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实验十三　探究单摆的摆长与周期的关系
考纲解读 1.知道把单摆的运动看做简谐运动的条件.2.会探究与单摆的周期有关的因素.3.会用单摆测定重力加速度．

基本实验要求
1．实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝.因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值．
2．实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．
3．实验步骤
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆．
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示．
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T＝(N为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期＝.
(5)根据单摆周期公式T＝2π 计算当地的重力加速度g＝.
(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值．
(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因．
　　　规律方法总结
1．注意事项
(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.
(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．
(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．
②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．
(4)本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长l，用横轴表示T2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k＝.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法．
2．数据处理
处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值，然后代入公式g＝求重力加速度．
(2)图象法：
由单摆周期公式不难推出：l＝T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k＝，即可利用g＝4π2k求得重力加速度值，如图1所示．

图1
3．误差分析
(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等．
(2)偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数．
考点一　实验操作与误差分析
例1　(2012·天津·9(2))某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．
①他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图2所示．这样做的目的是________(填字母代号)．

图2
A．保证摆动过程中摆长不变
B．可使周期测量得更加准确
C．需要改变摆长时便于调节
D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
②他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图3所示，则该摆球的直径为________mm，单摆摆长为________m.

图3
③下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是____(填字母代号)．

解析　①在“探究影响单摆周期的因素”实验中，应使单摆在摆动过程中摆长不变，而且摆长便于调节，故选项A、C正确，选项B、D错误．
②摆球的直径
d＝12 mm＋0×0.1 mm＝12.0 mm
摆长l＝L－＝0.999 0 m－0.006 0 m＝0.993 0 m.
③单摆振动的摆角θ≤5°，当θ＝5°时单摆振动的振幅A＝lsin 5°＝0.087 m＝8.7 cm，且为了计时准确，应在摆球摆至平衡位置时开始计时，故选项A正确，选项B、C、D错误．
答案　①AC　②12.0　0.993 0　③A
变式题组
1．[实验操作](2013·安徽·21Ⅰ)根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度．如图4甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆．

图4
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm.
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________．
a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球摆动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
答案　(1)18.6　(2)abe
解析　(1)十分度游标尺的第6个刻度线与主尺刻度线对齐，所以读数为18.6 mm.(2)对于单摆，摆线质量可忽略且不可伸长，所以应选伸缩性小的细线，摆球应选密度较大、体积小的钢球；为使摆的周期大一些，由T＝2π 知，摆线应长些，所以选项a、b正确，为使单摆具有等时性，摆角应小于5°，要减小测量周期的误差，计时起点应选在摆球的平衡位置，且测量多次(N)全振动的总时间(Δt)，然后再算出周期T＝，选项e正确．
2．[误差分析]某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：

图5
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图5所示，则该摆球的直径为________cm.
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
答案　(1)0.97　(2)C
解析　(1)由游标尺的“0”刻线在主尺上的位置读出摆球直径的整毫米数为9mm=09 cm，游标尺中第7条刻度线与主尺刻度线对齐，所以应为0.07 cm，所以摆球直径为0.9 cm＋0.07 cm＝0.97 cm.
(2)单摆应从最低点计时，故A错；因一个周期内，单摆有2次通过最低点，故B错；由T＝2π得，g＝，若用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，则g偏大，C对；因空气阻力的影响，选密度小的摆球，测得的g值误差大，D错．
考点二　实验数据的处理
例2　在探究单摆周期与摆长关系的实验中，
(1)关于安装仪器及测量时的一些实验操作，下列说法中正确的是(　　)
A．用米尺测出摆线的长度，记为摆长l
B．先将摆球和摆线放在水平桌面上测量摆长l，再将单摆悬挂在铁架台上

C．使摆线偏离竖直方向某一角度α(接近5°)，然后由静止释放摆球
D．测出摆球两次通过最低点的时间间隔记为此单摆振动的周期
(2)实验测得的数据如下表所示：
次数
1
2
3
4
5
摆长l/cm
80.00
90.00
100.00
110.00
120.00
30次全振动时间t/s
53.8
56.9
60.0
62.8
65.7
振动周期T/s
1.79
1.90
2.00
2.09
2.19
振动周期的平方T2/s2
3.20
3.61
4.00
4.37
4.80
请将测量数据标在图6中，并在图中作出T2随l变化的关系图象．

图6
(3)根据数据及图象可知单摆周期的平方与摆长的关系是________．
(4)根据图象，可求得当地的重力加速度为________m/s2.(π＝3.14，结果保留3位有效数字)
解析　(1)本实验中，应将摆球和摆线组成单摆之后再测量其摆长，摆长应为悬点到摆球球心的距离，故A、B错误；测量单摆的周期时，应为相邻两次通过最低点并且通过最低点的速度方向相同，即单摆做一次全振动，这段时间才为一个周期，为了减小误差，须测量单摆的多个周期，然后再取平均值求出一个周期，故D错误；单摆在摆角小于5°时可认为做简谐运动，故C正确．
(2)通过描点、连线可得到单摆的T2－l图象，近似为一条直线．
(3)通过作出的图象说明单摆周期的平方和摆长成正比．
(4)根据图象求出图线的斜率k，再根据单摆的周期公式可得g＝，进而求出重力加速度g.
答案　(1)C　(2)如图所示

(3)成正比　(4)9.86
变式题组
3．[数据处理]下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：
摆长l m
0.5
0.6
0.8
1.1
周期T2 s2
2.0
2.4
3.2
4.4
(1)利用上述数据，在图7的坐标系中描绘出l－T2图象．

图7
(2)利用图象，取T2＝4.2 s2时，l＝________ m，重力加速度g＝________ m/s2结果保留三位有效数字)
答案　(1)见解析图　(2)1.05　9.86
解析　由T＝2π得l＝T2，所以图象是过原点且斜率为的一条直线．
(1)l－T2图象如图所示．

(2)T2＝4.2 s2时，从图中可读出其摆长l＝1.05 m，将T2和l代入公式g＝，得g≈9.86 m/s2.
4．[数据处理]某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图8甲所示，可读出摆球的直径为________ cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L.

图8
(2)用秒表测量单摆的周期．当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留三位有效数字)．
(3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2－L图线如图丙，此图线斜率的物理意义是(　　)
A．g B.
C. D.
(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小(　　)
A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能
(5)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度，他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL，再测出其振动周期T2.用该同学测出的物理量表示重力加速度g＝________.
答案　(1)2.06　(2)2.28　(3)C
(4)C　(5)
解析　(1)摆球的直径为d＝20 mm＋6× mm＝20.6 mm＝2.06 cm.(2)秒表的读数为t＝60 s＋7.4 s＝67.4 s，根据题意t＝T＝T，所以周期T＝≈2.28 s．(3)根据单摆周期公式T＝2π，可得＝＝k(常数)，所以选项C正确．(4)因为＝＝k(常数)，所以＝＝k，若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足＝＝k，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变．(5)根据4)的分析，＝，所以g＝＝.
5．[数据处理]有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换了实验数据，并由计算机绘制了T2－L图象，如图9甲所示 .去北大的同学们所测实结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比＝________.

图9
答案　B　2
解析　由T＝2π得，T2＝L，根据题图甲可知＞，即gA＜gB，因为北大更靠近北极，其所在的重力加速度更大些，所以应选B；根据题图甲可知＝·＝＝，由题图乙可得＝，根据T2＝L得＝2.
考点三　实验拓展与创新
例3　(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图10甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．

图10
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图11甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(填“变大”“不变”或“变小”)．

图11
解析　(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是图乙．
(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为t1＋2t0－t1＝2t0；小球的直径变大后，摆长变长，周期变大；同时小球直径变大后使得每次经过最低点时摆球的挡光的时间变长，即Δt变大．
答案　(1)乙　(2)2t0　变大　变大
变式题组
6．[实验创新]为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图12甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示．

图12
(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号)．
A．打点计时器　B．秒表　C．毫米刻度尺　D．电流表
(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，则单摆在经过D点时，滑块的瞬时速度为vD＝________ m/s，滑块的加速度为a＝________ m/s2(结果保留两位小数)．
答案　(1)A　(2)0.34　0.04
解析　(1)单摆振动具有周期性，摆球每隔半个周期经过纸带中线一次，单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同，故选A.
(2)在匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小，故有vD＝＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，有：
x4－x2＝2a1()2 ①　x3－x1＝2a2()2 ②
联立①②有：a＝＝
代入数据得a＝0.04 m/s2
7. [实验创新]将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图13所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出T2－L函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.

图13
(1)如果实验中所得到的T2－L关系图象如图14所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________；

图14
(2)由图可知，小筒的深度h＝________ m，当地重力速度g＝________ m/s2；(计算结果保留三位有效数字)
(3)在实验中，每次测量时总是错误地把摆线加上球直径当成了摆长，如果仍然采用题中图象方法处理数据，你认为会对实验结果造成怎么样的影响？对h的影响是________，对g的影响是________．
A．无影响　B．比真实值小　C．比真实值大　D．不确定
答案　(1)a　(2)0.315　9.86　(3)B　A
解析　(1)由单摆周期公式T＝2π 得T2＝＋
当L＝0时，T2＝＞0，则真正的图象是a.
(2)当T2＝0时，L＝－h，即图象与L轴交点坐标h＝－L＝31.5 cm＝0.315 m．图线的斜率大小k＝，由图象可得k＝4，代入解得：g≈9.86 m/s2.
(3)根据(1)中分析可知把摆线加上球直径当成了摆长，即L偏大，导致图线的纵轴截距偏小，斜率不变．故对h的影响是比真实值小，对g的值没有影响．