_2_1_维耗散长水波方程和Broer_Kaup方程的显示解.pdf

2011 年 5月吉林师范大学学报(自然科学版)?.2第2 期Journal of Jilin Normal University(Natural Science Edition)May.2011收稿日期:2011?02?25?作者简介:刘丽红(1987?),女,吉林省双辽市人,硕士研究生.研究方向:孤立学理论与可积系统.(2+1)维耗散长水波方程和 Broer?Kaup 方程的显示解刘丽红(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116029)摘?要:利用一个简单的变换将(2+1)维耗散长水波方程变为一个简单的方程,并且结合齐次平衡法给出了(2+1)维耗散长水波方程一些新的孤波解和 Broer?Kaup方程的相似解,这一方法可应用于其他的方程.关键词:(2+1)维耗散长水波方程;Broer?Kaup方程;齐次平衡法;投影 Riccati 方程法;(G?/G)方法;B?cklund 变换;相似解;孤波解中图分类号:O175?文献标识码:A?文章编号:1674?3873?(2011)02?0060?040?引言非线性偏微分方程的精确求解一直是人们非常关注的问题.由于非线性偏微分方程没有统一的求解方法,一种方法通常不能得到各种类型的特解,因此人们相继提出许多行之有效的方法,如反散射法、Darboux变换法、B?cklund 变换、齐次平衡法、双曲函数展开法等,其中齐次平衡法是处理非线性偏微分方程十分有效的方法,其基本思想是将非线性方程化为一组待定函数的偏微分方程,然后进一步线性化,以致可以方便地构造出非线性方程的解.本文中我们首先讨论了(2+1)维耗散长水波方程的几种形式的孤波解,然后主要利用齐次平衡法研究了 Broer?Kaup 方程的精确解和相似解.考虑(2+1)维耗散长水波方程1ut-uxx-2(uv)x=0(1)vty+vxxy-2uxx-(v2)xy=0(2)按照齐次平衡法的基本思想,可以设方程(1)和方程(2)具有如下形式解 2:u(x,y,t)=a f?(?)?x?y+f?(?)?xy+u1(x,y,t)(3)v(x,y,t)=f?(?)?x+v1(x,y,t)(4)其中,f(?),?(x,y,t),u1(x,y,t),v1(x,y,t)为待定函数,?0 为待定常数,在简单的变换 3u=avy+u1(x,y,t)-av1(x,y,t)(5)之下由方程(1)和方程(2)可得a(vyt)-avxxy-u1xx+av1yxx+u1t-av1yt-2(avvy+u1v-avv1y)x=0(6)vty+vxxy-2avxxy-2u1xx+2av1xxy-2(vvy)x=0(7)如果 a=1,u1=av1取那么(6)和(7)式可化为vt-vxx-2vxv=0(8)设v(x,y,t)=V(?),?=kx+ly+ct+d(9)其中 k,l,c 是待定常数,d 为任意常数.将(9)式代入(8)式则(8)式变为cV?-k2V?-2kVV?=0(10)?60?1?设方程(10)有解 4V=?mi=0aifi(?)+?mj=1fj-1(?)g(?)式中f(?),g(?)是下述双投影Riccati 方程的非零解f?(?)=-f(?)g(?)(11)g?(?)=1-g2(?)-rf(?)(12)g2(?)=1-2rf(?)+(r2-1)f2(?)(13)其中f(?)=1cosh?+r,g(?)=sinh?cosh?+r,?=kx+ly+ct+d(14)利用齐次平衡法,可知 m=1,从而 V=a0+a1f+b1g(15)将(15)式代入(10)式并利用(11)(12)(13)式可得a0=c2k,a1=?k2r2-1,b1=k2当 r2-1 0 时,V11=c2k?k2r2-11cosh?+r+k2sinh?cosh?+r(16)U11=?k2r2-1-l sinh?(cosh?+r)2+k2l+rl cosh?(cosh?+r)2(17)当 r2-1 0 时V12=c2k?k21-r2i1cosh?+r+k2sinh?cosh?+r(18)U12=?k21-r2i-l sinh?(cosh?+r)2+k2l+rl cosh?(cosh?+r)2(19)2?设方程(10)有解 5V=?ni=0ai(G?G)i由齐次平衡法,可知解为 V=a0+a1G?G,G 满足G?+?G=0(20)解得G=A1sinh-?+A2cosh-?将(20)式代入(10)式可得a0=c2k,a1=k,c=?当?0时V23=c2k+k?A1cos?-A2sin?A1sin?+A2cos?(25)U23=-k?lA21+A22(A1sin?+A2cos?)2(26)?61?3?Broer?Kaup方程的 B?cklund变换2考虑 Broer?Kaup 方程2ut+uux+vx=0(27)vt+ux+(uv)x+uxxx=0(28)根据齐次平衡法的思想,寻找如下形式的 B?cklund 变换u=?m1xf(w)+u1,v=?m2xg(w)+v1uxxx与(uv)x平衡,vx与uux平衡,可得 m1=1,m2=2,因此我们假设u=f?wx+u1,v=g?w2x+g?wxx+v1(29)u1,v1为方程的解,将(29)代入(27)和(28)有(f?f?+g(3)w3x+(f?wtwx+f?2wxwxx+f?w2xu1+3g?wxwxx)+(f?wxt+f?wxu1x+f?wxxu1+g?wxxx)+(u1t+u1u1x+v1x)=0(30)(f?g?+f?g(3)+f(4)w4x+(4f?g?w2xwxx+f?g?w2xwxx+6f(3)w2xwxx+g(3)w3xu1+g(3)wtw2x)+(2g?wxwxt+g?wtwxx+f?w2xv1+3g?wxwxxu1+gw2xu1x+4f?wxwxxx+f?w2x+3f?w2xx+f?g?w2xx+f?g?wxwxxx)+(g?wxxt+g?wxxu1x+g?wxxxu1+f?wx+v1x+f?wxxv1+f?wxx+f?wxxxx)+(v1t+u1x+u1v1x+v1u1x+u1xxx)=0(31)令(30)中 w3x和(31)中 w4x的系数分别为零,可得一个常微分方程组f?g?+f?g(3)+f(4)=0,f?f?+g(3)=0其解为f=g=2lnw(32)可得f?g?=f?g?=-f?=-g?,g?2=f?g?=-2f?=-2g?=f?2(33)利用(33)式,(30)和(31)可化为关于 g?,gg?的方程,使 g?,g?,g?的系数为零得相容条件为wt+wxx+wxu1=0(34)wxt+wxxu1+v1wx+wxxx+wx=0(35)由(29)和(32),得到 Broer-Kaup 方程的 B?cklund 变换为u=2?xlnw+u1,v=2?2?x2lnw+v1(36)其中 w 满足(34)和(35).若取 u1=1,v1=-1,则u=2?xlnw+1,v=2?2?x2lnw-1(37)则(34)和(35)可约化为wt+wxx+wx=0(38)特别取方程(38)的一个解w=1+exp(kx+ct)(39)将(39)代入(38)可得c+k+k2=0(40)解得k=-1?1-4c2则 Broer-Kaup 方程(27)和(28)一组孤波解为u=k(1+tanhkx+ct2)+1,v=k22sech2kx+ct2-1(41)4?Broer?Kaup方程的相似解2为使(30)和(31)式为f,g 关于w 的常微分方程,要求 f,g 各阶导数及幂的系数之比为w 的函数,即满足条件wxwxx=w3x?1(w)(42)wtwx+w2xu1=w3x?2(w)(43)?62?wxt+wxxu1+wxu1x=w3x?3(w)(44)wxxx=w3x?4(w)(45)u1t+u1u1x+v1x=w3x?5(w)(46)w2xwxx=w4x?6(w)(47)w2x+w3xu1=w4x?7(w)(48)2wxwxt+wtwxx+w2xu1x+3wxwxxu1=w4x?8(w)(49)w2xv1+4wxwxxx+w2x+3w2xx=w4x?9(w)(50)wxwxxx+w2xx=w4x?10(w)(51)wxxt+wxxu1x+wxxxu1=w4x?11(w)(52)wxxxx+wxx+wxxv1+wxv1x=w4x?12(w)(53)v1t+u1x+u1v1x+v1u1x+u1xxx=w4x?13(w)(54)其中?i(i=1,2,3,?,13)为关于 w 的待定函数,在确定 u1,v1,w 过程中,有个自由度,可利用如下规则(a)如果 u1具有形式 u1=u0(x,t)+?x?,则可取?=0(做变换f(w)?f(w)-?);(b)如果 v1具有形式 v1=v0(x,t)+?2?x2?,则可取?=0(做变换 g(w)?g(w)-?);(c)如果 w(x,t)由形如?(w)=w0(x,t)的方程决定,可取?=w(做变换 w?-1(w).利用(a)(c)方程(42)(54)的一般解为?1=?2=?3=?4=?6=?7=?9=?10=?11=?12=?13=0?8=A,?5=-A2-Bu1=-1?(?x+?),v1=-1其中?=?(t),?=?(t)满足?=A?3,?-2A?2?=?4(A2?+B)(55)最后 Broer-Kaup 方程的相似解为u=?P-1?(?x+),v=?2Q-1,w=?x+?(56)当 A=0 时,由(55)式可得?=?0,?=Bt2+c1t,其中?0,c1为任意常数,则u=?P-1?0(2Bt+c1),v=?20Q-1,w=?0 x+Bt2+c1t(57)其中 P=f?,Q=g?满足Q?+PP?-B=0(58)(PQ)?+P?=0(59)消去 P 后,得到 Painleve?方程P?=-12,P3-BwP+Pc2-c3当 A?0 时,由(55)式可得?=?1-2At-12P+12t-1x?-2A2c1,v=1-2AtQ-1(60)其中 w=?1-2At-12x+c1t12+BA2,c1为任意常数,?与?的?相对应,P,Q 满足QPP?-A2w-B=0(61)(PQ)?+P?+AQ=0(62)参?考?文?献 1 刘式适,刘式达.物理学中的非线性方程 M.北京:北京大学出版社,2000.2 范恩贵.可积系统与计算机代数 M.北京:科学出版社,2004.(下转第 66页)?63?(4)pH 值对刚果红的去除率呈不规则变化,总体来说,碱性条件下液体二氧化氯对刚果红的去除率要比酸性条件下高.(5)在经过液体二氧化氯前处理的刚果红溶液中加入活性炭可以更彻底的去除刚果红,而且随着活性炭用量的增加处理效果越好.参?考?文?献 1 寿?鹿,赵?倩,徐晓群,等.难降解有机物对海洋生物影响的研究进展 J.海洋开发与管理,2008,255):86 89.2 Belluati M,Danesi E,et al.Chlorine dioxide disinfection technology to avoid bromate formation in desalinated seawater in potable waterworks J.Desalina?tion,2007,2(3):312 318.3 Volk C J,Hofmann R,et al.Imp lementation of chlorine dioxide disinfection:effects of the treatment change on drinking water quality in a full scale distri?bution system J.Environ.Eng.Sci,2002,1(5):323 330.4 Petruccia G,Rosellinib M.Chlorine dioxide in seawater for fouling control and post disinfection in potable waterworks J.Desalination,2005,182:283291.5 Veschetti E,Cittadini B,et al.Inorganic by products in waters,disinfected with chlorine dioxideJ.Microchemical Journal,2005,79:165 170.6 葛元新,朱志良,等.水体中腐殖酸含量与 ClO2投加量间的相互关系研究 J.河南师范大学学报,2006,34(1):73 76.7 施来顺,董岩岩,李彦彦,等.二氧化氯催化氧化处理铬黑T 模拟废水的实验 J.山东大学学报,2007,37(5):113 117.8 丁春生,秦树林,缪?佳,等.二氧化氯/活性炭催化氧化处理对硝基苯甲酸废水影响因素 J.环境科学,2008,29(5):1266 1270.Catalytic Oxidation of Congo Red with ChlorineDioxide and Activated CarbonLIUWei,DUAN Xiao?yue(College of Environmental Engineering,Jilin Normal University,Siping 136000,China)Abstract:Based on the study of possibility of Congo red treatment using the combination of chorine dioxide and activat?ed carbon,the relevant optimal factors for removing rate,such as pH value,temperature and dosage of oxidant were de?termined.The removing rate of Congo red reach about 44.6%pretreated with chlorine dioxide,and reach about 80%followed treated with activated carbon for absorption.Key words:chlorine dioxide;catalytic oxidation;Congo red;activated carbon(上接第 63页)3 包?霞,斯仁道尔吉.(2+1)维耗散长波方程与(2+1)维 Broer-Kaup 方程新的类孤子解 J.西北民族大学学报,2006,27(57):18 19.4 石玉仁,吕克璞,段文山,洪雪仁,赵金保,杨红娟.组合 Kdv 方程的显示精确解 J.物理学报,2003,52(2):267 270.5 李帮庆,马玉兰.(G?/G)展开法和(2+1)维非对称 Nizhnik?Novikov?Veselov 系统的新精确解 J.物理学报,2009,58(7):4373 4377.Explicit Solution of(2+1)Dimensional Dispersive Long Water WavesEquation and Broer?Kaup EquationLIULi?hong(Mathematics College,Liaoning Normal University,Dalian 116029,China)Abstract:By a simple transformation,(2+1)dimensional dispersive long water waves equation are turned to a simpleequation.Some new solitary wave solutions of(2+1)dimensional dispersive long water waves equation and similaritysolution of Broer?Kaup equation are obtained by combining the transformation with the homogeneous balance method.The method given in this paper can be used to solve other equations.Key words:(2+1)dimensional dispersive long water waves equation;Broer?Kaup equation;homogeneous balancemethod;projective Riccati equation method;(G?/G)method;B?cklund transformation;similarity solution;solitary wavesolution?66?