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课 题1.5.2 平方差公式(二)教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.教学方法启发探究相结合教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(1.7.2 A)第二张：例3，记作(1.7.2 B)第三张：例4，记作(1.7.2 C)第四张：补充练习，记作(1.7.2 D)教学过程.创设问题情景，引入新课师同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？生a2.师请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图123).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图123生剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2b2).师你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)生老师，我们拼出来啦.师讲给大伙听一听.生我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(ab),长是a;下面的小长方形长是(ab),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(ab),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图124所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(ab),面积为(a+b)(ab).图124师比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？生这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(ab)=a2b2.生这恰好是我们上节课学过的平方差公式.生我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.生用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.师由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.讲授新课师出示投影片(1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？生(1)中算式算出来的结果如下 生从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.师是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？生我猜想是.我又找了几个例子如： 师你能用字母表示这一规律吗？生设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a1,a+1,则有(a+1)(a1)=a21.生这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.生可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)生a可以代表任意一个数.师很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.生老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)生例如：计算2931很麻烦，我们就可以转化为(301)(30+1)=3021=9001=899.师的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(1.7.2 B)例3用平方差公式计算：(1)10397 (2)118122师我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.生我发现了，103=100+3,97=1003,因此10397=(100+3)(1003)=100009=9991.太简便了！生我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=1202,122=120+2118122=(1202)(120+2)=12024=144004=14396.生遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.师我们再来看一个例题(出示投影片1.7.2 C).例4计算：(1)a2(a+b)(ab)+a2b2;(2)(2x5)(2x+5)2x(2x3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(ab)+a2b2=a2(a2b2)+a2b2=a4a2b2+a2b2=a4(2)(2x5)(2x+5)2x(2x3)=(2x)252(4x26x)=4x2254x2+6x=6x25注意：在(2)小题中，2x与2x3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.例5公式的逆用(1)(x+y)2(xy)2 (2)252242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2(xy)2=(x+y)+(xy)(x+y)(xy)=2x2y=4xy(2)252242=(25+24)(2524)=49.随堂练习1.(课本P32)计算(1)704696(2)(x+2y)(x2y)+(x+1)(x1)(3)x(x1)(x)(x+)(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)解：(1)704696=(700+4)(7004)=49000016=489984(2)(x+2y)(x2y)+(x+1)(x1)=(x24y2)+(x21)=x24y2+x21=2x24y21(3)x(x1)(x)(x+)=(x2x)x2()2=x2xx2+=x2.(补充练习)出示投影片(1.7.2 D)解方程：(2x+1)(2x1)+3(x+2)(x2)=(7x+1)(x1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x1)+3(x+2)(x2)=(7x+1)(x1)(2x)21+3(x24)=7x26x14x21+3x212=7x26x16x=12x=2.课时小结师同学们这节课一定有不少体会和收获.生我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.生平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.生我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)(a+b)(ab)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(ab),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.课后作业课本P32、习题1.12.活动与探究计算：1990219892+1988219872+221.过程先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.结果原式=(1990219892)+(1988219872)+(221)=(1990+1989)(19901989)+(1988+1987)(19881987)+(2+1)(21)=1990+1989+1988+1987+2+1=1981045板书设计1.7.2 平方差公式(二)一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例归纳建立猜想用符号表示给出证明即(a+1)(a1)=a21三、例题讲解：例3 例4四、练习备课资料参考练习1.选择题(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )A.(ab)(ab)B.(c2d2)(d2+c2)C.(x3y3)(x3+y3)D.(mn)(m+n)(2)用平方差公式计算(x1)(x+1)(x2+1)结果正确的是( )A.x41B.x4+1C.(x1)4D.(x+1)4(3)下列各式中，结果是a236b2的是( )A.(6b+a)(6ba)B.(6b+a)(6ba)C.(a+4b)(a4b)D.(6ba)(6ba)2.填空题(4)(5x+3y)( )=25x29y2(5)(0.2x0.4y)( )=0.16y20.04x2(6)(x11y)( )=x2+121y2(7)若(7m+A)(4n+B)=16n249m2,则A= ，B= .3.计算(8)(2x2+3y)(3y2x2).(9)(p5)(p2)(p+2)(p+5).(10)(x2y+4)(x2y4)(x2y+2)(x2y3).4.求值(11)(2003年上海市中考题)已知x22x=2,将下式先化简，再求值(x1)2+(x+3)(x3)+(x3)(x1)5.探索规律(12)(2003年北京市中考)观察下列顺序排列的等式：90+1=191+2=1192+3=2193+4=3194+5=41猜想：第n个等式(n为正整数)应为 .答案：1.(1)D (2)A (3)D2.(4)(5x3y) (5)(0.2x0.4y)(6)(x11y) (7)A=4n,B=7m3.(8)9y24x4 (9)p429p2+100(10)x2y104.(11)原式=3(x22x)5=325=15.(12)9(n1)+n=(n1)10+1(n为正整数). 林盛九年一贯制学校 聂敏