直线的点方向式方程.doc

案例反思
直线的点方向式方程
数学教研组 孙贤欢

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教学目标：
1、理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程。
2、学生分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养。
3、培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。
教学重点：直线的点方向式方程。
教学难点：理解直线方程以及点方向式方程的推导。
教学过程：……
师：两点能够确定一条直线，假如拿掉一个点（板书：擦掉一个点），换一个怎样的条件，那么也能够确定一条直线呢？
生：方向
师：很好，那么今天我们主要研究一下当一条直线的方向和一个非零向量平行的情况！
直线过点，且与非零向量平行，求直线上任意一点满足的关系式？同时给出方向向量的定义！

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2、关于探究教学。整节课为学生创设了主动学习的时间和空间，使学生在独立思考的基础上，与他人合作交流，共同去试验、思考、解释，经历“再创造、再发现”的过程。对于给定条件，而结论开放的探究型命题的证明，由于学生思维结构的差异和时间的限制，学生的命题无法一一在课上进行解答。教师需事先对学生可能想到的结论作一个估计，出现冷场时教师可先找一个例子作为引子；即便学生探究时出现错误，也应从鼓励学生积极思考的角度出发，进行点评。
3、关于一题多解：学生的知识结构、思维方式是不同的，需要遵循学生在活动中的求异思维和创新精神，尊重学生个性的张扬，鼓励学生多角度多方法的求证。当然，教师要对方法的方向适时地引导。
点评（高级教师姚建新）：
二期课改的理念是以学生为中心，培养学生的能力，余老师的《不等式的基本性质》一课，在课堂教学中体现了新课程理念下的教学方式，从学生崇拜的偶像—刘翔，创设问题情景，激发学生的学习热情，采用探究教学方式，围绕不等式的基本性质引导学生主动提出问题、探究问题，确立了学生的主体地位，余老师以问题链的形式出现，问题是探究的核心，有思必有疑，有疑必有问，“问”是创新意识的具体体现，在探究、学习的过程中，学生积极、主动、兴奋地参与到这样的过程中，既尊重学生的个性，展现了知识的发生、发展过程，又学生的能力得到了真正发展，是一堂真正落实二期课改三维目标的好课。

y
L
P(x0，y0)
Q(x，y)
d(u，v)
x
O

解：点为直线上任意一点，易得向量，
①
师(结合图形讲解)：直线上所有点的坐标都满足方程①，以方程①的所有解为坐标的点是否都在直线上，这样就建立了直线上所有点组成的集合与方程①的解的集合之间的对应关系。我们把方程①叫做直线的方程，把直线叫做方程①的图形！
师：接着我们来进一步的研究 ①，当时，方程①可化为什么形式？
生1：利用图形解释：表示过，平行于轴的一条直线
生2：利用图形解释：表示过，平行于轴的一条直线
师：时呢？
生： ② （积的形式转化为商的形式）
师：我们把②称为：直线的点方向式方程
思考：它能够表示所有的直线吗？形式的特点？需要哪些量？如果忘记了，怎么办？
例题1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量？
① ② ③ ④
数形结合解题，并点名方向向量的特点！
小结：通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量。
例题2：已知点和，求经过点且与平行的直线的点方向式方程？ （问：过点B与AC平行的直线）
可以从三个方面讲解：点、方向、点方向式方程。
变式1：求经过点、C两点的直线的点方向式方程？
变式2：求 中，平行于边的中位线所在直线的点方向方程？
小结：这三类题目的特点与解法！关键在于找点和方向向量！
例题3：能否把直线方程化为点方向式方程？若能，它的点方向式方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量有什么联系？
变式：直线的方向向量可以表示为？
小结：直线的一般式方程和点方向式方程的联系
课堂小结：让学生发言，老师补充 （知识、方法）
作业：P62/习题11.1/1、2、5、7；选做：类比直线的点方向式方程推导过程，在例题2的已知条件下，求经过点且与垂直的直线的方程？

教案说明：
直线这一章节的核心思想是：通过坐标把几何问题表示成代数问题，然后通过方程来研究直线！直线是解析几何中最基本的内容之一，且内涵丰富，应用广泛。同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础，涉及角，距离的计算和平行、垂直的判断，不但是重要的知识点，更是进一步学习圆锥曲线的基本工具。
用向量方法推导直线方程是二期课改教材的亮点之一，体现了从几何角度出发，除两点确定一条直线外，确定直线需要两个独立的条件：点和方向。利用给定的条件，通过向量平行和垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程、点法向式方程。我们用向量工具推导直线方程，不仅形式十分简洁明了，而且能充分认识各字母的含义，这对以后学习直线的一般式方程以及位置关系有十分重要的意义！
对于学生而言，初中时已学过一次函数、正比例函数等，它们的函数图象是直线，对于直线有一定的了解，而本堂课是让学生了解直线的一种新的形式：点方向式方程。学生比较陌生，但是直线点方向式方程的掌握对于后面的点法向式方程，直线的斜率、倾斜角都有一定的影响！基于以上的分析，我把这节课的目标确立为：1、理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程。2、学生分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养。3、培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。重点定为：直线的点方向式方程及其求法。考虑到直线的点方向式方程推导需要一定的探究能力，直线与方程的概念比较抽象学生难以理解，所以把难点定为：理解直线方程和点方向式方程的推导。
对于直线的点方向式方程的推导，我采取让学生自己探究的教学方式，完全由学生类比向量平行的充要条件，让学生自己探究，自己感悟，感受成功的喜悦！包括后面的例3也给予学生足够的时间去探究，最后在黑板上面展现学生的成果！把课堂的主动权交给学生，逐步培养学生的探究能力！在处理直线与方程的关系时，考虑到曲线与方程的关系在圆锥曲线这一章中将会重点介绍，所以在本堂课中并没有重点讲解，只是初步的进行介绍，让学生知道直线上的点与方程上解的对应关系。
在例题的安排中，例题1比较简单，目的在于让学生对于点方向式方程的概念进一步理解！例题2以及所有变式的解答都围绕直线点方向式方程展开研究：一个点和一个方向向量，变式的安排由易到难，符合学生认知的规律！完成了例题1、2后学生对于点方向式方程有了一定的认识，为例3：把直线方程转化为点方向式方程并对x、y的系数与该直线方向向量的关系进行探究作好了铺垫！在探究的过程中，把不同形式的点方向方程罗列出来，从而引导学生寻找方向向量与x、y系数之间的关系！布置的课后作业与上课例题相匹配，有助于学生巩固概念！选做题适合基础较好的学生，培养他们运用类比的思想去探究学习，同时为下节课的教学埋下伏笔！

教学反思：
1．本堂课的整个教学过程还是比较不错的。真正体现学生的主体作用，做到了让学生自始至终地参与教学过程，体验和感悟数学！特别是在点方向式方程的推导和例3这两个探究型问题时，学生积极参与，气氛活跃，点燃了学生学习数学的热情！
2．本教案内容的安排和例题的选择都是精心策划而来的。在把非零方向向量中的进行分类讨论时，故意把这一类情况放在最后，紧靠例1，为学生解答例1时作好了充分的准备工作，在授课的过程中起到了不错的效果。教科书上的例题1、2，内容之间既有联系又有区别，所以我通过适当的处理，把例2作为例1的一个变式，在这基础之上，又加了一个变式2，三题之间，难度逐步加大，与书上原有的例题安排相比，便于学生比较题目之间的联系与区别，有助于他们掌握直线点方向式方程的关键：直线上的一个点和一个方向例3是一个探究性问题，我给学生们足够的时间让他们去探究，然后把他们的成果展示在黑板上，同时让学生来讲解各自的探究成果！学生们积极参与 ，达到了预想的效果！
3．在请学生讲解例2的变式2时，该生选择了先求出这两个点的坐标，然后再仿照变式1来解决问题。在认同其解题方法之后，我请了另外一个同学直接利用方向向量的解法！同时我也意识到了还有一小部分同学没有真正理解点方向式方程的优越性，在以后的学习过程中还要不断的强化训练！
4．情景创设，这是二期课改理念下课堂的一个重要环节。创设一个好的情景，能够让学生认识到数学来源于生活，感悟到学习好数学的重要性，提高学习数学的兴趣！但是这堂课的引入方面还真是一个难题，没能找到合适的引例，有点遗憾！后来我想到了这样的一个引例：南桥镇在争创全国文明镇的过程中，要给参观者介绍南桥各主要道路的地理位置，比如如何介绍人民路呢？学生会说：由北向南（方向）；人民路上有金叶商厦（点）等……这样就能够让学生体验到数学来源于生活，运用于生活！
5．在授课的过程中渗透数学思想方法。目前中学数学教学中要求四种数学思想让学生掌握，即数形结合、分类讨论、函数方程、转化的思想。本节课中主要用到了数形结合、分类讨论的数学思想！我将在以后的教学过程中，将结合每一章的教学内容，适时、适量地渗透数学思想，培养学生的探究能力，日积月累，方能见成效。