幅相频率特性(Nyquist.pdf

5.25.2 幅相频率特性（Nyquist 图）幅相频率特性（Nyquist 图）开环系统的幅相特性曲线是系统频域分析的依据，掌握典型环节的幅相特性是绘制开环系统幅相特性曲线的基础。在典型环节或开环系统的传递函数中，令js=，即得到相应的频率特性。令由小到大取值，计算相应的幅值)(A和相角)(，在平面描点画图，就可以得到典型环节或开环系统的幅相特性曲线。G5.2.1 典型环节的幅相特性曲线 图 5-8 比例环节的 幅相特性 1比例环节 比例环节的传递函数为 KsG=)(（5-16）其频率特性为 KjG=)(00jKej=+=0)()()()(jGKjGA （5-17）比例环节的幅相特性是 G 平面实轴上的一个点，如图 5-8 所示。它表明比例环节稳态正弦响应的振幅是输入信号的 K 倍，且响应与输入同相位。2微分环节 微分环节的传递函数为 ssG=)(（5-18）其频率特性为=+=900)(jejjG （5-19）=90)()(A微分环节的幅值与成正比，相角恒为。当90=0时，幅相特性从G平面的原点起始，一直沿虚轴趋于+j处，如图 5-9 曲线所示。图 5-9 微、积分环节 3积分环节 158积分环节的传递函数为 ssG1)(=（5-20）其频率特性为 =+=90110)(jejjG =90)(1)(A （5-21）积分环节的幅值与成反比，相角恒为-。当90=0时，幅相特性从虚轴 j处出发，沿负虚轴逐渐趋于坐标原点，如图 5-9 曲线所示。4惯性环节 惯性环节的传递函数为 11)(+=TssG （5-22）其频率特性为 TjeTjTjGarctan221111)(+=+=+=TTAarctan)(11)(22 （5-23）当0=时，幅值1)(=A，相角=0)(；当时，0)(=A，=90)(。可以证明，惯性环节幅相特性曲线是一个以点(12，j0)为圆心、12 为半径的半圆。如图 5-10所示。证明如下：设 jYXTjTjTjG+=+=+=221111)(其中 2211TX+=（5-24）XTTTY=+=221 （5-25）由式（5-25）可得 XYT=（5-26）159将式5-26）代入式（5-24）整理后，可得 2222121=+YX （5-27）图 5-10 惯性环节的极点分布和幅相特性曲线 式(5-27)表明：惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程，圆心在实轴上 12 处，半径为1/2。从式(5-25)还可看出，X为正值时，Y只能取负值，这意味着曲线限于实轴的下方，只是半个圆。例 5-2 已知某环节的幅相特性曲线如图 5-11 所示。当输入频率1=的正弦信号时，该环节稳态响应的相位滞后，试确定环节的传递函数。30解 根据幅相特性曲线的形状，可以断定该环节传递函数形式为 1)(+=TsKjG 图 5-11 某环节幅相特性曲线 依题意有 10)0()0(=KjGA =30arctan)1(T 因此得 10=K，33=T 所以 13310)(+=ssG 惯性环节是一种低通滤波器，低频信号容易通过，而高频信号通过后幅值衰减较大。对于不稳定的惯性环节，其传递函数为 11)(=TssG （5-28）其频率特性为 jTjG+=11)(+=+=TTAarctan180)(11)(22 （5-29）160当0=时，幅值1)(=A，相角=180)(；当时，0)(=A，=90)(。图 5-12 不稳定惯性环节的极点分布和幅相特性 分析s平面复向量1ps（由Tp11=指向 js=）随增加时其幅值和相角的变化规律，可以确定幅相特性曲线的变化趋势。如图 5-12（a）、（b所示。可见，与稳定惯性环节的幅相特性相比，不稳定惯性环节的幅值不变，但相角不同，相角变化的绝对值比相应的稳定惯性环节要大，故称其为“非最小相角环节”。5一阶复合微分环节 一阶复合微分环节的传递函数为 图 5-13 一阶微分环节的 1)(+=TssG （5-30）其频率特性为 jTjG+=1)(TjeTarctan221+=+=TTAarctan)(1)(22 （5-31）一阶复合微分环节幅相特性的实部为常数 1，虚部与成正比，如图 5-13 曲线所示。不稳定一阶复合微分环节的传递函数为 1)(=TssG （5-32）其频率特性为 jTjG+=1)(=+=TTAarctan180)(1)(22 （5-33）其幅相特性的实部为-1，虚部与成正比，如图 5-13 曲线所示。不稳定环节的频率特性都是非最小相角的。6二阶振荡环节 161二阶振荡环节的传递函数为 (102121)(22222+=+=nnnssTsTsG)（5-34）式中，Tn1=为环节的无阻尼自然频率；为阻尼比，10。相应的频率特性为 nnjjG2)1(1)(22+=+=2222222212arctan)(4)1(1)(nnnnA （5-35）当0=时，o01)0(=jG当n=时，()1(2)90nG j=o 当时，()0180G j=o分析二阶振荡环节极点分布以及当=jjjs0变化时，向量1PS，2PS 的模和相角的变化规律，可以绘出)(jG的幅相特性曲线。二阶振荡环节幅相特性的形状与值有关，当值分别取 0.4，0.6 和 0.8 时，幅相特性曲线如图 5-14 所示。图 5-14 振荡环节极点分布和幅相特性（1）谐振频率r和谐振峰值M r 162由图 5-14 可看出，值较小时，随=0变化，)(jG的幅值)(A先增加然后再逐渐衰减直至。0)(A达到极大值时对应的幅值称为谐振峰值，记为；对应的频率称为谐振频率，记为rMr。以下推导，rMr的计算公式。求式(5-35)中()A的极大值相当于求22222241nn+的极小值，令 222222d14dnn0+=推导可得 221=nr (707.00+=LL 幅相特性曲线的起点完全由)0(+jGK，确定，而终点)(jG则由来确定。mn()()=+时时09000)0(ooKjG 168)(900)(mnjG=o 而在过程中=+0)(jG的变化趋势，可以根据各开环零点、极点指向js=的矢量之模、相角的变化规律概略绘出。例 5-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为)1)(15.0()21()(2+=ssssksGk 试概略绘出系统开环幅相特性曲线。解 系统型别，零、极点分布图如图 5-22(a)所示。显然 2=v（1）起点：o180)0(=+jGk（2）终点：o2700)(=jGk（3）与坐标轴的交点：22222()(12.5)(0.5)(1 0.25)(1)=+kkGjj （）（b）a图 5-22 极、零点分布图与幅相特性曲线 令虚部为0，可解出当（即5.02=g707.0=g）时，幅相曲线与实轴有一交点，交点坐标为 kjGRgke67.2)(=概略幅相特性曲线如图 5-22（b）所示。169