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滚动检测(六)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)
1．设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若
α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，则l⊥β则
α⊥β；④若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α，其中真命题的序
号是________．
解析　②中若m与n相交时命题才正确，其余均为真命题．
答案　①③④
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D，E，F分别在边CB，BA，AC上，
若四边形CDEF为矩形，则矩形CDEF面积的最大值是________．

解析　如图，设DE＝x，EF＝y，则BD＝4－y，于是由DE∥
CA，得＝，即＝，所以12＝4x＋3y≥2，所
以SCDEF＝xy≤3.
答案　3
3．已知函数f(x)＝在区间(a＞0)内存在极值，则
实数a的取值范围是________．
解析　f′(x)＝＝＝0，
得x＝1，由题意，得a＜1＜a＋，解得＜a＜1.
答案　
4．(2011·南京模拟)已知函数f(x)＝在区间上单调递减，则实数m的取值范
围是________．
解析　由f′(x)＝≤0，
得m sin x≤2且cos2x≠0，因为0＜x＜
所以0＜sin x＜1，所以由m≤，得m≤2.
答案　(－∞，2]
5．(2011·南京模拟)P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是两个焦点，若PF1＝4，则∠F1PF2
的大小为________．
解析　因为PF1＋PF2＝2a＝6，所以PF2＝2.
又F1F2＝2c＝2，所以cos∠F1PF2＝
＝－，所以∠F1PF2＝.
答案　
6．设F是椭圆＋y2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，最小距离是m，
则椭圆上与点F的距离等于(M＋m)的点的坐标是________．
解析　由＋y2＝1得F(，0)，则椭圆上点到点F的最大距离是2＋，到F的最小
距离是2－，所以(M＋m)＝2，显然当点为短轴的两端点时，满足题意．
答案　(0，±1)
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左右焦点，分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，且
PF1＝4PF2，则双曲线e的最大值为________．
解析　因为PF1－PF2＝2a，PF1＝4PF2，所以PF2＝a，于是由PF1＋PF2＝5PF2≥2c，
得a≥2c，所以e＝≤.
答案　

8．(2011·南京模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、
右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，
垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离
心率为_______．
解析　由题意，得直线F2H的方程为y＝－(x－c)，与y＝x
联立，解得H，所以由M在双曲线C上，得－＝1，解
得e＝＝.
答案　
9．已知抛物线y＝x2上三点A(1,1)，B，C满足·＝0，则△ABC外接圆面积最小值
为________．
解析　设B(x1，x)，C(x2，x)，则由·＝0，得x2＝1－，
所以x2≤－1或x2≥3.
因为AC是△ABC外接圆直径，
所以当AC＝＝ 最小时，面积最小．
设f(x)＝x4－x2－2x＋2，则由f′(x)＝0，得x＝1.当x＞1时，f(x)是增函数，当x＜1时，
f(x)是减函数，故当x2＝－1时，(AC)min＝2，即外接圆半径为1，面积最小为π.
答案　π
10．设P是双曲线x2－＝1右支上一点，F为双曲线右焦点，已知A(3,1)，则PA＋PF的
最小值为________．
解析　设双曲线另一个焦点为F′(－2,0)，
连结AF′交双曲线右支于点P1，连结P1F，
则P1F′－P1F＝2a＝2，于是(PA＋PF)min＝P1A＋P1F＝P1A＋(P1F′－2)＝AF′－2＝
－2.
答案　－2
11．(2010·苏北四市联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P
是双曲线上一点，圆C是△PF1F2的内切圆，圆C与F1F2切于点A，则切点A的坐标
是__．
解析　设内切圆C与△PF1F2的边PF1，PF2分别切于E，M两点，当P在右支上时，
PF1－PF2＝2a，PF1＝PE＋EF1，PF2＝PM＋MF2，PE＝PM，所以EF1－MF2＝2a，又
F1A＝F1E，AF2＝F2M，所以AF1－AF2＝2a，又AF1＋AF2＝2c，所以AF1＝a＋c，AF2
＝c－a，所以A(a,0)．
同理，当P在双曲线左支上时可得A(－a,0)．
答案　(±a,0)

12．(2009·江苏)如右图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、
B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线
A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线
段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．
解析　A1(－a,0)，B2(0，b)．
故A1B2的方程为＋＝1.
B1(0，－b)，F(c,0)．故B1F的方程为y＝x－b.
交点T的坐标满足
解得T，
∵OT的中点M在椭圆＋＝1上，
故有2＋＝1，整理得3a2－10ac－c2＝0，
∴e2＋10e－3＝0，∴e＝2－5.
答案　2－5
13．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，
若的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是________．
解析　＝＝＋PF2＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当＝PF2，即PF2＝
2a时上式取等号，这时PF1＝4a，由PF1＋PF2≥F1F2，得6a≥2c，故1＜e＝≤3.
答案　(1,3]
14．设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦．若
在左准线上存在点R，使△PQR为正三角形，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

解析　设线段PQ的中点为M.过点P，M，Q分别作左准线
的垂线，垂足分别为P′、M′、Q′，则MM′＝(PP′
＋QQ′)＝＝.假设存在点R，则RM＝PQ，
且MM′＜RM，即＜PQ，所以e＞.
答案　
二、解答题(本题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右
准线l上存在点A(点A在x轴上方)，使△AF1F2为等腰三角形．
(1)求离心率e的范围；
(2)若椭圆上点到两焦点F1，F2的距离之和为3，且b∈N*，求椭圆C的方程．

解　(1)由题意，得AF2＝F1F2＝2c.
又l方程为x＝，设A，因F2(c,0)，
则由2＋t2＝4c2，得4c2≥2，
即2c≥－c，所以3c2≥a2，
e＝≥，所以e∈.
(2)因为2a＝3，所以a＝.
所以c≥a＝，所以b2＝a2－c2
＝－c2≤－＝3，又b∈N*，
所以b＝1.
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
16．(本小题满分14分)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O
引切线PQ，切点为Q，且满足PQ＝PA.
(1)求实数a，b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ长的最小值；
(3)若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时的圆P方程．
解　(1)连OP，因为点Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有PQ2＝OP2－OQ2.
又由已知PQ＝PA，故PQ2＝PA2，即(a2＋b2)－12＝(a－2)2＋(b－1)2.
化简得实数a，b间满足的等量关系为2a＋b－3＝0.
(2)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.
PQ＝＝
＝＝ .
故当a＝时，PQmin＝.
即线段PQ长的最小值为.
(3)解法一　设圆P的半径为R，因为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，所以R
－1≤OP≤R＋1.
即R≥|OP－1|且R≤OP＋1.
而OP＝＝
＝ ，
故当a＝时，OPmin＝.此时，b＝－2a＋3＝，Rmin＝－1.
故半径取最小值时圆P的方程为
2＋2＝2.

解法二　因圆P与圆O有公共点，故圆P半径最小时为与圆
O外切(取小者)的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直
线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l
的交点P0.
r＝－1＝－1.
又l′：x－2y＝0，
解方程组得即P0.
所以所求圆的方程为
2＋2＝2.
17．(本小题满分14分)已知AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦，向量＋＝
2，且＝(2,1)，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB
交于点N(4，－1)．
(1)求椭圆的离心率e1；
(2)设双曲线的离心率为e2，f(a)＝e1＋e2.求f(a)的解析式，并求它的定义域和值域．
解　(1)由＋＝2，得M为AB的中点(2,1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
因为A、B在椭圆上所以＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0
即kAB＝＝－＝kMN＝＝－1，
所以a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝c2，
所以椭圆离心率e1＝.
(2)设椭圆的右准线为l，过N作NN′⊥l于N′
由e2＝＝＝＝，
f(a)＝e1＋e2＝＋＝，
由题意设lAB：y＝－x＋3代入椭圆方程，消去y得3x2－12x＋18－a2＝0，
Δ＝122－12(18－a2)＞0，得a＞，
由e2＝＞1，得2＜a＜2＋2，
所以f(a)的定义域为(2，2＋2)，
又f(a)＝＝，
则其值域为.

18．(本小题满分16分)(2010·苏南4市一模)如图，在平面直角坐
标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右
顶点为A，动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，
设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M
的横坐标为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1k2的取值范围．
解　(1)由已知得解得所以
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设点P(x1，y1)(－2＜x1＜3)，点M.
因为F，P，M三点共线，x1≠－2，所以＝，所以y2＝，所以点
M.
因为k1＝，k2＝，所以k1·k2＝×＝.
因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，所以y＝－·(x－9)．
所以k1·k2＝＝－×＝－×.
因为－2＜x1＜3，所以k1·k2＜－.
所以k1·k2的取值范围是.

19．(本小题满分16分)(2011·苏锡常镇二模)如图，在平面直角
坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，椭圆与y轴交于A，
B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C
点，P为椭圆上弧AC上一点．
(1)求证：A，C，T三点共线；
(2)如果＝3，四边形APCB的面积的最大值为， 求此时椭圆的方程．
(1)证明　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则A(0，b)，B(0，－b)，F(c,0)，T.
设C(x0，y0)，则由B，F，C三点共线，可设＝t，即(c，b)＝t(x0－c，y0)，所
以即
消去t，得bx0－cy0－bc＝0.
设＝m，则(x0，y0－b)＝m，
即代入bx0－cy0－bc＝0，得
m－bc＋mbc－bc＝0，解得m＝.
即存在实数m，使得＝m，所以A，C，T三点共线．
(2)解　设C(x0，y0)，则由＝3，得(c，b)＝3(x0－c，y0)，
所以x0＝，y0＝，又c在椭圆上，
得＋＝1，即a2＝2c2，从而b2＝c2.
因为S△ABC＝×2b×＝，AC＝c，
设P(m，n)，则由AC方程为＋＝1，即x＋2y－2c＝0，所以点P到直线AC的距离
d＝.
又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以m2＋2n2＝2c2，
设m＋2n＝t，则m＝t－2n，代入
m2＋2n2＝2c2，得6n2－4nt＋t2－2c2＝0，
于是Δ＝16t2－24(t2－2c2)≥0，
解得t2≤6c2，又由点P在弧AC上，得＜t≤c，
所以dmax＝，从而得c2＋××c＝，解得c2＝1，所以a2
＝2，b2＝1，椭圆方程为＋y2＝1.
20．(本小题满分16分)点P为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点，A，B为圆O：x2＋y2＝
b2上两个不同的点，直线AB分别交x轴，y轴于M，N两点，且·＝0，·
＝0，O为坐标原点．
(1)若椭圆的离心率e＝，并且＋＝，求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在满足·＝0的点P？若存在，求出ab满足的条件；若不
存在，请说明理由．
解　(1)由·＝0，·＝0，得PA⊥OA，PB⊥OB
所以P，A，O，B四点在以OP为直径的圆上．
设P(x0，y0)，则以OP为直径的圆的方程为(x－x0)x＋(y－y0)y＝0，
即x2＋y2－xx0－yy0＝0与x2＋y2＝b2联立，消去x2＋y2，得直线AB的方程为xx0＋yy0
＝b2.
令x＝0，得y＝.令y＝0，得x＝.
所以M，N.于是由 ＝，得＋＝.
因为＋＝1，所以a2y＋b2x＝a2b2，所以a2＝b2.
因为＝，所以＝，所以a2＝25，b2＝16.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)若·＝0，则PA⊥PB.于是由P，A，O，B四点共圆，得OA⊥OB.
因为圆心O到直线xx0＋yy0＝b2的距离为，
所以＝b，所以x＋y＝2b2.①
又b2x＋a2y＝a2b2，②
所以联立①②，解得x＝，y＝.
因为0≤x≤a2,0≤y≤b2，
所以a≥b.
故当a，b满足a≥b时，所求的点P存在；当b＜a＜b时所求的点P不存在．