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第一章 渐开线圆柱齿轮传动

第一章 渐开线圆柱齿轮传动

§1-1 齿轮的基本概念

一．齿轮的分类及用途
齿轮是机械中常用的一种零件，它的用途传递动力或传递运动。通常齿轮同时起着这两种作用，但有主次之分。有些齿轮以传递动力为主，如各种减速机、变速器中的齿轮；有些齿轮以传递运动为主，如机床中的分度齿轮。
常用的齿轮按其轮廓外形不同可分为三类：
1．圆柱齿轮 其轮廓外形是圆柱形。按其牙齿的直斜不同，又可分为：
1）直齿圆柱齿轮，简称直齿轮；
2）斜齿圆柱齿轮，简称斜齿轮。
在这类齿轮中，有两种特殊变态形式：
1）齿条 齿数为无穷多的齿轮，其渐开线由曲线演变成直线，其外形由圆柱形演变为长条形，其运动由转动演变为直线移动。
2）蜗轮副 斜齿轮的变态。
2．圆锥齿轮 其轮廓外形是圆锥形。按其牙齿的直斜不同，又可分为：
1）直齿圆锥齿轮；
2）弧齿圆锥齿轮。
以上两类齿轮，常用于平行轴或交叉轴之间作等速传动。所谓等速传动是指当主动轮匀速转动时，被动轮也作匀速转动，不考虑传动的运动误差。
3．非圆齿轮 这类齿轮的轮廓外形不是圆的，如椭圆。它们用于不等速传动。

二．齿轮传动的特点
1．在传动过程中，瞬时传动比稳定，传递运动准确可靠；
2．适用的功率和速度范围广泛；
3．传动效率高，使用寿命长；
4．与其它传动相比，在传动相同的功率情况下，尺寸小，结构紧凑。

三．齿轮传动的局限性
1．不适于传递轴间距长的运动；
2．传递直线运动不如液压平稳；
3．制造成本较高，特别是高速、精密的齿轮。

四．齿轮的传动类型
1．两轴线平行的传动：直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮。
2．两轴线交叉或交错：直齿伞齿轮、螺旋齿伞齿轮，蜗轮副。

§1-2 齿廓啮合的基本定律

一对齿轮的传动比是主动轮的角速度ω1与从动轮角速度ω2之比，通常用i12表示，即
一对齿轮的传动比是否恒定，取决于相互啮合的两个轮齿齿廓曲线的形状。

图1.2.1 定传动比传动的条件
图1.2.1 表示齿轮1的齿廓C1和齿轮2的齿廓C2相互啮合，两齿廓在K点相切，tt是两齿廓的公切线，K点称为啮合点。过啮合点K作两齿廓的公法线NN（与tt相垂直），与两齿轮的连心线O1O2相交与P点。设两轮的瞬时转动角速度各为ω1和ω2，向量半径为rk1和rk2，则，齿廓C1在K点的线速度为
其方向垂直于向量半径O1K。
齿廓C2在K点的线速度为
其方向垂直于向量半径O2K。
两齿廓在接触传动时，沿公法线NN方向的分速度应该相等，即v1N = v2N 。
若v1N ＞v2N ，则齿廓C1将嵌入齿廓C2中；若v1N ＜v2N ，则齿廓C1与齿廓C2相离，这两种情况都是不允许的，所以

即
从O1和O2各作公法线NN的垂线，分别与NN交于N1和N2，在△O1N1K和△O2N2K中：
因此得
即
又由于 △O1PN1 ∽ △O2PN2 则
所以

上式表示了齿廓啮合的基本定律，即两齿轮转动角速度比（传动比i12）等于其中心连线O1O2被齿廓啮合点的公法线分成的两段（O2P和O1P）的反比。这里表达的速比仅指两齿廓在K点啮合的那一瞬时的传动比。
如果希望传动比在任何瞬时都是定值，则必须使比值O2P / O1P保持不变。由于P点是中心线上的一点，中心距O1O2保持不变，显然，为了得到定传动比，在啮合过程中必须保证P点固定不动。
如果P点在啮合过程中不能保持不动，则不能构成定传动比的条件。
如果采用的齿廓曲线能使两齿廓在任何位置啮合时，其公法线都通过中心连线上的定点P，则其任何瞬时传动比都为定值。此时，定点P称为节点，以O1、O2为圆心，过节点P所作的圆称为节圆，节圆半径O1P和O2P分别以r1′和r2′表示，
即
由此可知，两节圆在节点P处的圆周速度相等、方向相同。两轮在啮合过程中沿节圆柱作纯滚动。
若使两齿廓的瞬时传动比保持恒定不变，则齿廓形状不能任意选取。如果给出了一个齿廓的曲线，那就应该按照公法线通过定点P的原则，求出与其啮合的另一齿廓的曲线。这样的齿廓称共轭齿廓，这个齿廓曲线称共轭曲线。
能够实现定传动比的齿廓曲线无限多，因为可以根据给出的一个齿廓的曲线去求得其共轭曲线。但是，在选取齿轮的齿廓曲线时，必须考虑一些其它因素，如，这种曲线是否易与精确加工、承载能力是否强、耐磨性能是否好、加工和装配误差对传动质量的影响是否大等等。
用渐开线作为齿廓曲线的齿轮制造容易、安装方便、互换性好，所以应用最广。另外，在计时仪表及油泵中多采用摆线齿廓的齿轮，因为摆线齿轮的耐磨性好，且齿数可以很少。在重载传动中，也有采用圆弧和变态外摆线等作为齿廓曲线。

§1-3 渐开线及其基本性质

一．渐开线的形成
渐开线齿轮牙齿的两侧齿廓是由两段对称的渐开线组成。
当一直线L沿一半径为rb圆的圆周作纯滚动，该直线从位置Ⅰ顺时针滚动到位置Ⅱ时，直线上的任意点K的轨迹AK就是该圆的渐开线。该圆称为渐开线的基圆，直线L称为该渐开线的发生线。

二．渐开线的基本性质
分析渐开线的形成过程（图1.3.1），可知渐开线有以下几个重要性质：
图1.3.1 渐开线的形成 图1.3.2同一基圆的两条渐开线 图1.3.3 渐开线齿廓的压力角
法线间距离相等
1．直线长BK = 弧长AB；
2．BK是基圆的切线，也是K点的法线；
3．同一基圆所产生的两条渐开线，彼此之间法线距离相等（图1.3.2）；
4．渐开线上各点的曲率半径不等。渐开线上越近基圆的部分，曲率半径越小，曲率越大，即渐开线越弯曲；离基圆越远的部分，曲率半径越大，曲率越小，即渐开线越平坦。
5．渐开线的形状取决于基圆的大小。只有在基圆大小相同时才能有完全相同的渐开线。
6．发生线沿基圆作纯滚动时，在转过同样的φ角时，其上一点描绘的渐开线弧长随着渐开线向外延伸而逐渐增大。即弧长K3K4＞弧长K2K3＞弧长K1K2……（图1.3.2）
7．基圆内无渐开线。

三．渐开线齿廓的压力角
当一对渐开线齿廓C1和C2相互作用时（图1.3.3），在从动轮渐开线齿廓C2上所受正压力P的方向沿着接触点K的法线方向（不考虑摩擦），即图示KB方向。受力后，从动轮绕O轴转动渐开线齿廓C2上的K点速度v的方向与OK垂直。这个压力方向与速度方向之间的夹角αx就是渐开线齿廓上任意点K的压力角。
从图中看出，OK与OB之间的夹角就等于αx，在△OBK中
由于基圆半径rb不变，所以渐开线齿廓上的各点压力角随rx的变化而变化，即渐开线齿廓上各点的压力角不等。当K点远离中心O，即rx增大，αx随之增大；当K点越接近基圆，即rx越小，αx越小；当K点在基圆上时，rx等于rb，αx等于零。

四．渐开线的数学方程式
渐开线上任意点K的位置可用极坐标（rx，θx）表示（图1.3.3），rx为渐开线上任意点的向径，θx为渐开线上任意点的渐开角。

渐开线极坐标方程式为

§1-4 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸

为设计和制造齿轮，必须确定齿轮的基本参数和几何尺寸。

一．齿轮的基本参数
齿轮的基本参数为：齿数Z、模数m、压力角α、齿高系数h*、径向间隙系数c*。
1．齿数z 即齿轮牙齿的数目。它是根据齿轮的传动速比要求确定的。
2．模数m 模数是为计算齿轮尺寸设定的一个重要参数。其意义如下：
在齿轮的齿顶圆和齿根圆之间取一个直径为d的圆，称其为分度圆（简称分圆），若将相邻两齿的同侧齿廓沿分圆圆周的弧长称为分圆齿距p，则有分圆周长得到下式：
所以
式中Z为齿数，圆周率π是无理数。若齿距p取有理数，则计算出的分圆直径d也将是无理数，这不但使计算繁琐和不精确，也给制造和检查带来麻烦。因此，在实际应用中，取分齿距与圆周率π之比作为一个基本参数，使其比值为有理数，并以模数m表示，单位为毫米。
齿轮模数已经标准化，国家标准GB1357-87《渐开线圆柱齿轮 模数》中对渐开线圆柱齿轮的模数作了具体规定。
在采用英制单位的国家，用径节DP作为计算齿轮尺寸的基本参数。径节DP是齿数Z与分度圆直径d的比值。即：
模数m与径节DP的关系为：
与模数已经标准化一样，径节也标准化了。
3．压力角α 渐开线齿廓上各点的压力角是不相等的，通常所说的齿轮压力角是指齿轮分圆上的压力角。与模数一样，压力角也标准化了齿轮常用的压力角是20°，还有14.5°，15°，17.5°，22.5°，25°和30°等。
4．齿高系数h* 在GB1356-78中规定了两种齿高系数标准值：正常齿h*=1，短齿h*=0.8。
5．径向间隙系数c* 在GB1356-78中，对于m≥1的圆柱齿轮，规定c*=0.25m。考虑到有些加工方法的需要，允许增大到c*=0.35m。

二．外啮合齿轮传动的几何尺寸计算
在齿轮的基本参数确定后，齿轮的各部分尺寸就基本上确定了。
1．分圆直径d、分圆齿距p和分圆齿厚s
2．齿轮的基圆直径db和基节pb

3．齿顶高ha和全齿高h 过轮齿顶部的圆称为齿顶圆da，过齿槽底部的圆称齿根圆df。齿顶高ha是指轮齿在分圆和齿顶圆之间的径向高度；齿全高h是指轮齿在齿顶圆和齿根圆之间的径向高度。在国家标准GB1356-88《渐开线圆柱齿轮 基本齿廓》中，对以上参数作了如下规定。

式中 径向间隙系数c=0.25m。
标准中心距a 两个标准直齿圆柱齿轮相互啮合的中心距称为标准中心距a，它等于两齿轮的分圆半径之和，即：
这里所说的标准直齿圆柱齿轮是指模数m，压力角α，齿高系数h*及径向间隙系数c*都是标准值，分圆齿厚和齿槽宽相等。
例：一对标准圆柱齿轮啮合，模数m = 4，分圆压力角α = 20°，大轮齿数z1 =30，小轮齿数z2 =20。求两轮的分圆直径d、齿顶圆直径da、齿根圆直径df、基圆直径db；及分圆齿距p，分圆齿厚s，基节pb 和啮合的中心距a。
解：大轮 d1 = mz1 = 4×30=120
da1 = d1+2m = 120+2×4=128
df1 = d1 - 2.5m = 120-2.5×4=110
db1=d1×cos α=120×cos 20°=112.763
小轮 d2 = mz2 = 4×20=80
da2 = d2+2m = 80+2×4=88
df2 = d2 - 2.5m = 80-2.5×4=70
db2=d2×cos α=80×cos 20°=75.175
p =πm=3.14159×4=12.566
s = p/2 =12.566/2=6.283
pb= p cos αf =12.566×cos 20°=11.808
a = m(z1+z2)/2=4×(30+20)=100

§1-5 一对渐开线直齿圆柱齿轮的啮合

一．啮合特性
图1.5.1 渐开线齿轮圆柱的啮合
1．啮合线 一对齿廓啮合时（图1.5.1），两齿廓接触点的轨迹称啮合线。当齿廓C1与C2啮合时，啮合接触点K1、K2都在两基圆的内公切线NN上，所以NN则为该对的啮合线。两齿廓啮合点的实际轨迹是一线段B1B2，称为实际啮合线段；N1N2是理论上可能的最长啮合线，称为理论啮合线段，N1点和N2点称作极限啮合点，显然B1B2≤N1N2。
2．节圆和啮合角 啮合线N1N2与两齿轮的中心连线O1O2的交点P称为节点，通过节点P分别以O1P和O2P为半径所作的圆称为节圆，节圆半径记为r′。
节圆实际上是啮合过程中作纯滚动的圆。节圆是在啮合传动时存在的，对于单个齿轮并不存在节圆。两个标准齿轮在标准中心距间啮合时，其节圆与分度圆重合。节圆半径与啮合传动时的中心距有关，当啮合中心距为a′时，两轮的节圆半径：
啮合角α′是两轮节圆上的压力角。
一对标准齿轮在标准中心距间啮合传动时，其啮合角α′等于分度圆压力角α。

二．正确啮合的基本条件
1．正确啮合条件 一对直齿圆柱啮合传动齿轮的正确啮合的基本条件是两轮的基节必须相等。即：
根据两基节相等的条件：
一对直齿圆柱啮合传动齿轮的正确啮合条件是两轮的模数和压力角分别相等或两轮的模数与压力角的余弦乘积相等。
2．连续传动的条件 一对啮合传动齿轮的连续传动的条件是实际啮合线段B1B2应大于至少等于齿轮基节pb。通常把实际啮合线段B1B2与基节pb的比值称为重迭系数ε，即：

§1-6 齿轮与齿条的啮合

一．齿条的特点
当齿轮的齿数增加到无穷多的时，其基圆直径变为无穷大，齿廓的曲率半径也变得无穷大，渐开线齿廓变成了一条倾斜的直线，齿轮变成了齿条（图1.6.1）。

图1.6.1 齿轮的基准齿廓（齿条）
在齿条上，相当于齿轮分圆的直线称为中线，在中线上，齿厚s和齿槽宽e相等。齿距p是齿厚s和齿槽宽e的和。中线的垂线与齿廓的夹角α称为齿条的齿形角。齿条同侧齿廓沿公法线的距离称为基节pb。
齿条的齿高是以中线分界的，中线以上称为齿顶高ha，中线以下称为齿根高hf。
ha = h*m
hf =（h*+cm
式中： h* 齿高系数
c* 径向间隙系数
与渐开线齿轮相比，直线齿廓齿条具有以下特点：
1．在齿条的不同高度上，齿距均相等。
2．齿条齿廓上任一点压力角均相等。
齿条分为标准齿条和非标准齿条两类。标准齿条的齿形角为20°，非标准齿条的齿形角不等于20°。
标准齿条的齿廓称为齿轮的基准齿廓。这时因为齿条的齿廓是直线，计算和测量都比较方便。在制定齿轮标准时，就以标准齿条的齿廓为标准。国家标准GB1356-88《渐开线圆柱齿轮 基本齿廓》规定了标准齿条的基本参数。

二．齿条与齿轮的啮合
1．标准齿条与齿轮啮合
图1.6.2所示是标准齿条与标准齿轮在标准位置上的啮合情况。此时，齿条的中线与齿轮的分圆相切于P点。

图1.6.2 标准齿条与标准齿轮的啮合 图1.6.3 标准齿条与标准齿轮位移后的啮合

齿条与齿轮正确啮合的条件和齿轮与齿轮正确啮合的条件一样，基节相等。
齿条与齿轮的啮合线是与齿轮基圆相切并与齿条齿廓相垂直的一条直线NN。啮合线必通过齿条中线与齿轮分圆的切点P，P点为节点。以齿轮中心O1为圆心，过节点P所作的圆为节圆；过节点P，沿齿条运动方向所作的节圆切线为节线。在图1.6.2中，节线即齿条的中线，节圆即齿轮的分圆。
齿条与齿轮的啮合线长度是B1B2，B1是齿轮的齿顶圆与啮合线的交点，B2是齿条的齿顶线与啮合线的交点。
齿条与齿轮的啮合角是啮合线与齿条运动方向的夹角，它等于齿条的齿形角α。
图1.6.3所示是标准齿条中线不与标准齿轮分圆相切的啮合情况。此时，已把齿条中线从标准啮合位置相对于齿轮中心O1移开一个距离x。啮合线仍然是一条与齿轮基圆相切并与齿条齿廓相垂直的一条直线NN，啮合角仍然等于齿条的齿形角α。由于啮合线没有改变，所以啮合线与O1y的交点P必定在齿轮的分圆上。齿轮的节圆仍然是分圆，齿条的节线仍然是过P点且切与齿轮分圆的一条直线，对齿条而言，节线已不是中线了。节线与中线之间相距了一段距离，即齿条位移的距离x。
当齿条向齿轮的外面位移后，侧隙和径向间隙都增大了，为了保持它们不变，齿轮的齿顶圆、齿根圆和齿厚都应相应增大；反之，则相应减小。
无论标准齿条相对与齿轮中心成何种安装位置，齿轮的节圆都与分圆重合；啮合角都等于齿条的齿形角。
2．非标准齿条与齿轮啮合

图1.6.4 非标准齿条与标准齿轮的啮合 图1.6.5 零度齿条与齿轮的啮合

图1.6.4所示是一非标准齿条与标准齿轮啮合的情况。齿条的齿形角为αy（αy ≠α），齿距为 py，基节为pb。非标准齿条与标准齿轮的正确啮合条件仍然是二者基节相等。
非标准齿条与标准齿轮啮合时的啮合线仍然与齿轮基圆相切并于齿条齿廓相垂直的一条直线NN。由于齿条的齿形角不等于20°，使啮合线与O1y的交点P不在齿轮的分圆上，则节圆与分圆不重合，齿条的节线也不是中线。
非标准齿条的齿形角可以是任意的，甚至可以是0°。具有0°齿形角的齿条称零度齿条。图1.6.5所示是零度齿条与齿轮啮合的情况。此时，齿轮的节圆与基圆重合，节圆的压力角为零度（即基圆的压力角），零度齿条的齿距等于齿轮的基节，齿槽宽等于齿轮的基圆的齿厚。
对于给定的齿轮，可以有很多齿条与它啮合，齿条的齿形角可以与齿轮的齿形角相同，也可以不相同，只要它们的基节彼此相等即可。
在齿轮加工中，常利用与被加工齿轮齿形角不同的齿条啮合原理满足某种要求。如滚齿加工中的小压力角滚刀和磨齿加工中的零度磨削等。

§1-7 变位齿轮

一．变位齿轮的概念和应用
1．变位齿轮的概念
在齿轮加工中，加工齿轮的刀具相对于加工标准齿轮移动了一段距离X所加工的齿轮称变位齿轮。加工齿轮的刀具向被加工齿轮中心移动的称负变位，反之则称正变位。
刀具相对于加工标准齿轮移动了一段距离X称变位量，变位量X与模数m之比称变为系数x， x=X / m。
图1.7.1展示了m=3、α=20°、Z=30，x=-0.5，x=0，x=+0.5的变位齿轮加工时的齿条刀具和齿轮的位置关系。
x= -0.5 Sf =3.620 x=0 Sf =4.712 x=+0.5 Sf =5.804
图1.7.1 加工变位齿轮时，齿条刀具和齿轮的位置关系

2．变位齿轮的应用
（1）避免根切 用齿条形刀具加工标准齿轮（α=20°，h*=1），在齿数Z＜17时会发生根切，从而限制了Z＜17的齿轮的应用。采用正变位齿轮，可以减少发生根切时的齿数。
（2）增加强度 一对相互啮合的标准齿轮，由于小齿轮的齿根较窄，所以在所用材料和热处理相同的情况下，抗弯强度小于大齿轮。同时因小齿轮单个齿的啮合频次大于大齿轮，小齿轮的寿命小于大齿轮。采用正变位齿轮，可提高小齿轮寿命。
（3）调整齿轮副的啮合中心距 标准齿轮只适用与标准啮合中心距，在设计中，常常出现实际中心距与标准中心距不一样的情况，可以用变位齿轮来调整齿轮副的啮合中心距。

二．变位齿轮的方式
按齿轮啮合中心距和啮合角的改变与否，分为高度变位和角度变位。
1．高度变位
一对变位齿轮，小齿轮的变位系数和大齿轮的变位系数数值相等，两轮变位系数之和为零。一般小齿轮的变位系数是正值，大齿轮的变位系数是负值。与加工标准齿轮相比，加工小齿轮时，刀具离开齿轮的一个距离，即变位量和加工大齿轮时，刀具靠近齿轮的距离相等。这一对齿轮的中心距和啮合角仍和标准齿轮一样，节圆仍和分圆重合，齿高不变。小齿轮的齿顶圆直径变大，分圆齿厚增大；大齿轮齿顶圆直径变小，分圆齿厚减小。这种齿轮，因齿高相对于分圆位置有了改变，所以称作高度变位齿轮。
2．角度变位
一对变位齿轮，两齿轮的变位系数不相等，变位系数之和不为零。两齿轮啮合时，中心距和标准中心距不同，节圆和分圆不重合，啮合角也不同于一对标准齿轮的啮合角。由于这种变位齿轮的啮合角有改变，故称作角度变位齿轮。

三．变位齿轮的分圆齿厚计算
标准齿轮的分圆齿厚
s=πm/2
变位齿轮的分圆齿厚（图1.7.2）
s=πm/2+2xm tgα

图1.7.2 变位齿轮的分圆齿厚计算

§1-8 斜齿圆柱齿轮

斜齿圆柱齿轮较直齿圆柱齿轮传动平稳，冲击、振动和噪音大为减少，承载能力有所提高。但斜齿圆柱齿轮传动过程中产生轴向力，必须在传动机构中安置止推轴承来承受这个轴向力。

一．斜齿圆柱齿轮的基本参数
1．斜齿轮的螺旋角β
斜齿圆柱齿轮的轮齿是以螺旋线分布在圆柱体上的。螺旋线绕圆柱一圈所上升的高度，即为螺旋线导程T。斜齿圆柱齿轮的齿廓曲面与分圆柱的交线即为分圆柱螺旋线，与基圆柱的交线即为基圆柱螺旋线。
由于不同圆柱上的螺旋线的导程相同，所以各圆柱上的螺旋角不等。螺旋线所在圆柱直径越大，其螺旋角也越大。
基圆柱螺旋角βb
tgβb=πdb / T
分圆柱螺旋角β
tgβ=πd /T
任意圆柱螺旋角βx
tgβx=πdx / T
2．斜齿轮的法向模数mn和端面模数mt
端面是指垂直于斜齿轮轴线的平面，法面是指垂直于分圆柱螺旋线方向的平面。

图1-8-1 斜齿轮的法向与端面参数
图1-8-1为斜齿圆柱齿轮的分圆柱展开图，有剖面线的部分表示展开后的齿厚，无剖面线的部分表示展开后的齿槽宽。端面齿厚与法向齿厚不相等，端面齿距与法向齿距也不相等。它们的关系为
pn = pt cosβ
因为
m = p /π
所以
mn = mt cosβ
由于cosβ＜1，所以mt总是大于mn。
斜齿圆柱齿轮是以法向模数mn为标准值的。
3．斜齿圆柱齿轮的法向压力角αn和端面压力角αt
斜齿轮的法向压力角αn和端面压力角αt关系，可以通过斜齿条的法向压力角αn和端面压力角αt关系来说明。如图1-8-2所示。
在直齿条上，法向就是端面，所以 αn = αt =α。

图1-8-2 斜齿条的端面压力角αt和法向压力角αn的关系

因为 cosβ＜1，所以 αn＜αt

4．斜齿圆柱齿轮的几何尺寸计算
（1）齿顶高和齿根高
斜齿圆柱齿轮的法向齿顶高和齿根高与端面齿顶高和齿根高相等，计算方法与直齿圆柱齿轮相同。
（2）分圆直径d
（3）基圆直径db

（4）标准中心距 a
由上式可以看出，斜齿轮的分圆螺旋角β也影响中心距 a。

二．斜齿圆柱齿轮正确啮合的基本条件
1．法向基节pbn相等；
2．分圆螺旋角β大小相等，方向相反。

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