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第十三章 动能定理

13-1 圆盘的半径r=0.5m，可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为mA=3 kg，mB=2 kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按的规律变化（M以N·m计，以rad计）。求到时，力偶M与物块A，B的重力所做的功之总和。

图13-1

13-2 图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为，车轮视为均质盘，半径为Ｒ，两车轮轴间距离为．设坦克前进速度为，计算此质点系的动能。
图13-2
D
C
R
A
B

解：
1. 先研究车轮，车轮作平面运动，角速度
；两车轮的动能为

2. 再研究坦克履带，AB部分动能为零，
CD部分为平动，其速度为2v ；圆弧
AD与BC部分和起来可视为一平面
运动圆环，环心速度为v ，角速度为 ，
则履带的动能为

3. 此质点系的动能为

13-3题
解：为运动的瞬心，以为动点，动系与平板固结
则：
且
故：
则该系统的动能为：

13-4均质连杆AB质量为4kg，长l=600mm。均质圆盘质量为6kg，半径r=100mm。弹簧刚度为k=2 N/mm，不计套筒A及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：（1）当AB达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量δ。
图13-3

13-5如图所示，质量为m的滚子A沿倾角为的斜面向下只滚不滑，并借助于跨过滑轮B的绳提升质量亦为的物体C，同时质量为m的均质滑轮B绕O轴转动，滚子A和滑轮B的半径相等求物块C的速度和加速度。

B
O

A

C

解：设滚子质心下滑距离S时，质心的速度为
以整体为研究对象，设滚子半径为R，初始动能为=常量
该系统的动能为

将代入，得

由动能定理得，

将上式两边对时间求导得
A

以为研究对象

联立（1）和（3）得：

13-6 均质OA杆可绕水平轴O转动，另一端铰接一均质圆盘，圆盘可绕铰在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA长l，质量为m1；圆盘半径为R，质量为m2。摩擦不计，初始时杆OA水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成θ角的瞬时，杆的角速度和角加速度。

图13-6

解：对于圆盘有
即有：
而初始圆盘静止，故圆盘平动。

13-7题
解：（1）当软绳被剪断之后，方板做平行移动，且剪断瞬间速度为零

由平面运动方程

（点只有方向的加速度）

解得：，，

（2）

由动能定理得：
因和在铅直位置时，板无水平方向的力，
故板无水平方向的加速度
且，故
由质心运动定理：
解得：

13-8 三个均质轮、、，具有相同的质量和相同的半径，绳重不计，系统从静止释放。设轮作纯滚动，绳的倾斜段与斜面平行。试求在重力作用下，质量亦为的物体下落时的速度和加速度。
图13-8

解：

(2)以为研究对象
（1）
（2）
其中：，，
以为研究对象
(3)
联立（1）、（2）、（3）得：

13-9题
解：（a）

其中：
由得：
解得：

（b）板作平面运动，而，则质心将铅直下落，当板处于水平位置时，为瞬心（如图所示）：
：

其中：
由得：
解得：
13-10 图示均质杆长为2l，质量为m，初始时位于水平位置。如A端脱落，杆可绕通过B端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在B端脱落后的角速度及其质心的轨迹。
解：（一）B脱落前瞬时

B脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。
（二）B脱落后瞬时

B脱落后杆质心作抛体运动

（1）
（2）
式（1）、（2）消去t，得
即：
此即所求脱落后质心的运动轨迹。