量子力学.doc

一、简答题1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。2. 简并、简并度。3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在立体角中被测到的几率。4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在球壳中被测到的几率。5. 用球坐标表示，粒子波函数表为。写出粒子在方向的立体角中且半径在范围内被测到的几率。6. 一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。7. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。8. 写出三维无限深势阱 中粒子的能级和波函数。9. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。10. 粒子在一维势阱 中运动，波函数为，写出的跃变条件。11. 何谓几率流密度？写出几率流密度的表达式。12. 写出在表象中的泡利矩阵。13. 电子自旋假设的两个要点。14. 量子力学中，一个力学量守恒的条件是什么？用式子表示。15. 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？16. 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。17. 给出如下对易关系： 18. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：，写出展开式系数的表达式。19. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ， 准确叙述 及 分别表示什么样的物理意义。20. 一个电子运动的旋量波函数为 ，写出表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。21. 二电子体系中，总自旋 ，写出（）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 22. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 23. 给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量用或表示的式子；（亦即）的归一化本征态。 24. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？在两种表象中，各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 25. 使用定态微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？ 26. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 27. 何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？ 28. 给出光学定理的表达式。光学定理的意义何在？ 29. 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？30. 对于阶梯形方势场 ，如果（）有限，则定态波函数连续否？其一阶导数 连续否？ 31. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。二、计算证明题1. 计算下列对易式：(1) （2）2. 一维运动中，哈密顿量 ，求3. 计算：4. 质量为的粒子处于能量为的本征态，波函数为，问粒子在什么样的位势中运动？5. 一电子局限在10-14米的区域中运动。已知电子质量9.1110-31千克，试计算该电子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为10-14米的三维无限深势阱计算）。6. 求的归一化常数：（1） ；（2） 。 （积分公式：）7. 设粒子处于一维无限深势阱 中，求处于定态中的粒子位置x的平均值。8. 一个谐振子处于基态：求势能的平均值及动能的平均值。9. 质量为的粒子处于长为的一维盒子中， 在时,粒子波函数为 求的级数表达式和级数系数表示式。10. 考虑如下一维波函数 （1）其中为已知常数。(1) 利用S.eq求位势和能量。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当）；(2) 该势与轨道角动量为的氢原子态的径向势有何异同?11. 一个质量为的粒子在势作用下作一维运动。假定它处在的能量本征态，（1）求粒子的平均位置； （2）求粒子的平均动量；（3）求； （4）求粒子的动量在间的几率。12. 一质量为的粒子沿正方向以能量向处 的势阶运动。当时，该势为；当时，该势为。 问在处粒子被反射的的几率多大？ 0 X13. 若粒子从右边入射，求如图所示一维阶梯势的 反射和透射系数。 0 X 14. 设力学量不显含时间，证明在束缚定态下， 。15. 已知厄米算符、互相反对易：；是算符的本征态：，本征值。求在态中，算符的平均值。16.为的本征态，本征值为。求在的本征态下，和的平均值。17. 证明：厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。18. 对于氢原子基态,求电子处于经典禁区的几率(已知氢原子能级,基态波函数为半径, 势能)。19. 氢原子处于基态：,求：（1）势能的平均值；（2）最可几半径。20. 为的二本征态，本征值分别为。证明：（1）矩阵元之间的关系为 （2）在的任何本征态（比如）下，恒有 。21. 在半径为的硬钢球内，有一质量为的粒子处于基态。现突然将这硬钢球扩展到原来半径的两倍，求扩展后系统中粒子处在基态的几率是多少？公式 22. 一电子处于态，测力学量，测值如何？ 测力学量，可能得哪些测值？写出在其自身表象中的矩阵表示。23. 在表象中,求的本征态。24. 已知、分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，为电子的总角动量。的共同本征态为。证明是的本征态，并就和两种情况分别求出其相应的本征值。25. 氢原子的波函数（时刻）为，求时刻的平均能量，时刻氢原子具有能量的几率，以及氢原子相应角动量在方向投影为零的几率。其中为定态空间波函数。26. 一维运动粒子的状态是 ，求：(1) 归一化常数；(2) 粒子动量的几率分布；(3) 粒子动量平均值。27. 粒子自旋处于的本征态 ，试求和的测不准关系。28. 氢原子处于状态 ，(1) 求轨道角动量的分量的平均值；(2) 求自旋角动量的分量的平均值；(3) 求总磁矩的分量的平均值。 29. 氢原子处于状态。试求： （1）能量算符、角动量平方算符和角动量分量的可能取值；（2）上述三个量取各可能值的几率；（3）上述三个量的平均值。30. 证明pauli矩阵满足 。31. 、分别为电子的自旋和轨道角动量，为电子的总角动量。证明：（1）=0； （2） =0，32. 证明：，其中。33. 已知电子的自旋角动量、轨道角动量和总角动量分别为和，的共同本征态为。利用证明：。34. 质量为的粒子在二维无限深方势阱中运动， （1）试直接写出（不必求解）基态和第一激发态的能级和能量本征函数；（2）加上微扰 ， 求第一激发态能量至级、基态能量至级。35. 在时间时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态： ，式中是振子的第个本征函数。（1）试求的数值；（2）写出在时刻的波函数；（3）在时振子能量的平均值是多少？秒时呢？36. 质量为的粒子受微扰后，在一维势场 中运动。（1）题中应当把什么看作微扰势？（2）写出未受微扰时的能级和波函数；（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，其中。提示：。37 粒子在一维势场 （1）中运动，甚小，试求基态能量准确到的修正值以及应满足的条件。38.（1）粒子在二维无限深方势阱中运动， ， （1）试写出能级和能量本征函数（能量最低的两个态）；（2）加上微扰 （2）求最低的两个能级的一级微扰修正。39. 一维无限深势阱中的粒子，受到微扰 的作用，求基态能量的一级修正。 0 40. 考虑在无限深势阱（）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。41. 两个自旋1/2，质量为的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，指出简并度。42. 一维无限深的、宽为1的势阱中含有三个电子，势 。 在温度，并忽略库仑相互作用近似下，三个电子的平均能量。问在同样近似下，在阱中若有四个电子时，其平均能量是多少？43. 两个质量为、自旋1/2的全同费米子处在一维无限深势阱中，阱宽为，粒子间相互作用势可作为微扰。试用单粒子态和自旋态组出三个最低能态，用一阶微扰论计算第二、第三个最低能态的能量，忽略自旋相关力，积分不必求出。44. 宽为的一维盒子内有两个质量均为的无自旋的粒子，其相互作用势为 ，计算基态能量，精确到的一次项。 45. 设粒子在一维无限深方势阱 中运动，处于基态。时刻阱宽突然变为，粒子波函数来不及改变，即 。试问：对于加宽了的无限深方势阱 ，测得粒子处于能量仍保持为的新的本征态下的概率为多大？46. 一维势阱具有下列单粒子能量本征态：；对应能级两个无相互作用的粒子置于该势阱中。对下列不同情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值及相应的简并度；与上述能级对应的所有二粒子波函数。（1）两个自旋为1/2的可区分粒子；（2）两个自旋为1/2的全同粒子； （3）两个自旋为0的全同粒子。47. 一维谐振子，哈密顿。采用自然单位：，则。基本对易式可表成 ， （1）令 （2）证明（1） ； （3）（2）。 （4）其中 为声子数算符。48. 用数学归纳法证明：。49. 已知为声子数算符，其归一化本征态为 ，利用，证明： 。50. 设有两类谐振子，相应的声子产生和湮没算符用； 表示，它们满足 。定义算符 证明： 51. 设哈米顿算符 ，其中是正实数，是正参数，和为玻色型产生算符和消灭算符，用微扰论求的基态本征值（准至级）和相应的本征态（准至级）。