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用二维单侧容限系数公式 测定压力容器钢疲劳裂纹扩展速率的小样本方法 刘新卫。杨永愉。马鑫(北京化工大学，北京1 0 0 0 2 9)摘要：应用二维单侧容限系数公式，提 出了一种测定金属材料疲劳裂纹扩展速率的小样本方法。该方法可以综合利用以往历史数据和当前试验数据来测定金属材料疲劳裂纹扩展速率曲线。与仅 能利用当前试验数据的传统方法相比，在精度相同的情况下，可以节省大量试件；在试件数量相同 的情况下，可以大大提高测试精度。文中还给出了一个钢 Q 2 3 5 A的计算实例。关键词：小样本方法；疲劳裂纹扩展速率；二维单侧容限系数；容忍上限 中图分类号：T G 1 1 3 2 5：0 3 4 6 2 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 1 4 8 3 7(2 0 0 4)1 2 一 O O O 6 0 3 A S ma l l S a mp l e Me t h o d f o r Te s t i n g Fa t i g u e Cr a c k Gr o wt h Ra t e Cu r v e o f Pr e s s u r e Ve s s e l S t e e l LI L T Xi nwe i，YANG Yo n gy u，M A Xi n (B e ij in g U n i v e r s i ty o f C h e m i c a l T e c h n o lo g y，B e ij in g 1 0 0 0 2 9，C h in a)Ab s t r a c t：A s ma l l s a mp l e me t h o d f o r t e s t i n g f a t i g u e c r a c k g r o wt h r a t e c u r v e o f s t e e l w a s p r e s e n t e d i n thi s p a p e r u s i n g a f o r mu l a o f t w od i me n s i o n al o n es i d e t o l e r a n c e f a c t o r T h i s me thod c a n ma k e f u l l U S e o f the c u r r e n t t est d a t a a n d the p r e v i o u s d a ta，w h i l e the t r a d i t i o n al me thod C a l l o n l y U S e c u r r e n t d a taTh u s，f e w e r s p e c i me n s a l e r e q u i r e d i n the p r e s e n t me thod t o o b t a i n s a me a c c u r a c y an d the r e s u l t i s mo re a c c u r a t e f o r t h e s a me n u mb e r o f s p e c i men s A n e x a m p l e o f s t eel Q E 3 5 A i s al s o g iv e n i n th e paper Ke y wo r d s：s ma l l s a mp l e me thod；f a t i gu e c r a c k g r o wt h r a t e c u r v e；two-d i me nsi o n al o n e-s i d e t o l e r a n c e f a c t o r；u p pe r t o l e r a n c e l i mi t 1 理论分析 式中 子幅值 1 1 裂纹扩展速率对数的 P分位数 裂纹扩展速率是耐久性、损伤容限和疲劳可靠 性分析的主要依据。从以往的试验研究和实际的应 用疲劳裂纹扩展速率公式，其中适用性较广的是 P a r i s E r d o g an 公式：d a d N=C()m (1)基金项 目：北京化工大学青年教师科研基金(O r 0 o 3)。6 若对公式(1)两边取对数，则疲劳裂纹扩展速率 可表示为：l g(d a d N)=l g C+mlg()(2)对大量的疲劳裂纹扩展数据的统计分析研究表 明，同一应力强度因子范围内的疲劳裂纹扩展速率 的常用对数服从正态分布l 1 2 J，R IJ l g(d 口 d N)一 维普资讯 http:/ 第 2 l 卷第 l 2 期 压 力 容 器 总第 1 4 5 期 N(，)。总体 l g(d a d N)的 P分位数 1g(d a d)。定义为：1g(d a d N)P=+u (3)式中 为标准正态分布的P分位数，即：p e 一 d u (4)u 可 由标准正态分布表查得，常用的有：P=9 9 时，u =2 3 2 6；P=9 9 9 时，u p：3 0 9。由于 总体 l g(d a d N)的分布参数 t t 和 未知，所以需要 对总体的 P分位数 1 g(d a d N)。作出估计。1 2 二维单侧容限系数 设l g(d a d N)和 S 分别表示来 自总体 l g(d a d N)的样本均值与样本方差，由参数估计理论可知，它们分别为总体参数 和 的无偏估计。由式(3)所定义的总体 P分位数的置信度为)，(0)，1)的 置信上限可表示为：1 g(d a d N)=lg(d a d N)+s (5)即：P 1 g(d a d N)P lg(d a d N)+P S )，(6)其中 称 为二维单侧容 限系数H J，可由下式求 得：W=2(u+u y 一 0 6 4 5 一I A v+u,-0 645)(8)式中凡 样本容量 样本方差 S 的自由度 u 标准正态分布的分位点，即)，=(u y)。常用的有 当)，=9 0 时 u y=1 2 8 2；当)，=9 5 时 U y=1 6 4 5。实际上，由公式(5)、(6)所给出的总体 P分位数 的估计，就是总体的容量为 P，置信度为)，的容忍上 限。在工程上常常将 P称为可靠度。令人感兴趣的是l g(d a d N)和 S 可 以来 自不 同的样本，所以，这里 不一定等于n一1，并且 n可 以是任意正实数，和n之间没有任何关系。如果I s(d a d N)和 S 是来 自同一个样本 lg (d a d N)l，l g(d d N)2，k(d a)的样本均值和 样本标准差，即 l g(丽d a)=1 ,l g 丽d a)(9)S：(1 0)那么，=n一1，二维单侧容限系数 由下式 求得：_ 二 _ 乏 u W=2(+“y 一1 645 1 n+u r-1 645)(1 2)1 3当前数据 和历史数 据的综合利 用 从二维单侧容限系数公式 k p(见式 7)可以看 出，在给定可靠度 P和置信度)，的情况下，当自由 度 n或 增加时，。将减小，因此由式(5)、(6)所求 得的裂纹扩展速率对数总体 lg(d a d N)的可靠度为 P，置信度 7为容忍上限l g(d a d N)+，将更加精 确。这说明可以综合利用 当前数据和历史数据，提 高样本方差的自由度，以减少试样个数。设有 t 组以往积累的疲劳裂纹扩展速率试验数 据，它们分别来 自于均值为 和方差为 的正态 总体，t t 和 与当前的 和 可以相同也可以不 相同。置l，是来 自历史总体 N(，2 )的 谢 样本，i=1，2，t。Y l，y 2，y n 是来 自当前 总体 N(z，)的 样本。历史数据的样本方差为 S ，自由度为=n 一 1，i=1，2，t，且相互独立。即：s =(一X i)(n 一1)，X 当前数据的样本方差为 S ，自由度为 n一1。即：3 2=k =l(一 )(n一1)，l，=n k =l 定义组合方差：s ：s +(n1)s (+n1)(1 3)式中 =根据式(1 3)，不难推出，若选取满 足 S S 的历史数据，可以使 S ，将组合方 差 s 代入式(5)，即可求得更精确 的置信度为)，的总体P分位数的置信上限 1 g(d a d N)。u。(丽d a)=+s (1 4)式中 一历史数据与当前数据组合样本均值 若历史数据不满足 s S ，可将条件减弱为：k p S 2一k p S 2,需要指出的是，在这个条件中，计算 一 7 亚 萼 维普资讯 http:/ 用二维单侧容限系数公式测定压力容器钢疲劳裂纹扩展速率的小样本方法 V o 1 2 1 N o 1 2 2 0 O 4 时左右两边的自由度是不同的；若历史数据的 5 远 大于 5 ，使得 2一 ，则这样的历史数据就不 能使用了。2 算例 将文献 5 中 Q 2 3 5 A级钢材炉号的 3 根试样 的疲劳裂纹扩展速率数据(d a d N，K)作为当前数 据，将炉号中V中的 3根试样 的疲劳裂纹扩展速率 数据(d a d N，3 K)和炉号中的4根试样 的疲劳裂 纹扩展速率数据(d a d N，3 K)作为历史数据。根据工程设计需要所提出的可靠度与置信度要 求，由式(1 1)、(1 2)求得置信度为 y=9 5(il=1 6 4 5)，可靠度 P=9 9(u p=2 3 2 6)，n=1 0，口=7 时的二维单侧容限系数|i。=4 3 1 5 2。由于不同的试件在测试过程中所得到的测试点 的 值 不 同。为 了得 到不 同 的试件 在 相 同的 l s 3 K处所对应的 l g(d a d N)的值，本文首先对试验 表 1 数据取对数，用最小二乘法，得到每一根试样拟合的 P a r i s-E r d o g a n 方程，然后对方程(2)进行抽样。即 令 l g zS K以一定的步长变化，由 P a r i s-E r d o g a n方程 得到相应的 l g(d a d N)。设 l g(A rK)i 对应 X ij=lg(d a d N)，=1，2，3，l 0。首先，在每一个抽样点上，验证条件：5；5 或 p ls 2一 p ls 。在本例中，所有的抽样点均满足 条件。对每一个 i，由式(1 5)估计分位数的置信上 限 X i ，=l g(d a d N)iU，由此 获 得一 组数 据(，()i)，1，2，3，t，其中 t 的值由抽样过程决 定。这组数据是由应力强度因子范围 的对数和 疲劳裂纹扩展速率对数总体的P分位数的置信上限 所构成的，依据这组数据，最终拟合出工程设计中使 用的 P a r i s-E r d o g a n方程。用最小二乘法处理得到的 l 0根试样 的疲劳裂 纹扩展速率 曲线参数 l g C和 m 的数值见表 1(d a d N的单位为 m m 周，A K的单位为 M P a m m)。试样号 l 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 L s c 一1 4 3 8 2 9 1 4 6 1 l 2 1 4 3 8：一l 3 5 6 4 8 1 4 5 3 7 0 一l 3 2 6 7 8 1 4 5 2 3 5 1 4 3 3 l 0 1 4 3 3 1 4 1 4 2 2 3 7 ，7 l 3 4 7 8 8 3 5 7 8 7 3 3 2 4 3 9 3 5 r 7 3 1 2 0 3 3 5 4 8 7 3 5 2 6 7 3 j 7 9 3 4 4 3 4 根据当前数据(前三根试样)的 A rK的范围，取 i s(A rK)的最 小 值 为 2 7 8 2，l g(A r K)的最 大值 为 3 4 3 5，l g(A rK)的步长为 0 0 2 7(数据点为 2 5 个左右。当然可 以更多)。根据每一根试样 的 l g C和 m 数 值，由 P a r i s-E r d o g a n方程求出每一根试样在抽样点 的(1g 3 K)的 l g(d a d N)的值，=1，2，1 0，i=表 2 1，2，mo 依据式(1 5)求得在每个抽样点(1 g 3 K)i 处，置 信上限 l g(d a d N)由此获得一组数据，拟合出 P a r i s-E r d o g a n方程。例如：I g A K=3 0 1 7 1，1 0根试样的l g(d a d N)数 据见表 2。试样号 l 2 3 4 5 6 7 8 9 l O l g(d a d N)一 3 8 8 7 l 一 3 8 l 4 o 一 3 8 6 9 r 7 3 7 7 7 7 3 7 l 2 6 3 8 5 3 6 3 8 l 6 8 3 一3 8 0 8 l 一 3 8 3 4 7 在 lg A tK：3 0 1 7 1处，十 根 试 样 的 均 值 lg(d a d N)=一3 8 0 6 5，炉号 的 3根试样 的方差 S =0 0 0 1 4 6，炉号 V的 3根试 样的方差 5 =0 0 0 4 9 8，炉号的4 根试样的方差 S；=0 0 0 4 2 9 则 由式(1 3)求得组合标准差 5 一=0 0 6 0 6，最后求得 置信上限l g(d a d N)p t，=一 3 5 4 4 8(=4 3 1 5 2)。本算例计算结果为可靠度 R=9 9 和置信度y =9 5 时，l g C=一1 5 4 4 4 3，m=3 9 2 9 3。相 应 的 P a r is-E r d o g a n 方程：i s(d a d N)=一1 5 4 3+3 9 2 9 3 1 g()或d a d N：3 5 9 5 1 0 一 6(,a K P9 2 9 3 8 图 1 给出了用传统方法和本文方法所得到的 P a r i s-E r d o g a n方程曲线的比较。其中曲线(4)是本 文方法所得到的 P a r i s-E r d o g a n方程曲线；曲线 1、2、3 是依次将来自炉号，V。的试样，分别采用传 统方法所得到的方程 P a r i s-E r d o g a n g 曲线。比较 四 条曲线可以看出，曲线 4的截距介于另外三条曲线 的中间，而斜率与另外三条曲线 中的最大者接近。所以，曲线 4 较好地综合了三个炉号的试样所提供 的信息，给出了便于工程中使用的P a r i s-E r d o g a n方 程曲线。(下转第 1 6页)维普资讯 http:/ 铝制散热器真空钎焊性能及微观组织研究 V o l 2 l N o 1 2 2 0 o 4 织，边界由长条状的相组成，对这些相进行点成分分 析，得到这些相都是 s i 相，这也就是说在皮层金属 熔化重新结晶的过程中，原来皮层金属中的 S i 熔化 之后重新结晶，生成了这些长条状的 S i 相，这些 s i 相在晶粒的边界上析出，可以说这些富s i 相的富集 是在水压试验中钎缝破断的一个原因。图9 冷却器真空钎焊钎缝扫描电镜图样2 0 0 3 结论(1)铝质冷却器真空钎焊合适的焊接工艺参数 为：钎焊温度 6 2 8 oC，保温 1 0 w i n。在这个工艺参数 下水压试验能达到 1 5 M P a。(2)断口试验表明，在适合的工艺参数下，表面 呈混合断裂的形式，而延长保温时间，提高钎焊温度 的条件下，断口呈脆性断裂的形式，接头强度明显下 降。铝制冷却器钎缝的断裂过程是这样的：界面上 裂纹的产生一裂纹亚临界状态扩展一裂纹扩展到最 大水压力在剩余截面上产生的应力达到该钎缝缺口 拉伸强度或裂缝长度达到钎缝断裂韧性允许的临界 值时，就发生急剧破坏的破断过程。(3)钎缝中生成了网状的共晶组织，皮层金属中 的 S i 相熔融后重新结晶成条状的 S i 相，并且这些相 富集在晶粒的边界上，这些富硅相的存在，成为水压 试验中冷却器断裂的一个重要因素。参考文献：1 胡刚，康慧 铝合金真空钎焊的发展 J 焊接技术，2 0 0 1，3 0(2)：l 一3 2 J R T e r r i l l，C N C o c h r a n，J J S t o k e s，W E H a u p i n U n d e r s t a n d i n g t h e M e c h a n i s m s o f A l u m i n u m B r a z i n g J We l d i n g J o u r n a 1 1 9 7 1，5 0(1 2)：8 3 3 8 3 9 3 钟向阳，蒋金龙 管带式热交换器真空钎焊工业及影 响钎焊质量的因素 J 焊接，1 9 9 9(1 1)：2 3 2 6 4 W i l l i a m H o k e l I，C a l v i n A m e n h e u s e r T e c h n i q u e s f o r A l u m i n u m B r a z i n g i n V a e u u m e F u rn a c e s J W e l d i n g J o u r n a 1 1 9 9 3。7 2(1 O)：6 56 7 收稿 日期 2 0 0 4 0 4 1 9 作者简介：冯涛，博士，上海 交通大学材料科学 与工程学院，通讯地址：上海交通大学(徐汇校区)A 0 3 0 5 0 9 1。(上接第 8页)譬 邑 2 I g A K(MP a m。、图 1 P a r i s-E r d o g a n 方程曲线比较 3 结语(1)本文提出了一种可以综合利用历史数据和 当前试验数据测定金属材料疲劳裂纹扩展速率曲线 的小样本方法。与传统方法相比，可以节约大量试 样，降低试验成本；而在试样数量相同的情况下，又 可以大大提高测试精度。(2)该方法可以解决在役压力容器、在役飞机等 1 6 因相同材质、相近工艺、相同失效的试样少而难以测 定疲劳裂纹扩展速率 曲线 的难题，具有很大的实用 价值和社会经济效益。参考文献：1 P r o v a m J w 概率断裂力学和可靠性 M 北京：航空 工业 出版社，1 9 8 9 2 高镇同 疲劳应用统计学 M 北京：国防工业出版 社，1 9 8 6 3 陈希孺 数理统计引论 M 北京：科学 出版社，1 9 9 9 4 傅惠民 正态分布百分位值和百分率的置信限和容忍 限公式 J 航空学报，1 9 9 4；1 5(1)：9 4 1 0 1 5 朱森第 机械工程材料性能数据手册 M 北京：机械 工业出版社，1 9 9 4 收稿 日期 2 0 0 4 0 6 1 5 修稿 日期 2 0 0 4 1 0 1 0 作者简介：刘新卫，男，讲师，工学硕士，主要从事带缺陷压力 容器小样本试验技术研究和机械搅拌设备的力学研究，通讯 地址：北京市朝阳区北三环东路 1 5号北京化工大学(东 区)2 3 0号信箱，邮编：1 0 0 0 2 9。维普资讯 http:/