静电场2013-4s.pdf

真空中的静电场真空中的静电场1环路定理 电势环路定理环路定理电 势电 势功能功能的问题始终是物理学所关注的问题。本节研究的问题始终是物理学所关注的问题。本节研究电场力作功电场力作功的性质，的的性质，的环路定理环路定理，揭示静电场的，揭示静电场的有势性有势性，静电场的，静电场的能量。能量。高压带电操作给出静电场进而研究高压带电操作给出静电场进而研究作业：练习12作业：练习12真空中的静电场真空中的静电场2第第第第5 5章章章 章 静电场静电场静电场静电场电荷 库仑定律静电场 电场强度电通量 高斯定理电荷 库仑定律静电场 电场强度电通量 高斯定理静电场的环路定理 电势能电势 电势差静电场的环路定理 电势能电势 电势差等势面 电势与电场强度的关系静电场中的导体电场能量静电场中的电介质等势面 电势与电场强度的关系静电场中的导体电场能量静电场中的电介质真空中的静电场真空中的静电场3电荷之间这种作用是通过什么来完成的？电荷之间这种作用是通过什么来完成的？电荷之间这种作用是通过什么来完成的？电荷之间这种作用是通过什么来完成的？库仑定律库仑定律库仑定律库仑定律“点电荷点电荷”理想 化模型 理想 化模型“点电荷点电荷”理想 化模型理想 化模型如果电荷在场中移动则 电场力是要做功的，那 么做功就要有能量的变 化，从功和能的角度来 认识电场这种特殊的物 质。如果电荷在场中移动则 电场力是要做功的，那 么做功就要有能量的变 化，从功和能的角度来 认识电场这种特殊的物 质。电场是矢量电场是矢量电场电场当电场概念建立起来后，人们主要任务就是来认 识这种摸不着看不见而又是客观存在的物质。当电场概念建立起来后，人们主要任务就是来认 识这种摸不着看不见而又是客观存在的物质。电场强度电场强度高斯定理高斯定理真空中的静电场真空中的静电场4qar?br?E?baF?0q1）点电荷的场）点电荷的场rdr?+r?点电荷点电荷q 的场中移动点电荷从到 的场中移动点电荷从到,电场力做的功：电场力做的功：0qrdr?+r?dWF dl=?点电荷点电荷q0所受电场力为：所受电场力为：EqF?0=cos0Edlq=dr,cosdldr=204rqE=0204qdWqdrr=dlcl dEq?=0五、环路定理 电势五、环路定理 电势1.电场力的功电场力的功电场力的功真空中的静电场真空中的静电场5=barrqq11400qrarbrbE?adlF?0qrdr?+r?dr在在 q 的电场中将检验电荷 的电场中将检验电荷 q0 从从 a 点移动到点移动到 b 点，点，电场 力作功为：电场 力作功为：020 4barrq qWWdrr=2）任意带电体系的场）任意带电体系的场对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成。对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成0204qdWqdrr=电场力作功的特点：电场力作功的特点：在点电荷在点电荷q的电场中的电场中,电场力的功 只与路径的起点和终点位置有关电场力的功 只与路径的起点和终点位置有关,而与路径形状无关。而与路径形状无关。真空中的静电场真空中的静电场6bal dEq?0+=+=banbabal dEql dEql dEq?02010任何静电场，电场强度的线积分只取决 于起始和终了的位置任何静电场，电场强度的线积分只取决 于起始和终了的位置,而与路径无关。而与路径无关。结论：结论：电场力为保守力，静电场为保守场。电场力为保守力，静电场为保守场。+=+=banl dEEEq?)()(210abW=式中每一项都与 路径无关式中每一项都与 路径无关静电场的另一重要性质 静电场的另一重要性质(也称静电场是无旋场也称静电场是无旋场)。静电场的保守性还可用另一形式表述。静电场的保守性还可用另一形式表述。运动电荷的场不是保守场，运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分讨论。而是非保守场，将在磁场部分讨论。nq1nqiq2q1qabL真空中的静电场真空中的静电场7=)()()()(2121ddPPPPlElE?(L1)(L2)=)()(12dPPlE?(L2)=LlE0d?静电场的环路定理静电场的环路定理 LlE?d称为静电场的称为静电场的“环流环流”（circulation）。）。L1L2P2P12.静电场的环路定理2.静电场的环路定理在静电场中，场强沿任意闭合路径的在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分线积分(也称为(也称为 环流环流)恒等于零。)恒等于零。静电场环路定理静电场环路定理2.静电场的环路定理真空中的静电场真空中的静电场83.电势能电势能对于作用力是保守力的系统，当系统处于一个状态 时，系统内对于作用力是保守力的系统，当系统处于一个状态 时，系统内“蕴藏蕴藏”着一种能量，当系统状态改变时能 量可以释放出来，此能量称为着一种能量，当系统状态改变时能 量可以释放出来，此能量称为势能势能，状态改变过程中 保守内力做的功等于初末状态势能增量的负值。（末 减初），状态改变过程中 保守内力做的功等于初末状态势能增量的负值。（末 减初）电荷周围的静电场对另一个电荷的作用力是保守 力，那么当静电场与场中的电荷处于某个状态时，系 统内电荷周围的静电场对另一个电荷的作用力是保守 力，那么当静电场与场中的电荷处于某个状态时，系 统内“蕴藏蕴藏”着一种能量，当系统的状态改变（电荷在 场中的位置）时能量可以释放出来，此能量称为电势 能，状态改变过程中系统保守内力静电场力做的功等 于初末状态系统电势能增量的负值。着一种能量，当系统的状态改变（电荷在 场中的位置）时能量可以释放出来，此能量称为电势 能，状态改变过程中系统保守内力静电场力做的功等 于初末状态系统电势能增量的负值。真空中的静电场真空中的静电场9电场力是保守力，可引入势能的概念。电场力是保守力，可引入势能的概念。静电势能的改变静电势能的改变设在静电场中，将试验电荷设在静电场中，将试验电荷 q0 从从 a 点沿任意路径移 动到点沿任意路径移 动到 b 点，点，电场力作功为电场力作功为Wab。因为因为保守力所作的功等于势能增量的负值。保守力所作的功等于势能增量的负值。电荷电荷 q0 在静电场中从在静电场中从 a 点沿任意路径移动到点沿任意路径移动到 b 点时，电场力所作的功点时，电场力所作的功Wab与这两点电势能与这两点电势能Ea、Eb的关系为的关系为:abpWE=(E)pbpaE=papbEE=0bbabaaWF dlqE dl=?0qE?ab3.电势能电势能电场力所作的功电场力所作的功Ea qo在在a点的点的电势能电势能Eb qo在在b点的电势能。点的电势能。0bpapbaEEqE dl=?3.电势能真空中的静电场真空中的静电场10电势能也是一个相对的量，必须选择一 个电势能也是一个相对的量，必须选择一 个零势能点零势能点作为参考。式中：作为参考。式中：Epa、Epb是电荷是电荷q0分别在分别在a点和点和b点时点时,q0与电场所 组成的系统的静电势能。与电场所 组成的系统的静电势能。即令即令0,pbE=若选定若选定b点为点为电势能零点电势能零点电荷电荷q0在此系统的电场中在此系统的电场中a点的电势能为点的电势能为：0paaEqE dl=?势能零点意义：意义：电荷在静电场中电荷在静电场中某点的电势能某点的电势能等于等于将此电荷由该点 沿任意路径将此电荷由该点 沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功。移到电势能零点的过程中电场力所作的功。0qE?ab0bpapbaEEqE dl=?真空中的静电场真空中的静电场11 E0,p=即电荷电荷q0 在电场中a点的电势能为在电场中a点的电势能为0paaEqE dl=?定义：定义：电荷电荷q0 在静电场中某点的电势能在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。对有限带电体，通常规定无穷远处为电势能零点对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。对有限带电体，通常规定无穷远处为电势能零点0paaEqE dl=?势能零点注意注意当静电场力作正功，电势能减少；当静电场力作负功，电势能增加。电势能为电荷与电场所共有，是系统能量。当静电场力作正功，电势能减少；当静电场力作负功，电势能增加。电势能为电荷与电场所共有，是系统能量。某点电势能 的求法！某点电势能 的求法！真空中的静电场真空中的静电场124.电势与电势差4.电势与电势差4.电势与电势差0paaEqE dl=?势能零点两边同除以两边同除以q0，得：将，得：将0paaEE dlq=?势能零点这一比值与这一比值与q0 的值无关，仅取 决于的值无关，仅取 决于电场的性质电场的性质及场点的位置及场点的位置定义：场中定义：场中a点的电势点的电势daaaoEUElq=?零势点(1)等于(1)等于单位正电荷单位正电荷在该点的在该点的电势能电势能；(2)等于将；(2)等于将单位正电荷单位正电荷从该点从该点经过任意路径移经过任意路径移到零势点时到零势点时电场力所作的功电场力所作的功。(3)等于。(3)等于场强场强从该点从该点经过任意路径移经过任意路径移到零势点的到零势点的线积分。线积分。电场中某点的电场中某点的电势电势有三种表述：有三种表述：真空中的静电场真空中的静电场13电势差：电势差：静电场中两点电势值的差。静电场中两点电势值的差。0papbababEEUUUq=bal dE?意义：意义：把单位正电荷把单位正电荷从从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（），也称为伏特（V），即），即1V1J/C。0abWq=daaaoEUElq=?零势点真空中的静电场真空中的静电场141）电势是电势是标量标量，只有正负之分。，只有正负之分。2）电势电势和和电势能电势能一样都是一样都是相对的量相对的量，为了让它有确定 的值，必须选择一个零点作为，为了让它有确定 的值，必须选择一个零点作为参考点参考点。但。但电势差电势差的值 具有的值 具有绝对绝对的意义，的意义，与零点的选择无关与零点的选择无关。对有限带电体一般选无穷远为电势零点。对有限带电体一般选无穷远为电势零点。3）电势零点的选择：电势零点的选择：在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。对对无限带电体无限带电体不宜选无穷远为电势零点。可指定空间 某点为电势零点。通常只有电势的相对值（即电势差）有意义。不宜选无穷远为电势零点。可指定空间 某点为电势零点。通常只有电势的相对值（即电势差）有意义。4）电势能与电势的区别：）电势能与电势的区别：EP 可正可负，取决于可正可负，取决于 q 和 和 q0；U只取决于场源电荷只取决于场源电荷 q。讨论讨论真空中的静电场真空中的静电场15当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场 中移动时电场力所做的功：当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场 中移动时电场力所做的功：0babaWqE dl=?例 例 用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产 生的电场中的电势分布。用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产 生的电场中的电势分布。0204qErr=?=pppl dEUUU?pE?qr?负电荷（q0）场点越远，电势越高正电荷（负电荷（q0）场点越远，电势越低0）场点越远，电势越低解：解：)(0baUUq=204prqdrr=强调：强调：prq04=pprqU 例1点电荷场中任意一点的电势点电荷场中任意一点的电势daaaoEUElq=?零势点真空中的静电场真空中的静电场16点电荷系，其电量分别为点电荷系，其电量分别为q1,q2,qi qn产生的电场为：产生的电场为：即即=niiaUU1nonoorqrqrq4442211+=+=?=iiEE?=aalEU?d5.电势叠加原理5.电势叠加原理nEEE?+=+=211r?2r?3r?ir?1q2q3qiqp电场中电场中a点的电势为：点的电势为：=aiilE?d=iailE)d(?+=+=anaalElElE?ddd21=niioirq145.电势叠加原理daaaoEUElq=?零势点真空中的静电场真空中的静电场17=niiaUU1=niioirq14一个电荷系的电场中一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个带电体 单独存在时在该点所产生电势的代数和。任一点的电势等于每一个带电体 单独存在时在该点所产生电势的代数和。电势叠加原理电势叠加原理电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多个电荷 元电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多个电荷 元dq，每个电荷元，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为当作点电荷，其电势为rqU04dd=根据电势叠加原理，通过积分得根据电势叠加原理，通过积分得=rqU04d推广：推广：电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场 的总电势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的 电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场 的总电势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的 代数和代数和。真空中的静电场真空中的静电场186.电势的计算电势的计算(1)已知场强计算电势计算公式为电势的定义式：已知场强计算电势计算公式为电势的定义式：=零势点零势点aalEU?d(2)利用电势叠加法计算电势计算方法：利用电势叠加法计算电势计算方法：点电荷的电势公式点电荷的电势公式+电势叠加原理点电荷系：电势叠加原理点电荷系：=niioiarqU14=rqUa04d连续分布带电体：连续分布带电体：优点：电势是标量；难点：电荷元的选取！优点：电势是标量；难点：电荷元的选取！6.电势的计算前提：要已知场强分布！前提：要已知场强分布！真空中的静电场真空中的静电场19例 例 一均匀带电直线段，长为一均匀带电直线段，长为L，电量为，电量为q;求直线 延长线上离一端距离为求直线 延长线上离一端距离为d 的的P点的电势。点的电势。利用点电荷电势公式积分：利用点电荷电势公式积分：xPdLqdLdLqo+=ln4dPPUU=0d4dLdqxLx+=dd4PoqUx =dxdqdddqqxxL=【解】【解】例2XOXO建立图示坐标；将带电直线分为许多电荷元建立图示坐标；将带电直线分为许多电荷元dq(点电荷点电荷),武器：武器：点电荷的电势公式点电荷的电势公式+电势叠加原理电势叠加原理真空中的静电场真空中的静电场206.电势的计算例例 均匀带电圆环，半径为均匀带电圆环，半径为 R，带电为，带电为 q，求圆环轴线 上一点的电势，求圆环轴线 上一点的电势 U。已知：。已知：q、a、x。(1)利用电势叠加法计算电势计算方法：利用电势叠加法计算电势计算方法：点电荷的电势公式点电荷的电势公式+电势叠加原理点电荷系：电势叠加原理点电荷系：=niioiarqU14=rqUa04d连续分布带电体：连续分布带电体：注意电荷元的选取！注意电荷元的选取！(2)已知场强计算电势计算公式为电势的定义式：已知场强计算电势计算公式为电势的定义式：=零势点零势点aalEU?d真空中的静电场真空中的静电场21例例 均匀带电圆环，半径为均匀带电圆环，半径为 R，带电为，带电为 q，求圆环轴线 上一点的电势，求圆环轴线 上一点的电势 U。oxRqxdqdUrdqdU04=dUU环上各点到轴线等距。环上各点到轴线等距。例3带点圆环在轴线上的电势dldq=Rq2=解：解：在圆环上取任意电荷元在圆环上取任意电荷元22xRr+=+=Rrdl2004()()+=+=RxRdl20212204()21 202204RdlRx=+()()212204xRq+真空中的静电场真空中的静电场22（1）当）当 x=0 时，场强为 零处，电势不一定为零。时，场强为 零处，电势不一定为零。()0,4000=ERqU()()212204xRqUP+=+=（2）当）当 xR 时，相当于点电 荷电势。时，相当于点电 荷电势。xqUP04=（4）Ux 图。（图。（3）电势叠加比电场叠加方便。）电势叠加比电场叠加方便。XOU讨论讨论真空中的静电场真空中的静电场23方法二 方法二 场强积分法（定义法）场强积分法（定义法）由前,已知电场强度的分布由前,已知电场强度的分布322204()=+xqxdxxR()()=xU xE x dx2204xRq+=+=零点零点ppl dEU?oxRqPx()dpU xEr=?i=+22 3 204()qxExR设无穷远处为电势零点设无穷远处为电势零点真空中的静电场真空中的静电场24例 例 求半径为求半径为R，均匀带电为，均匀带电为 q 的薄盘轴线上任一 点的电势。的薄盘轴线上任一 点的电势。OrdrdSdq2=其中其中2Rq=该细圆环在该细圆环在 P 点的电势为点的电势为()()212204rxdqdUP+=+=解：解：圆盘可看成由许多 细圆环所组成，在距盘 心为圆盘可看成由许多 细圆环所组成，在距盘 心为 r 处取细圆环，电 荷元为处取细圆环，电 荷元为R22rx+rdrxXPO2204d2rxrr+=+=21220)(4/RxqU+=+=真空中的静电场真空中的静电场25所以薄圆盘在所以薄圆盘在 P 点的电势为点的电势为时，当时，当Rx xRUP2220=则则相当于点电荷的电势。相当于点电荷的电势。+Rorxrr02242d+=+=Rorxrr0222d)(222xRxo+=PU讨论讨论xRx22+22Rx+xR2041=xq041=OR22rx+rdrxXPO2204d2drxrrUp+=+=真空中的静电场真空中的静电场26首先分析用哪种方法计算比较简便一点首先分析用哪种方法计算比较简便一点例：例：均匀带电球壳半径为均匀带电球壳半径为 R，电量 为，电量 为 q，求：球壳内、外的电势分布。，求：球壳内、外的电势分布。oRq例5电势的计算电势的计算(1)已知场强计算电势计算公式为电势的定义式：已知场强计算电势计算公式为电势的定义式：=零势点零势点aalEU?d(2)利用电势叠加法计算电势计算方法：利用电势叠加法计算电势计算方法：点电荷的电势公式点电荷的电势公式+电势叠加原理点电荷系：电势叠加原理点电荷系：=niioiarqU14=rqUa04d连续分布带电体：连续分布带电体：真空中的静电场真空中的静电场27例：例：均匀带电球壳半径为均匀带电球壳半径为 R，电量为，电量为 q，求：球壳内、外的电势分布。，求：球壳内、外的电势分布。oRqr高斯面高斯面E?解：先求解：先求球壳内、外的场强取半径为球壳内、外的场强取半径为r的同心球面为高斯面，的同心球面为高斯面，r0=qSdES?0=qdSESr?III2041rqE=,Rr II区：球面外区：球面外=qq20241rqE=例5由高斯定理：场强分布为：由高斯定理：场强分布为：真空中的静电场真空中的静电场28l dEl dERRr?+=+=21drER+=20drrqR=2041Rq04=I区：球壳内电势选无穷远为电势区：球壳内电势选无穷远为电势0点，点，Rr结论：结论：均匀带电球面内任意一 点的电势等于球表面的 电势。均匀带电球面内任意一 点的电势等于球表面的 电势。l dEUr?1=零势点零势点aalEU?d真空中的静电场真空中的静电场29oRqIIIRoEr204RqoRqIIIRoVrRq04,Rr II区区:球面外球面外20241rqE=RqU014=rqU024=均匀带电球面 外任意一点的 电势等于将电 荷集中于球心 的点电荷的电 势。均匀带电球面 外任意一点的 电势等于将电 荷集中于球心 的点电荷的电 势。结论：结论：真空中的静电场真空中的静电场30例：例：在正方形四个顶点上各放置 带电量为在正方形四个顶点上各放置 带电量为+q的四个电 荷，各顶点到正方形中心的四个电 荷，各顶点到正方形中心O的距离为的距离为r。求：（。求：（1）O点的电势；（点的电势；（2）把试探电荷）把试探电荷q0从无穷远处移到从无穷远处移到O点 时电场力所作的功；（点 时电场力所作的功；（3）电势能的改变。）电势能的改变。解：解：=4104iiiOrqUrqrq0044=q+q+q+q+or（1）根据电势叠加原理（）根据电势叠加原理（2）根据电势差的定义）根据电势差的定义0qAUUOO=)(0OOUUqA=OUq0=rqq00=（2）根据）根据abpbpaAEE=OOOAEEE=rqq00=