矩形光栅衍射效率的一般表达式及其缺级现象.pdf

矩形光栅衍射效率的一般表达式及其缺级现象3巴音贺希格3 3,齐向东,唐玉国(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林 长春130022)摘要:在标量衍射理论基础上,采用透过率函数的傅里叶级数展开和复振幅的傅里叶变换方法给出了计算斜入射下矩形光栅衍射效率的一般表达式;分析了矩形光栅衍射光谱中出现缺级现象的机理,并归纳出了缺级与占空比的关系式。同时,通过数值算例阐述了VCD、DVD和CD2ROM信号读出头光栅和用于制作光纤光栅的相位掩模板在理论设计与具体应用上的差别。关键词:矩形光栅;缺级现象;占空比;信号读出头中图分类号:O436.1;O438.2;TN201 文献标识码:A 文章编号:100520086(2003)1021021204The General Formula to the Diffraction Efficiency of Rectangular Grating andits Phenomenon of Missing OrdersBayanheshig3 3,QI Xiang2dong,TANG Yu2guo(Changchun Institute of Optics,Fine Mechanics and Physics,The Chinese Academy of Sciences,Changchun130022,China)Abstract:The general formula to the diffraction efficiency of rectangular grating that can be used in theoblique angle was presented by using Fourier expansion to the transmission function and Fourier transfer tothe plural amplitude.Deeper analysis of the theory on the phenomenon of missing orders in the diffractionspectrum of rectangular grating was made and the relation between the missing orders and the duty cyclewas summarized.Meantime a example that explains the difference between the grating in the optical pick2uphead of VCD,DVD,and CD2ROM and the phase mask in the optical fiber grating in the theoretic design andapplications was described by numeric calculation.Key words:rectangular grating;phenomenon of missing orders;optical pick2up head1 引 言 矩形光栅是一种典型的位相光栅,其用途十分广泛。当光栅的特征尺寸接近或小于波长,即达到亚波长结构时,必须采用严格的矢量衍射理论分析衍射场的相关特性15;当光栅的特征尺寸远大于波长时,采用标量衍射理论分析就足够精确。VCD、DVD和CD2ROM信号读出头用光栅和制作光纤光栅的相位掩模板基本属于后者。有人给出过此类矩形光栅衍射效率的计算公式610,然而彼此尚存在差异,尤其关于VCD和DVD信号读出头光栅的研究还不够全面。实验发现,这种矩形光栅的衍射光谱中没有偶级谱线,即存在缺偶级现象,但对其很少有人注意,也未见理论解释的系统报道。本文在标量衍射理论基础上采用透过率函数的傅里叶级数展开和复振幅的傅里叶变换方法给出了计算斜入射下矩形光栅衍射效率的一般表达式。这一理论表达式所描述的各衍射级次谱线的光强分布(衍射效率)特点与实验现象一致,不仅合理解释了缺偶级现象,而且指出了发生缺奇级现象的条件。经过较深入地分析矩形光栅衍射光谱中出现缺级现象的机理,归纳出了缺级与占空比的关系式。为了加快VCD和DVD信号读出头光栅国产化进程,我们近两年做了广泛的理论和实验研究,现已有多种规格样品光 电 子 激 光第14卷 第10期 2003年10月Journal of OptoelectronicsLaserVol.14 No.10Oct.2003 收稿日期:20032022233 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10004011)3 3E2mail:bayin888 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/光栅问世。本文结合我们的工作实际,通过数值算例阐述了VCD、DVD和CD2ROM信号读出头光栅和用于制作光纤光栅的相位掩模板在理论设计与具体应用上的差别,旨在与同行展开交流。2 衍射效率表达式2.1 一般表达式 矩形光栅截面如图1所示。光栅周期为,脊宽为,占空比为=/,刻槽深度为h,基底厚度为H,材料折射率为n。图1 矩形光栅Fig.1The plot of rectangular grating设光线1和2以角入射到光栅上,为折射角。光线1通过光栅时产生的相位延迟为1=2nH+hcos-2H+hcos=2(H+h)ncos-1cos(1)光线2通过光栅时产生的相位延迟为2=2hcos+2nHcos-2H+hcos=2Hncos-1cos(2)光线1和2通过光栅时产生的相位差为=1-2=2hncos-1cos(3)显然,cos=1nn2-sin2。于是,光栅的透过率函数为t(x)=ei1,(l-1)x lei2,l x l(4)l=1,2,3,。如果将(4)式写成傅里叶级数的形式,则有t(x)=6m=-cmeim Kx(5)其中,K=2/为光栅矢量的大小;衍射级次m=0,1,2,;傅里叶展开系数为cm=10t(x)e-im Kxdx(6)设单位振幅的单色平面波以角入射到光栅上,即照明函数为e(x)=ei2f0 x(7)这里,f0=sin/,则光栅下表面(光栅出瞳)处的光振动分布为U1(x)=e(x)t(x)=6m=-cmei2(f0+m)x(8)观察屏上的衍射光振动分布U2(fx)为U1(x)的傅里叶变换为U2(fx)=F.T.U1(x)=F.T.6m=-cmei2(f0+m)x=6m=-cm(fx-f0-m)(9)其中,fx=sinm/,且只有当(sinm/)-(sin/)=m/即满足光栅方程(sinm-sin)=m时,(9)式才不等于零。这样,计算各级次衍射波的衍射效率一般表达式为m=U2(fx)3U2(fx)=|cm|2(10)由(6)式可以求出c0和cm为c0=ei1+(1-)ei0=i2m(ei1-ei2)(e-i2m-1)(11)根据(10)和(11)式,经一番冗长的推导过程得到斜入射下矩形光栅衍射效率的一般表达式为0=1-2(1)(1-cos0=1m22(1-cos2m)(1-cos)(12)利用三角函数关系2sin2x=1-cos2x,还可以将其写成sinc函数的形式。2.2 缺级现象 当占空比=1/2时,(11)和(12)式将分别变为c0=12(ei1+ei2)c1=i(ei2-ei1)c3=i3(ei2-ei1)c2=c4=0(13)0=12(1+cos)1=22(1-cos)3=292(1-cos)2=4=0(14)2201光 电 子 激 光2003年 第14卷 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/ 从式(13)、(14)可以看出:1)光波的入射角不仅影响衍射方向,也影响衍射效率,但是相同级次的正、负级衍射具有相同的衍射效率;2)当占空比=1/2时,零级的衍射效率在=2、4、6 时达到最大值100.00%,1级的衍射效率在=、3、5时达到最大值40.57%,3级的衍射效率只是 1级的11.11%,而偶数级次(2,4,)的衍射效率为零,不妨称其为矩形光栅衍射光谱的缺偶级现象,这与实验现象完全一致。其实,由(12)式可知,矩形光栅衍射光谱不仅会出现缺偶级现象,也会产生缺奇级现象。例如,当=1/3和=2/3时,3=0;当=1/5、=2/5、=3/5和=4/5时,5=0等。这一点很少有人注意。还有,在其他情况下也会发生缺偶现象,如=1/4和=3/4时,4=0、8=0;以及当=1/5、=2/5、=3/5和=4/5时,10=0等。由上述分析结果可归纳出缺级与占空比的关系为m=k,k=1,2,3,(15)有些文献把占空比定义为槽宽与光栅周期的比值=(-)/=1-,其实两种定义的实际效果一致。这是因为如果=1/2,自然=1/2,2=4=0;如果=1/3,则=2/3,由(15)式知,都使 得 3=0。由 于+=1,cos2m=cos2m,故两种表示方法等价。3 算 例 图2以VCD信号读出头光栅为例给出了=0、=780 nm和n=1.567时,不同占空比情况下,零级1级、2级和 3的衍射效率与刻槽深度关系曲线。此图表明:1)当=1/2时,衍射效率在光栅刻槽深度为687.83 nm时出现零级的第1个最小值0=0,但当=1/3时,其最小值仅为0=11.11%,这对需要抑制零级衍射的系统显然不利;2)当=1/2时,1级的衍射效率最大值为1=40.57%,但当=1/3时,其最大值仅为1=30.42%,这对需要 1级衍射的系统显然不利;3)当=1/2时,3级的衍射效率最大值可以达到3=4.51%,在某些时候不能忽略,需要通过滤波将其消除;4)当=1/3时,2级的衍射效率最大值可达到2=7.61%,由于其衍射角小,这对只需要零级和 1级衍射或只需要+1级衍射的系统不利。无论是光盘信号读出头光栅,还是光纤光栅相位掩模板,在一般情况下占空比都取=1/2。但是,各图2 衍射效率与光栅刻槽深度、占空比和衍射级的关系Fig.2The plot of relation among the diffractiveefficiency,the height of grating groove,duty cycle,and the diffractive order自的目的却不尽相同。相位掩模板的目的在于实现2=4=0和零级抑制0=0;光盘信号读出头光栅的目的仅仅在于实现2=4=0,因为其正是利用零级和 1级衍射协同作用来循迹和读出信号。因此,两种系统所用的矩形光栅在理论设计和工作原理上是不同的。光纤光栅一般由紫外激光束(193 nm或248 nm)经相位掩模板后 1级衍射光束的近场干涉写入,由于需要抑制零级衍射,必须追求 1级衍射的最大值,这就要求大的刻槽深度h0=/2(n-1),同时还要设法消除其他级次衍射的影响。但是,信号读出头光栅是利用零级和 1级衍射协同作用来实现循迹和读出,它不追求 1级衍射的最大值,而是需要零级和 1级同步达到互相匹配的衍射效率。从图2可以看出,零级和 1级的衍射效率曲线随槽深的变化趋势恰好相反,这就需要根据整个系统对 1级和零级衍射的光强比例要求来设计槽深h(h0)。此时,由于 3级的衍射角较大,不能进入准直镜和物镜视场,即使进入也由于其值很小,如图2所示,一般当作杂散光处理不会影响读取性能。由(3)式和(14)式不难证明,达到同样的衍射效率垂直入射时的刻槽深度要比斜入射时的小,同时,也考虑到使用上的便利,实际应用中往往采用垂直入射形式。4 结 论 在标量衍射理论基础上采用透过率函数的傅里3201第10期 巴音贺希格等:矩形光栅衍射效率的一般表达式及其缺级现象 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/叶级数展开和复振幅的傅里叶变换方法给出了计算斜入射下矩形光栅衍射效率的一般表达式。通过理论分析得知:零级光谱衍射效率最大值可达到100.00%;1级最大值可达到40.57%;3级的衍射效率只是 1级的11.11%;偶数级次的光强为零。合理解释和预言了实验中常见的和不常见的缺偶级现象,一并给出了发生缺奇级现象的条件,归纳出了缺级与占空比的关系式,从而使此类光栅产生缺级现象的机理更加明确,论述更为系统和规范。同时,结合我们的工作实际,通过数值算例阐述了VCD、DVD和CD2ROM信号读出头光栅和用于制作光纤光栅的相位掩模板在理论设计与具体应用上的差别。参 考 文 献:1M GMoharam,T K Gaylord.Diffraction analysis of dielec2tric surface2relief gratingsJ.J.Opt.Soc.Am.,1982,72(10):138521392.2Li L.Multilayer modal method for diffraction gratings ofarbitrary profile,depth,and permittivityJ.J.Opt.Soc.Am.A,1993,10(12):258122591.3Zhang Yu2he,Chen Yan2song.Analysis and numerical cal2culations of the diffraction fields by finite grooves withsubwaveleng2thed structuresJ.Acta Physica Sinica(物理学报),1995,44(2):2042209.(in Chinese)4M GMoharam,EB Grann,D A Pommet,et al.Formulationfor stable and efficient implementation of the rigorouscoupled2wave analysis of binary gratings J.J.Opt.Soc.Am.A,1995,12(5):106821076.5 Bayanheshig,Qi Xiang2dong,Tang Yu2guo.The vectordiffraction theory analysis of chromatic dispersion char2acteristics of phase gratingsJ.Acta Physica Sinica(物理学报),2003,52(5):115721161.(in Chinese)6Liang Wan2guo,Zheng Wan2hua,Xie Jing2hui,et al.Anal2ysis of diffraction efficiency of the holographic optical ele2ments in VCD and DVDJ.Chinese Journal of Semicon2ductors(半导体学报),2001,22(6):7842787.(in 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