Lagrange系统Lie点变换下的共形不变性与守恒量.pdf

第 5 7卷 第 9 期 2 0 0 8年 9月 1 0 0 0 3 2 9 0 2 0 0 8 5 7(0 9)5 3 6 9 0 5 物 理 学 报 AC TA P HYS I CA SI NI CA Vo 1 5 7，No 9，S e pt e mb e r，2 0 08 2 0 0 8 C h i n P h y s S o c L a g r a n g e系统 L i e点变换 下的共形不变 性与守恒量*蔡建乐 梅凤翔 1)(杭州师范大学理学院，杭州 3 1 0 0 1 8)2)(北京理工大学理学院，北京1 0 0 0 8 1)(2 0 0 7年 1 2月 4日收到；2 0 0 7年 l 2月 2 8日收到修改稿)研究 L a g r a n g e系统 L i e 点变换下的共形 不变性与守恒量，给 出 L a g r a n g e系统 的共 形不 变性定 义和确定 方程，讨 论系统共形不变性与 L i e 对称性 的关 系，得到在无 限小单参数点变换 群作 用下系统共形 不变性同时是 L i e 对称性的 充要条件，导 出系统相应的守恒量，并给出应用算例 关键 词：L a g r a n g e系统，“e 点 变换，共形 不变 性，守 恒 量 P ACC：0 3 2 0 1 引 言 动力学 系统 的对 称 性 与 守恒 量 的研 究，在 现 代 数 理科 学 中 占有 重 要 的 地 位，也 是 分 析 力 学 的 一 个 近代 发 展 方 向 1 9 1 8年 N o e t h e r 研 究 了 力 学 系 统 H a m i l t o n作用量泛函在时空无限小单参数变换群作 用 下 的不变 性，发 现 作 用 量 的每 一 种 连 续 对 称性 都 有 一个 守恒 量 与之 对 应，首 次 揭 示 了 力 学 系 统 守 恒 量与其 内在 的动力学对称性之 间的潜在关 系，建 立 了 N o e t h e r 对称性理论 2 0世纪 7 0年代，人们 发 现 并不 是所 有 的对称 性都 是 N o e t h e r 的，于是 出现 了 L i e对 称 性 本 世 纪 初 提 出 了一 种 新 的对 称 性 形 式 不 变 性，人 们 称 为 Me i对 称 性，N o e t h e r 对称 性 是 H a m i l t o n 作 用 量在 群 的无 限小 变换 下 的不 变性，L i e 对 称性是 微 分方 程在 群 的无 限小 变 换 下的一 种 不 变 性，Me i 对 称 性 是 指 系 统 的 运 动 方 程 中 的动 力学 函数 在群 的无 限 小变 换下 使 原方 程保 持形 式不 变 三种对 称 性可 直接 导致 守 恒量，也 可 间 接导 致守 恒量 它们 导 致 的守恒 量 主要 有 N o e t h e r 守 恒量、H o j m a n守 恒 量 和 M e i 守 恒 量(也 称 新 型 守 恒 量)“动 力学 系统 的守 恒 量在力 学 研究 中起 着 重 要 作用，甚 至在 系统 的运 动 微 分 方 程 不 可 积 分 的 情 况 下，某 个 守恒量 的存 在 也 可 以使 我 们 对 所 研 究 的 局部 物理 状态有 所 了解 因此，对 称性 与 守恒 量 已成 为力学领域的热门课题 ，文献 1 2 对各种约束 力 学 系统 的上 述 三种 主要 对 称性 与 三类 守恒 量进 行 了全 面、系统 的研 究；G a l i u l l i n等 人研 究 了 B i r k h o f f 系 统 的共 形 不 变 性 并 导 出 了 N o e t h e r 守 恒 量 本 文 研 究 L a g r a n g e 系 统 L i e点 变 换 下 的共 形 不 变性 及 系 统 的守恒量，并给出一个例子说明本文结果 的应用 2 共形不变性 对 于具 有 n个 自由度 的 L a g r a n g e系 统，其 运 动 微 分方 程有 如 下形 式：一 3L=0 (S=1，n)，(1)式 中 q 为 系统 的广义 坐 标，为 系统 的 广义 速度 将(1)式 展开 为显 形式，则 有；A (，q)+B (t，q，)=0 (8，k=l，n)(2)若(1)式 非 奇 异，即 d e t()。，则 由(1)式 可 求 得 广义 加 速度=a (，q，)(s=1，n)(3)寻求 L a g r a n g e系统 的对称性，也就是寻求方程(1)或(2)共 形不 变所 对 应 的独立 或 非独 立变 量 的变 换集 考虑方程(2)的对称性，为此，取时间 t 和广义*国家 自然科学基金(批准号：1 0 5 7 2 0 2 1，1 0 7 7 2 0 2 5)和高等学校博士学科点专项科研 基金(批准号：2 0 0 4 0 0 0 7 0 2 2)资助 的课题 十E m a i l：c a ij i a n l e y a h o o c o rn c n 维普资讯 http:/ 物 理 学 报 5 7卷 坐标 q 的无限小单参数点变换群 t =t+，g (t )=q (t)+Aq ，(4)其展开式为 t =t+0(t，口)，g (t )=q (t)+e (t，q)，(5)其中 e为无限小参数，e。，为群的无 限小变换 的 生成 元或 生成 函数 引入 无 限小生 成元 向量=。蔷 十 杀，(6)其一次扩展“=X。+(毒 一 。)，(7)aq 二次扩展 ：。+(葶 一2 。一 享。)(8)ag 定 义对于 非奇 异矩 阵 z ，使 得 X ()=z (F )，(9)则 方程(2)在无 限小单 参数 点变 换(5)作用 下是 共 形 不变的，(9)式是方程(2)的共形不变的确定方程，其 中 z 为共 形 因子 3 共形不变性 的一般方式 为得到共 形不 变性 的共 形 因子表 达式，计 算 差值 X (F )一 ()I (1 0)由于：萼+(s：0 1一，n)，(1 1)+q L u，擎+2“q j+g+9+g(s=0，1，n；，J=1，n)，(1 2)因此 X ()=A (莩 一2 。一 。)+(A )+X (B )=A (莩 一2 。一 。)+X。(A。)+X 。(B )+(一 )(+2 +)+g rg 瓦g J 一(+)(+2 ，+r q+)+g +g r J+X。(A )+X 。(B )+【薯+差 一 (+)】豢 +【q r g I+q r J J(暮 一2 A (+，)+X 。(A )+c(t，g，)，(1 3)式 中 C(t，g，)为其余 不含 项 的代数 和 同理 可 得 X ()I F：。(一(+)+X (A )口 +C(t，q，)，(1 4)式中 a =一A k B (1 3)，(1 4)式有如下结果：X(F )一X (F )I：。(筹 一 一2 A,k 一)(誓+，)+X。(A )(a )(s，i，r=1，n)(1 5)由于 一口 =+A f：“(A +B )=F ，(1 6)因此 X ()一X()I，：0 (筹 -2 A -g 7+)0)(维普资讯 http:/ 9期 蔡建乐等：L a g r a n g e系统 L i e 点变换 下的共形不变性 与守恒 量 5 3 7 1 ：筹 (+，)+(A sk 川F =F f(s，k，r，Z=1，n)(1 7)如果 方程(2)在 无 限 小 单 参 数 点 变 换(5)作 用 下 是 L i e对称 性 的，则 X (F )l，：0=0，(1 8)此时，由(1 7)和(9)式有 l 若方程(2)在无 限小 单参 数点 变换(5)作 用 下是 共形 不 变 的，则从(1 7)式 得 到(1 一 )(F )：X ()I，：。(s，Z=1，n)，(1 9)因此，方 程(2)在无 限小 单 参 数 点 变 换(5)作 用 下共 形 不变 性 同时 是 L i e 对称 性 的充 分 与必 要条 件 为 1 ：(2 0)由此 给 出以下 判据 命题 1 在无限小单参数 点变换群(5)作用下，方程(2)共形不变性 同时是 L i e 对称 性的充分与必 要条 件是 共形 因子(嚣 +)+(s，k，r，Z=1，n)(2 1)推论若 L a g r a n g e 方程(1)可规范为标准形式 F 一 一a (，q，)=0 (s=1，n)，(2 2)在无 限小 单参 数点 变换 群(5)作用 下，方程(2 2)共 形 不变 性 同时是 L i e对称 性 的充 分 与 必 要条 件 是 共 形 因子 l蔷 。O q t (2 3)事实 上，此 时(2 2)式 相 当于(2)式 中 A =B (t，g，)=一a (t，q，)，容 易 由(2 1)式得 到(2 3)式 4 共形不 变性与守恒量 共 形不 变性 满足 一定 条 件时 也 可导致 相 应 的守 恒 量，结果 如下：命 题 2 对 于满 足共 形 因子(2 1)的无 限 小 生 成 元，如果 存 在规 范 函数 G=G(t，9，q)满 足 支 口 下 结构 方 程：。+x“(L)+e=0，(2 4)则 L a g r a n g e系统 存在 对 应 于共形 不 变性 的守 恒量，：。+_ OL(一。)+G：。t(2 5)dq 证 明 dI=+哦十 d aO L (一q s 。)+_O L(拿 一 。一 。)dq 一。一 一 (一 )一 。一 一 一 ：(一 (d O L 一 O L)=。(26)5 算 例=l叭 g 2 +)一lk(q +q 22)(m，为 常数)，(2 7)其 运动 微分 方程 为 F】=m t+幻 t=0 (2 8)F2=m 2+k q 2=0 取。=0，1=一q 2，2=q ，(2 9)则 +杀 未 +(季 一2 q 。一 。)dq =击+未 杀，(3 0)F：1 啬 杀 0)(m q,+k q ：1=：=(一+一 =(0 1 rai2+kqz。，维普资讯 http:/ 5 3 7 2 物 理 学 报 5 7 卷 z l 0-。1)，(3 2)也可从(2 1)式求出共形因子(蓦)：(+，)0)(=蓦 (3 3)显然其结果与(3 2)式一致 共形不变的确定方程 叫(_0，1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 1 1 1 2 1 3 1 4 代入结构方程(2 4)得到 e：o 可 取 G=0，从 而守恒 量(2 5)给 出 ，=m(q l 2一 l q 2)=c o n s t 6 结 论(3 5)(3 6)L a g r a n g e 系 统在 L i e点变 换下 的共 形 不变 性，可 通 过 L i e 对 称 性 找 到 确 定 方 程 中 的共 形 因 子，该 共 形 因子 也就 是 系统 的共 形不 变 性 同 时是 L i e 对 称 性 的充分与必要条件 共形不变性满足一定条件时也 可 导致 相应 的 守恒量 N o e t h e r A E 1 9l 8 Na c h r A k nd Ma t h 2 2 3 5 D i u k i d D S，V u j a n o v id B D 1 9 7 5 A c t a Me c h a n ic a 2 3 1 7 L u t z k y M 1 9 7 9 JPh y sA：Ma t h C-e n 1 2 9 7 3 M e i F X 1 9 9 9 A p p l ic ati o n s o f L i e G r o u p s a n d L ie A l g e b r a s t o C o ns t r a in e d Me c h a n ic a l 枷(B 叫i n g：S c i e n c e P re s s)(i n C h i n e s e)梅凤翔 1 9 9 9李群和李代数对约束力 学系统 的应用(北京：科学 出版社)Z h a o Y Y，M e i F X 1 9 9 9 S y m m e t r i e s a n d l n v a r i a n t s ofMe c h a n i c a l 跏 (B e i j i n g：S c i e n c e P r e s s)(in C h i n e s e)赵 跃宇、梅 凤翔 1 9 9 9力 学系统 的对称性 与不 变量(北京：科学 出版社)M e i F X 2 0 0 0 J B e ij i n g l ns t T e c h 9 1 2 0(in C h i n e s e)梅凤翔 2 0 0 0北京理工 大学学报 9 1 2 0 Me i F X 2 0 01 C h i nP h y s 1 0 1 7 7 M e i F X，C h e n X W 2 0 0 1 J B e ij i n g l nst c 1 0 1 3 8(i n C h i n e s e)梅凤翔、陈向炜 2 0 0 0北京理工大学学报 l 0 1 3 8 L u o S K 2 0 0 3 A c t a P h y s S i n 5 2 2 9 4 1(i n C h i n e s e)罗绍凯 2 0 0 3 物理学报 5 2 2 9 4 1 F a n g J H 2 0 0 3 C o mmu n T h e o r P h y s 4 0 2 6 9 Z h a n gY 2 0 0 5 A c t aP h y s S i n 5 4 2 9 8 0(i n C h i n e s e)张毅 2 0 0 5 物理学报 5 4 2 9 8 0 M e i F X 2 0 0 4 S y m m e t r i e s a nd C o n s e r v e d Q u a n t i t i e s o fC o nst r a i n e d 肼 a n f f S y s t e m s(B e ij i n g：B e i j i n g I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y P r e s s)(i n C h i n e s e)梅凤翔 2 0 0 4约束 力学 系统 的对称性 与守恒量(北京：北京 理工 大学出版社)M e i F X 2 0 0 0 A c t a P h y s S n 4 9 1 9 0 1(i n C h i n e s e)梅风翔 2 0 0 0 物理学报 4 9 1 9 0 1 L u o S K，Me i FX 2 0 0 4 A c t aP h y s S i n 5 3 6 6 6(i n C h i n e se)罗绍 1 5 1 6 凯、梅凤翔 2 0 0 4物理学报 5 3 6 6 6 L u o S K 2 0 0 3 C h i n P h y s 1 2 8 41 F a n g J H，C h e n P S，Z h a n g J，L i H 2 0 0 3 Ac t a Ph y s S i n 5 2 2 9 4 5 (i n C h in e s e)方建会、陈培胜、张军、李红 2 0 0 3物理学报 5 2 2 9 4 5 3 L u o S K 2 0 0 4 A c t a P h y s S i n 5 3 5(i n C h i n e s e)罗绍凯 2 0 0 4物 理学报 5 3 5 L u o S K，G u o y X，Me i F X 2 0 0 4 A c t a S i n 5 3 1 2 7 1(i n C h i n e s e)罗绍凯、郭永新、梅凤翔 2 0 0 4物理学报 5 3 1 2 7 1 L u o S K，G u o Y X，Me i F X 2 0 0 4 A c t a P h y s S i n 5 3 2 4 1 3(i n C h i n e se)罗绍凯、郭永新、梅风翔 2 0 0 4物理学报 5 3 2 4 1 3 G ew K，Z h a n g Y 2 0 0 5 A c ta P h y s S i n 5 4 4 9 8 5(i n C h i n e se)葛 伟宽、张毅 2 0 0 5物理学报 5 4 4 9 8 5 G u S L，Z h a n g H B 2 0 0 6 A c t a P h y s S i n 5 5 5 5 9 4(i n C h i n e se)顾 书龙、张宏彬 2 0 0 6物理 学报 5 5 5 5 9 4 J i a L Q，Z h a n g Y Y，Z h e n g S W 2 0 0 7 A c t a P h y s S i n 5 6 6 4 9(i n C h i n e s e)贾利群、张耀宇、郑世旺 2 0 0 7物理学 报 5 6 649 Z h a n gY 2 0 0 7 A c t aP h y s S i n 5 6 3 0 5 4(i n C h i n e se)张毅 2 0 0 7 物理学报 5 6 3 0 5 4 J j a L Q，Z h e n g S W，Z h a n g Y Y 2 0 0 7 A c t a P h y s S i n 56 5 5 7 5(i n C h i n e se)贾利群、郑世旺、张耀宇 2 0 0 7物理学报 5 6 5 5 7 5 J i a L Q，L u o S K，Z h a n g Y Y 2 0 0 7 A c t a P h y s S i n 56 6 1 8 8(i n C hin e s e)贾利群、罗绍凯、张耀宇 2 0 0 7物理学 报 5 6 6 1 8 8 Ga l i u ll i n A S，Ga f a r o v G G，Ma l a i s h k a R P，Kh w a n A M 1 9 9 7 A n a l y t ic a l D y n a m i c s of H e l m h o h z，B i r k h o ff a nd N a m b u S y s t e m s (Mo s c o w：U F N)(i n R u s s i a n)m _一 Ln 维普资讯 http:/ 9期 蔡建乐等：L a g r a n g e系统 L i e 点变换 下的共形不变性与 守恒 量 5 3 7 3 Co n f o r ma l i n v a r i a n c e a n d c on s e we d qu a n t i t y o f L a g r an g e s y s t e ms u n d e r L i e p oi n t t r an s f o r ma t i o n C a i J i a n L e )H Me i F e n g Xi a n g 2)1)(C o l l e g e o fS c ie n c e，H a n g z h o uN o r m a l U n i v e r s i ty，H a n g z h o u 3 1 0 0 1 8，C h i n a)2)(C o l le g e ofScie n c e，B e ij i n gI n s t i t u t e ofT e c h n o lo g y，B e ij i n g 1 0 0 0 8 1，C h i n a)(R e c e i v e d 4 D e c e m b e r 2 0 0 7；r e v i s e d ma n u s c r i p t r e c e i v e d 2 8 D e c e m b e r 2 0 0 7)Abs t r a c t C o n f o r ma l i n v a r i a n c e a n d c o n s e r v e d q u a n t i t i e s o f L a g r a n g e s y s t e m u n d e r L i e p o i n t t r a n s f o r ma t i o n a r e s t u d i e dF i r s t l y，t h e d e fi n i t i o n o f c o n f o r ma l i n v a r i a n c e a n d d e t e r mi n i n g e q u a t i o n f o r t h e L a g r a n g e s y s t e m a r e p r o v i d e d S e c o n d l y，t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s y s t e m S e o n f o r ma l i n v a r i a n c e a n d L i e s y mme t r y a r e d i s c u s s e d；t h e n e c e s s a ry a n d s u f fi c i e n t c o n d i t i o n o n wh i c h t h e s y s t e ms e o n f o r ma l i n v a r i a n c e wo u l d b e L i e s y mme t ry u n d e r t h e i n fin i t e s i ma l o n e-p a r a me t e r p o i n t t r a n s f o r ma t i o n g r o u p i s d e d u c e d；a n d t h e c o n s e r v e d q u a n t i t i e s o f t h e s y s t e m a r e g i v e nL a s t l y，a n i l l u s t r a t i o n e x a mp l e i s i n t r o d u c e d Ke y wo r d s：L a g r a n g e s y s t e m，Lie p o i n t t r a n s f o r ma t i o n，c o n f o r ma l i n v a r i a n c e，c o n s e rve d q u a n t i t y PACC：0 3 2 0 P r o j e c t s u p p o r t e d b y t h e N a t i o n a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a(G r a n t N o s 1 0 5 7 2 0 2 1，1 0 7 7 2 0 2 5)and t h e D o c t o r a l P r o g r a m F o u n d a t i o n o f I n s t i tu t i o n o f H i g h e r E d u c a t i o n o f C h i n a(G r a n t N o 2 0 0 4 0 0 0 7 0 2 2)十 E-m a i l：e a i j i a n l e y a h o o c o rn c a 维普资讯 http:/