几何图形及直线.doc

几何图形及直线、射线、线段
【要点梳理】
要点一、几何图形
1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形． 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.
2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形
(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形。
(2)平面图形：有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．
要点诠释：
(1)常见的立体图形有两种分类方法：

(2) 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形。
（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．
要点二、从不同方向看
一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．
要点三、简单立体图形的展开图
立体图形可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
要点诠释：
(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．
要点四、点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.
要点五、直线
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．

（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
要点诠释：
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．
（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．
4.点与直线的位置关系：
（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．
（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．

要点六、线段
1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的大写英文字母来表示，如图，记作：线段AB或线段BA．
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．

3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
图6

要点诠释：
（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．
图8
图7

要点七、射线
1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．
要点诠释：
(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线．
图10
图9

(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10。
【典型例题】
类型一、几何图形
1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．

类型二、从不同方向看
2．有一正方体，它的各个面上分别标有1，2，3，4，5，6．甲、乙、丙三名同学从三个不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各组对面上的数字分别是几?

举一反三：
【变式】 如图所示的几何体中，主视图与左视图不相同的几何体是( )．

3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（　　）
A. B. C. D.
举一反三：
俯视图
主视图
【变式1】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？

【变式2】下图是从正面、左面、上面看由若干个小积木搭成的几何体得到的图，那么这个几何体中小积木共有多少个?

类型三、展开图
4．右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( )

【总结升华】培养空间想象能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．正方体沿棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况．
举一反三：
【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉．将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”相对的字是________．

类型四、点、线、面、体
5．世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
6. 将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（　　）
A．主视图相同 B．左视图相同 C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
举一反三：
【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（ ）
A. B. C. D.
类型一、有关概念
1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．

举一反三：
【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.
类型二、有关作图
2．如图(1)所示，已知线段a，b(a＞b)，画一条线段，使它等于2a-2b．

举一反三：
【变式1】下列说法正确的有 ( )
①射线与其反向延长线成一条直线；②直线a、b相交于点m；
③两直线相交于两个交点；④直线A与直线B相交于点M
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
类型三、个（条）数或长度的计算
3. 根据题意，完成下列填空．
如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．

举一反三：
【变式1】平面上有个点，最多可以确定 条直线
【变式2】一条直线有个点，最多可以确定 条线段， 条射线
【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?
4. 已知线段AB＝14cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．

举一反三：
【变式1】如图所示，数轴上线段AB＝2(单位长度)，CD＝4(单位长度)，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
(1)问运动多少秒时，BC＝8(单位长度)
(2)当运动到BC＝8(单位长度)时，点B在数轴上表示的数是________
(3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式．
若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

【变式2】如图，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点.（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+ CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.
类型四、路程最短问题
5. 如图所示，某公司员工分别住A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区?

举一反三：
【变式】如图，从A到B最短的路线是（　　）
A．A-G-E-B B．A-C-E-B
C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B

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