM中，MS＝＝，
因此MN＝NS－MS＝NS－＝NS＋.
f (θ)＝MN＝NS＋
＝＋－
＝.
(2)设sin θ＋cos θ＝t(1＜t≤)．
则sin θcos θ＝，因此f(θ)＝g(t)＝.
因为g′(t)＝，
所以g′(t)＜0恒成立．
因此函数g(t)＝在t∈(1，]上是减函数，
所以g(t)min＝g()＝4－2，即MNmin＝4－2.
所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，
则其长度的最大值为4－2.

3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P在△ABC 所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为________．
解析：因为2＋3＋4＝3，
所以2＋3＋4＝3－3，
即5＋4＝0，
所以△PAB与△PBC的面积的比为PA∶PC＝4∶5.
答案：
4.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．
解析：因为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，
经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.
答案：3

2．(2013·徐州期中)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
解析：设M为边AC的中点．因为＋＝－2，所以点O是△ABC的中线BM的中点，从而所求面积之比为1∶2.
答案：1∶2
3．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：如图，因为＝，
所以＝，＝m＋＝m＋，因为B、P、N三点共线，
所以m＋＝1，所以m＝.
答案：
4．(2013·南通期中)设D，P为△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋，则＝________.
解析：设E为边BC的中点．由＝(＋)可知，
点D在△ABC的中线AE上，且AD＝AE，
由＝＋，得＝，
利用平面几何知识知＝×＝.
答案：
5．(2014·南通期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________.
解析：在△ABC中有＋＋＝0，
又3a＋4b＋5c＝0，消去得
(3a－5c) ＋(4b－5c) ＝0，
从而3a－5c＝0,4b－5c＝0，
故a∶b∶c＝20∶15∶12.
答案：20∶15∶12
6．(2014·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，
连接AM并延长交BC于D，则＝，
因为AD为中线，则＋＝2＝3，
所以m＝3.
答案：3
7．(2014·苏北四市质检)已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p＝＋，则|p|＝________.
解析：和分别表示与a，b同向的单位向量，
所以长度均为1.又二者的夹角为，
故|p|＝ ＝.
答案：

1.(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点．设＝α＋β(αβ∈R)，则α＋β的取值范围是________．
解析：法一：分别延长DC，AB交于点G，则 CG∥AF，且CG＝AF，
从而＝＋＝2＋，
同理可得＝＋2，
＝2＋2，因为点P在△CDE内部(包括边界)，
所以α＋β∈[3,4]．
法二：建立如图所示的直角坐标系，
不妨设正六边形ABCDEF的边长为2，
则点A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，D(2,2)，
E(0,2)，F(－1，)，从而点P位于区域中．
又＝α＋β＝(2α－β，β)，
代入可行域得于是α＋β∈[3,4]．
答案：[3,4]
2.(2014·苏锡常镇一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋
μ，则λ＋μ的最小值为________．
解析：以A为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为1，则＝(1,1)，＝.设＝(cos α，
sin α)，α∈.由＝λ＋μ得所以μ＝，
故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·－1.
设f(α)＝，α∈，
则f′(α)＝.
因为f′(α)＞0恒成立，故f(α)在上单调增．
所以当α＝0时，f(α)min＝f(0)＝，
所以(λ＋μ)min＝.
答案：

2．(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为______．
解析：记＝b，＝a，则＝a－b，从而＝(a－2b)，＝(b－2a)．因为AG⊥BG，所以(a－2b)(b－2a)＝0，即2b2－5b·a＋2a2＝0，所以cos C＝≥，故当|b|＝|a|时，cos C有最小值，此时sin C有最大值.
答案：
3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C.
(1)若C为圆弧的中点，点D在线段OA上运动，求|＋|的最小值；
(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求·的取值范围．
解：以O为原点，为x轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．
(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，
又C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1(0≤t≤1)，
当t＝时，其最小值为，
即|＋|的最小值为.
(2)设＝(cos α，sin α)，
则＝－＝－(cos α，sin α)
＝.
又D，E，所以＝，
故·＝＝sin＋.
因为≤α＋≤，
所以·∈.