课时跟踪检测(五十) 抛物线.doc

课时跟踪检测(五十)　抛物线
(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．(2013·沈阳模拟) 抛物线x2＝y的焦点F到其准线l的距离是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．1
C. D.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)
A．2 B．1
C. D.
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
4．(2014·北京东城区期末)已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
5．(2014·武汉调研)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点的坐标为(2,2)，则直线l的方程为________．
6．(2013·江西高考) 抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
7．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点K(0，－1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.
(1)证明：点F在直线BD上；
(2)设·＝，求∠DBK的平分线与y轴的交点坐标．

8．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4 .
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

第Ⅱ卷：提能增分卷

1．(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

2．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程C；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．

3. (2014·长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M，点F为抛物线C：y＝mx2(m＞0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．
(1)求m的值；
(2)过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FM，FB的斜率分别为k1，k2，k3，问k1，k2，k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．

答 案

第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．选D　因为2p＝，p＝，所以由抛物线的定义可知所求的距离为.
2．选A　注意到抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有＝4.又p＞0，因此有＋3＝4，解得p＝2，故选A.
3．选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知抛物线的焦点坐标为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入抛物线方程得y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.
4．选D　由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)．过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8.所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为×8×8＝32.
5．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y2＝4x.显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，其中k≠0，联立方程得消去y得k2x2＋[4k(1－k)－4]x＋4(1－k)2＝0，显然＝2，解得k＝1.故直线l的方程为y＝x.
答案：y＝x
6．解析：由x2＝2py(p>0)得焦点F，
准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点
A，B，
所以|AB|＝ ，
则|AF|＝|AB|＝ ，
所以＝sin ，
即＝，解得p＝6.
答案：6
7．解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
D(－x1，y1)，l的方程为y＝kx－1，
由得x2－4kx＋4＝0，
从而x1＋x2＝4k，x1x2＝4.
直线BD的方程为y－y1＝(x＋x1)，
即y－＝(x＋x1)，
令x＝0，得y＝＝1，所以点F在直线BD上．
(2)因为FA―→·FB―→＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)·(y2－1)＝8－4k2，
故8－4k2＝，解得k＝±，
所以l的方程为4x－3y－3＝0,4x＋3y＋3＝0.
又由(1)得x2－x1＝±＝±，
故直线BD的斜率为＝±，
因而直线BD的方程为x－3y＋3＝0，
x＋3y－3＝0.
设∠DBK的平分线与y轴的交点为M(0，t)，
则M(0，t)到l及BD的距离分别为，，
由＝，得t＝或t＝9(舍去)，
所以∠DBK的平分线与y轴的交点为
M.
8．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率为时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴
又∵＝4，∴y2＝4y1，③
由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，
BC的中点坐标为(x0，y0)，
由得x2－4kx－16k＝0，④
∴x0＝＝2k，
y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：
b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．
故b的取值范围为(2，＋∞)．
第Ⅱ卷：提能增分卷
1．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，
y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)·(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.
∴直线l过定点(2,0)．
∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．
2．解：(1)依题意知，点R是线段FP的中点，
且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵|PQ|是点Q到直线l的距离．
点Q在线段FP的垂直平分线上，
∴|PQ|＝|QF|.
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x＞0)．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，
圆的半径r＝|MA|＝，
则|TS|＝2＝2，
因为点M在曲线C上，所以x0＝，
所以|TS|＝2＝2，是定值．
3．解：(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为，线段MF的中点
N在抛物线C上，
∴－＝m,8m2＋2m－1＝0，
∴m＝(m＝－舍去)．
(2)由(1)知抛物线C：x2＝4y，F(0,1)．
设直线l的方程为y＋＝k(x－2)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－4kx＋8k＋2＝0，
Δ＝16k2－4(8k＋2)＞0，
∴k＜或k＞
由根与系数的关系得
假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.而k1＋k3＝＋
＝
＝
＝＝
＝，
k2＝＝－，
∴＝－，8k2＋10k＋3＝0，
解得k＝－(符合题意)或k＝－(不合题意，舍去)．
∴直线l的方程为y＋＝－(x－2)，
即x＋2y－1＝0.
∴k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，
此时直线l的方程为x＋2y－1＝0.