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方程、不等式复习专题
一、考法、考点分析
1、 考法分析：
方程与不等式的综合应用是中考数学重点考查的内容之一，新课程在数与代数领域的一个亮点就是加强了知识之间的内在联系的研究，方程与不等式是紧密联系的数学知识，复习时，要站在知识整体的高度把握方程式和不等式的知识内容。
2、 考点课标要求：
（1）根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
（2）经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。
（3）会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）
（4）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
（5）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否正确。
(6) 一元一次不等式（组）的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主，难度不大，另外关于列一元一次不等式（组）解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大
重点、难点、疑点
1.方程的概念；方程的解法；列方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验，既要验证根是否是原分式方程的根，又要验是否符合题意；⑦答：写出答案
2．不等式（组）的有关概念;不等式（组）的解法;解(解集)的表示;列不等式(不等式组)解应用题:①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出不等关系；④列：列出不等式（组）；⑤解：解不等式（组）； ⑥答：写出答案
二、知识点归纳
（1）方程：含有未知数的等式叫方程。
（2）一元一次方程:含有一个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫一元一次方程。
（3）二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如等，都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。
x=a
y=b

（4）二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。
（5）二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如：
2x-y=1
x+y=2
3x-y=5
x=2
x+2y=3
3x-y=1
2x+4y=6

x=2

等都是二元一次方程组。

（6）二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。
（7）会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解
检验方法：把一对数值分别代入方程组的、两个方程，如果这对未知数既满足方程，又满足方程，则它就是此方程组的解。
（8） 二元一次方程组的解法：
解题思想:将二元变成一元;代入消元法加减消元法
2、不等式具体知识点
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子．
（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值．
（3）不等式的解集：一个不等式所有解的集合．
（4）解不等式：求出不等式解集的过程．
（5）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式（其标准形式为ax-b＞0或ax-b＜0，（a≠0）．
（6）一元一次不等式组：两个或两个以上含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，称为一元一次不等式组．
（7）不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫这个不等式组的解集．
（8）解不等式组：求出不等式组解集的过程．
(9)不等式组解集的取法:大大取大,小小取小,一大一小取公共部分.
三、典例解析

例1．解方程：
(1) 2x－(x+3)=-x+3 （2）+=2 （3）（x+15）=-(x-7)
解：（1）2x－(x+3)= -x+3
去分母，得６x-2(x+3)= -3x+9 --------------等式性质，两边同时乘3
去括号，得 6x-2x-6= -3x +9 -----------去括号法则
移项， 得 6x-2x +3x=9+6 -----------等式性质，两边同时加上6、3x
合并同类项，得7x=15 -----------合并同类项法则
未知数系数化为1，得x= -----------两边同时除以7
【点评】解一元一次方程作为基本技能要熟练掌握，同时还要注意对解方程各个步骤地灵活处理。
例2．解方程：
(1)2%x-5+5%x=20%， (2) －＝２
解：（1）去分母，得2x-500+5x=20
移项并整理，得7x=520，
系数化为1，得x＝
(2)由分数基本性质，得－＝２，
去分母，得5(10x-10)-3(10x+20)=30,
去括号，得50x-50-30x-60=30，
移项并整理，得20x＝140，
系数化为1，得x＝7.
【点评】学生的代数运算能力的形成不是一蹴而就的，需要不断地训练，应充分地利用解方程这一训练和提高学生代数运算能力的极好载体
例3：判断下列方程是不是二元一次方程

分析：判断一个方程是否是二元一次方程需满足以下几条要求①含有两个未知数，②未知项的次数是“1”，③任何一个二元一次方程都可以化成 ，（ 为已知数）的形式，这种形式叫做二元一次方程的一般形式.也就是说任何一个方程只要能化成 （ ）.这个方程就是二元一次方程.
解：(1)不是，∵未知项次数为2；
（2）是，∵经过化简为 ，符合一般形式，∴是；
（3）不是，∵xy的次数是2；
（4）是，∵经过化简为x－y＝0，即符合定义，又能化为一般形式；
（5）不是，∵含有三个未知数，同时未知项 次数为2；
（6）不是，∵不是整式，像这样分母中含有未知数的方程都不属于二元一次方程；
例4：解方程组
分析：方程①可以把y看作2+x，则方程②中的y就可以和2+x来代替，这样方程②就可以转化为一元一次方程．
解：把①代入②得 2x+2+x=6 3x=4 ∴
把代入①得，∴。∴
例5：甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动。甲车的速度较快，当两车反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每1分钟相遇一次，求两车的速度。
分析：在环路问题中，若两人同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。
解：设甲、乙两车的速度分别为每秒 x米和每秒y米，根据题意，得
经检验，符合题意。
答：甲、乙两车的速度分别为25米/秒，15米/秒。
例6：张华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息
所得税后可得到利息43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利
率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额×20%）。
分析：利率问题：利息=本金×利率×时间。
解：设2000元、1000元的年利率分别为x%和y%，则根据题意，得方程组。

解方程组，x=2.25，y=0.99，
答：两种储蓄的年利润分别为2.25%和0.99%。
例7、某家具厂生产一种方桌，设计时1立方米的木材可做50个桌面，或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套，并指出共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）。
分析：解有关配套问题，要根据配套的比例，依据特定的数量关系列方程（组）求解。
解：设用x立方米的木材做桌面，y立方米的木材做桌腿，根据题意，

经检验符合题意，
此时，可做方桌为50×6=300（张）。
例8　在CBA篮球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，八一篮球队参加了12场比赛，共得22分，已知八一篮球队只输了2场，那么此队胜几场?平几场?
分析：找出以下等量关系：
这支球队胜的场数+这支球队平的场数+这支球队负的场数＝12，
这支球队得3分的总数+这支球队得1分的总数+这支球队得0分的总数＝22．
解：设八一篮球队胜x场，平y场，依题意，得
解这个方程组，得
答：八一篮球队胜了6场，平了4场.
【点评】这是用二元一次方程组模型解数学应用题的一个例子，可见要让学生充分体验，积累丰富的数学活动经验，不断提高“建模”的能力。
例9．（2006年芜湖市）已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A、ab>b2 B、a+c>b+c C、 < D、ac>bc
析解：本题主要考查不等式的基本性质，由已知易得B
例10．（2006年日照市）已知方程组的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（ ）
（A）m≥-（B）m≥（C）m≥1（D）-≤m≤1
析解：本题先通过解方程组，解出x，y的值，再代入不等式2x+y≥0中，从而求出m的取值范围，应选A
例11．（2006年东营市）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：
≥

析解：本题主要考查解不等式组以及解集如何在数轴上表示的问题
解不等式≥x，得x≤3，解不等式，得x＞－2．
·

·

·

·

·

·

·

0

－1

－2

－3

1

2

3

4

°
所以，原不等式组的解集是－2＜x≤3．
在数轴上表示为

四、 练习训练
1.已知关于的方程的根大于0，则的取值范围是 .
2.把右图折叠成正方体，如果相对面的值相等，则一组的值 是 .
3.下列判断正确的是（ ）
A.方程的解是
B.方程的解必是方程组的解
C.可以取任意数，都是方程的解
D.二元一次方程组一定只有一组解
4.是否存在这样的整数，使方程组的解是一对非负数？若存在，求出它的解；若不存在，请说明理由.
5.（2006年北京市）解分式方程：
6．（2006年日照市）已知，关于x的方程，那么的值为 ．
7．(2006年长春市)A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？
8．（2006年长沙市）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
9．（2006年长春市）不等式组的解集是_____________________。
10．（2006年湖州市）不等式的解集是（ ）
A、x>1 B、x<3 C、1 C、－1＜x≤2 D、x＞－1
13．（2006年武汉市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
－1
0
1
2
2
2
2
1
1
1
0
0
0
－1
－1
－1
A
B
C
D
第13题图

14.（2006年维坊市）不等式组的解是，那么的值等于　　　　．
15.有一只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7min到达学校.
（1）此时，若绕道而行要15min到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维护秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6min通过道口，问维护秩序的时间是多少？
16.两辆汽车从同一地点出发，沿同一方向匀速直线行驶，每车最多只能携带24桶燃油，途中不能加油；每桶油可以使一辆汽车前进60km，两车都必须返回出发点，但可以先后返回，且两车可以相互赠用双方的燃油.为了使其中一辆汽车尽可能的远离出发点，问另一辆汽车应在离出发点多远处就返回？远行的那辆汽车往返全程最多能行驶多少千米？
17.某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书用100元,按该书定价2.8元出售,并很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本批发价已比第一次高0.5元,用去了150元,所购书数量比第一次多10本.当这批书售出时出现滞销,便以定价的5折售完剩下的图书.试问该老板第二次售书赔钱了,还是赚钱了?若赔线,赔多少?若赚钱,赚多少?