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透视和透视投影变换 论图形变换和投影的若干问题之三透视和透视投影变换论图形变换和投影的若干问题之三何援军作者简介：何援军，男，1945年生，教授，博士生导师，主要研究领域为CAD/CG、几何计算的理论与算法研究等。Email：yjhe（上海交通大学计算机科学与工程系，上海，200030）摘要：讨论了透视变换的基本原理：由于与画面成一角度的平行线簇经透视变换后交于灭点，可采用两种不同的方法来获得透视图：一是保持画面铅垂而通过旋转物体使之与画面构成角度达到透视变换效果，得到了3种最佳透视变换矩阵；二是通过倾斜投影画面而达到透视变换效果，给出了通过倾斜画面得到三灭点透视图的齐次透视变换矩阵。两种方法的灭点都是可预先控制（即可先决定灭点再决定变换矩阵），比较彻底的解决了透视变换的生成理论。给出了“对一个空间物体，一定存在另一个空间物体，使前者在画面上的透视投影与后者的平行投影是一样的，且保留了深度方向的对应关系”的一个证明。这个性质可使复杂的透视投影转化成简单的平行投影，使得立体图形的处理大为简化。关键词：透视变换，齐次变换矩阵，CG中图法分类号：TP391Perspective and its Projection TransformationHe Yuanjun(Department of Computer Science and Engineering,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030,China)Abstract: Basic principles of perspective transformation are discussed. Based on the fact that parallel-lines in some angle with view plane intersect at vanishing-point, two methods are presented to get perspective view: one is to keep the view plane vertical while rotating objects to some angle, thus to achieve perspective transformation effect, and three best perspective transformation matrixes is presented. The other is to incline projective view to get the effect. Homogenous perspective transformation matrix are present, which can generate 3-vanishing-point drawing through inclining view. Both methods are beforehand controllable (thats to say vanishing-point is first decided, then comes out the transformation matrix), thus generating theory of perspective transformation is thoroughly solved. Prove that for each 3D object there must be another 3D object, which parallel projection is the same as the formers perspective projection, and the corresponding depth relation is well preserved. With this useful property, a complicated perspective projection can be converted to a simple parallel projection, so the complication of 3D graphics processing becomes sharply reduced.Keywords: perspective transformation, homogenous transformation matrix, CG1. 引言现实生活中的景物，由于观察距离及方位不同在视觉上会引起不同的反映，这种现象就是透视现象。研究这种现象并使之能在平面上用线来表现其规律，使画面可正确地表现出物体之间的远近之间的远近层次关系，使观察者获得立体，有深度的空间感觉，就必须研究透视变换的规律。文献1讨论了正透视投影问题，分离了观察点位于世界坐标系Z轴上（中心投影）和不在Z轴上（空间任意点的正透视投影）的问题，文献2-4也讨论了一、二、三个灭点的产生方法问题，文献5的透视变换图示有错。几乎所有文献对透视变换所产生的灭点参数定量求取问题均未作深入的讨论。本文基于“与画面成一角度的平行线簇经透视变换后交于灭点”的透视变换基本原理，对透视变换参数的确切意义和产生原理等作了系统的分析，通过“旋转物体”和“倾斜投影画面”两种手段得到了最佳透视变换效果和灭点的定量求取。讨论了将透视投影转化为平行投影的问题。2. 透视变换的基本原理为简化问题的叙述，导出视点选在z轴上，且取与此轴垂直的坐标平面为画面的透视投影公式。设视点E(0，0，ze)在z轴上，空间点为P(xp，yp，zp)，则视线EP的直线方程为：（1）此直线和画面z = 0相交时的参数为t = -ze/(z1-ze)，将此参数t代入（式1）前二式并把变换式应用于三个坐标，且由于P是空间的任意一点，取消足标并用齐次坐标写出，（式1）的变换即是：（2）矩阵Pz=（3）叫做视点在z轴上的透视变换阵。同理，视点在x轴上和y轴上的变换阵，分别为Px= Py=（4）3. 透视投影转化为平行投影文献6讨论了透视投影转化为平行投影的问题，本文给出这一问题的新的论述。为了进一步说明透视变换PZ后物体变化的情况，试考察一条参数直线的透视变换情况：-t（5）经（式2）或（式3）变换并规格化后得：（6）当直线向无穷延伸时，有：，（7）定理：对一个空间物体，一定存在另一个空间物体，使前者在画面上的透视投影与后者的平行投影是一样的，且保留了深度方向的对应关系。证明：设有一个空间物体B1，其空间点由P(x y z)表述，用下列方法构筑另一个空间物体B2：B2的拓扑与的空间物体B1一致，其相应空间点P(x y z)由P经由透视变换（式3）而得。显然，B1在XOY平面上的透视投影坐标与B2在XOY平面上的正投影坐标均为(x y)。而由于（8）即空间物体B1和空间物体B2相应的点与画面的远近关系（深度方向）是一致的。证毕。如图-1所示，与z轴平行的直线AB，经Pz变换后变成AB，它处于通过AB的延长线和画面的交点G及一个消失点F(0，0，-ze)的直线上。直线AB（空间物体B2）在画面上的正投影AB就是直线AB（空间物体B1）在画面上的透视投影，且保留了深度方向的对应关系。图-1 透视变换的几何意义和转化为平行投影的机理这个性质可使复杂的透视投影转化成简单的平行投影，使得立体图形的处理大为简化。4. 灭点及其产生齐次坐标系中沿坐标轴三个方向的无穷远点是单位阵E=的前三行构成的向量（最后一行为坐标原点）。现在对它施以透视变换PZ（式3），即可得到透视学中一灭点（平行透视）和多灭点（成角透视）的各种讨论结果。文中得Rx、Ry和Rz分别为绕x、y和z轴的齐次旋转变换矩阵。4.1 平行透视（一灭点）由EPz=Pz，因此，经透视Pz变换后的无穷远点将变为Pz的前三行(1 0 0 0)，(0 1 0 0)，(0 0 1 -1/ze)（它表示三个点）。这说明原来平行于x轴和y轴的向量仍互相平行，而平行z轴的向量（图-2）则交于一点(0,0)。图-2 平行透视(一灭点)4.2 成角透视（二灭点）如果把单位立方体绕y轴转y角，有：=（9）由矩阵第一行可知，原来平行于x轴的向量将在投影平面xoy上汇集于灭点(ze，0)；由矩阵第三行可知，原来平行于z轴的向量将在投影平面xoy上有灭点(-ze，0)（图-3）。图-3 两灭点透视变换的例子4.3 三灭点透视4.3.1 通过旋转得到三灭点透视将物体绕x轴转角，绕y轴转角，再施以变换pz即得三灭点透视，变换为1)=规格化矩阵的前三行，即得原来分别平行于x，y，z轴的向量经变换后的投影分别交于三个灭点：，和类似地，通过以下矩阵的乘积，可得出五个类似的物体绕两个轴旋转后的变换矩阵：2) E Ry Rx Pz3) E Ry Rz Pz4) E Rz Ry Pz5) E Rz Rx Pz6) E Rx Rz Pz总结以上6种变换，可以得到绕两个轴旋转后产生一、二、三个灭点的情况表-1。从该表中可以看出，如果分别采用1，3，6三种旋转变换，它们可以保证经透视投影后物体不出现倾斜状态，有“坐如钟，立如松”的透视效果（图-5a）。这在实际应用（例如建筑透视图）中十分需要。表-1通过旋转变换产生的透视投影灭点的情况表序旋转主轴及次序与原坐标轴平行线簇在XOY平面上的灭点坐标灭点数备 注XYZ1.不旋转/0，011个灭点在中心2.X/0，-ctgxze0，tgxze22个灭点位于同一垂直方向3.Yctgyze，0/tgyze，022个灭点位于同一水平方向4.Z/0，011个灭点在中心5.XYctgyze，0-tgyze，-ctgx/cosyze-tgyze，tgx/cosyze32个灭点位于同一垂直方向，1个灭点在水平轴上6.YXctgy/cosxze，tgxze0，-ctgxze-tgy/cosxze，tgxze32个灭点位于同一水平方向，1个灭点在垂直轴上7.YZctgycoszze，ctgysinzze/-tgycoszze，-tgysinzze23个灭点成歪斜状态8.ZYctgyze，tgz/sinyzectgyze，-ctgx/sinyze-tgyze，033个灭点成歪斜状态9.ZX-ctgz/sinxze，-ctgxzetgz/sinxze，-ctgxze，0，tgxze32个灭点位于同一水平方向，1个灭点在垂直轴上10.XZ/ctgxsinzze，-ctgxcoszze-tgxsinzze，tgxcoszze22个灭点成歪斜状态4.3.2 通过倾斜画面得到三灭点透视与画面成一角度的平行线簇经透视变换后也交于灭点。因此，可采用两种不同的方法来获得透视图：其一是画面铅垂而旋转物体使之与画面构成角度；其二是物体铅垂而是画面倾斜。后者也经常使用，例如为了将高层建筑的背景摄入镜头，人们经常将相机倾斜某一角度来摄得三灭点透视图的相片。图-4倾斜画面得到三灭点透视原理图如图-4所示，设物体建立在如下的坐标系e0x1y1z1上：以H面为y1=0平面，e0e为z1轴。画面K与垂直坐标平面z1=0的夹角为。|eE|=h，e0e=ze。为了求出视点在E，画面为K的透视变换公式，可建立一个由物体的原坐标系e0x1y1z1从原点e0平移到E0而得到的新的坐标系E0xyz。于是有：1) 物体在新坐标系下的坐标(x=x1，y=y1-h，z=z1)是原坐标系下的坐标平移一个向量得到的，其矩阵形式为：（10）2) 物体的透视变换在E0xyz坐标系下进行，此时视点在z轴上，且ze = E0E（11）3) 为了产生在水平位置的两个灭点，物体在E0xyz坐标系下绕通过点(x0，y，z0)，且平行于y轴的直线旋转一个角，变换矩阵形式为：（12）4) 画面K在E0xyz坐标系下的方程为（13）它与式（式5）直线参数方程联合求解锝将此式代入式（式5），取消足标，并对z坐标施以同样变换，用齐次矩阵形式表示，则为：（14）5) 综上所述，物体的总变换阵为（15）其中6) 物体体中原分别平行于x，y，z轴的直线经矩阵A变换后，将分别交于灭点：原平行于x轴的直线：原平行于y轴的直线：原平行于轴z的直线7) 从透视阵A（式15）可知，透视参数分别为，且有a.由旋转产生的三灭点透视图 b.由倾斜画面产生的三灭点透视图图-5 两个灭点位于同一水平方向而另一个灭点在铅垂轴上的最佳透视变换5. 总结本文讨论了透视变换的基本原理，阐述了透视变换参数的意义，给出定量求取透视变换参数的通用方法。由于与画面成一角度的平行线簇经透视变换后交于灭点，可采用两种不同的方法来获得透视图：其一是保持画面铅垂而通过旋转物体使之与画面构成角度达到透视变换效果，其二是通过倾斜投影画面而达到透视变换效果。对前者，本文得到了3种两个灭点位于同一水平方向而另一个灭点在铅垂轴上的最佳透视变换矩阵；对后者，本文给出了通过倾斜画面得到三灭点透视图的齐次透视变换矩阵。两种方法均能得到三灭点透视图（图-5），而且灭点都是可以预先控制的（即可先决定灭点再决定变换矩阵）。证明了对一个空间物体，一定存在另一个空间物体，使前者在画面上的透视投影与后者的平行投影是一样的，且保留了深度方向的对应关系。这个性质可使复杂的透视投影转化成简单的平行投影，使得立体图形的处理大为简化，比较彻底的解决了透视变换参数的生成问题。参考文献1 Wei Mingtao, Computer Graphics, Beijing：Publishing House of Electronics Industry, 2001,P136-141;(魏明涛，计算机图形学，北京：电子工业出版社，2001年11月，P136-141)2 Xie Buying et at. Introduction to Computer Graphics, Shanghai：Tongji University Press, 1994, P96-110;(谢步赢编著，计算机绘图教程，上海：同济大学出版社，1994年9月，P82)3 Jiang Tao et at. Fundamentals of Computer Drawing and Computer Aided Design, Shanghai：Fudan University Press, 1992, Ps: 3439;(江 涛主编，计算机绘图与辅助设计基础，上海：复旦大学出版社，1992年5月，P81-83)4 Hong zhongde., Modern Engineering and Technology Graphics, Shanghai：HuaDong ? University Press,1999, P81-83;(洪钟德主编，现代工程技术图形学，华东理工大学出版社，1999年8月，P81-83;)5 Ying Daolin. Computer Graphics. Zhejiang University Press, 1990, P53(应道宁等，计算机绘图，浙江大学出版社，1990年6月，P53图3-25)6 Dang rongxi etc. Computer Graphics. Course , Beijing：Science and Technology Press, 2000.11, P58(唐荣锡等，计算机图形学教程，北京：科学技术出版社，2000年11月，P58)注：本文发表于计算机辅助设计和图形学学报，2005年4月，第17卷 第4期，PP734-739。7