Biot理论的唯象修正对P波特性的影响.pdf

第 23 卷 第 18 期 岩石力学与工程学报 23(18)：31623167 2004 年 9 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept.，2004 2003 年 1 月 16 日收到初稿，2003 年 4 月 17 日收到修改稿。*国家自然科学基金(40174050)资助课题。作者 席道瑛 简介：女，1940 年生，1962 年毕业于成都地质学院地球物理勘探专业，现为中国科技大学地球与空间科学系教授、博士生导师，主要从事岩石物理及本构模型方面的教学和科研工作。E-mail：。Biot 理论的唯象修正对理论的唯象修正对 P 波特性的影响波特性的影响*席道瑛 易良坤 张程远(中国科学技术大学地球及空间科学系第三世界科学院地球科学及天文学高级研究中心 合肥 230026)摘要摘要 将 Debye 模型的复模量引入 Biot 方程后，在一维条件下讨论 P 波的传播特性。无论在频率谱或温度谱上都出现了热弛豫衰减峰和 Biot 衰减峰。在频率谱上，两峰随着温度的升高，低频段弛豫峰向高频方向移动，高频段的 Biot 峰向低频方向移动；在温度谱上，随着频率的提高，低温段的弛豫峰向高温方向移动，高温段的 Biot 峰向低温方向移动。由于热驰豫和 Biot 两种机制的作用导致波速在频率谱上随频率增高波速增大，并在较高温度时随频率增高出现两个拐点。在温度谱上随温度升高波速下降后又上升。该结果已被部分实验证实，并较好地从理论上解释了前人的实验结果。关键词关键词 岩石物理学，热弛豫峰，Biot 峰，P 波速度，频率谱，温度谱 分类号分类号 TU 435 文献标识码文献标识码 A 文章编号文章编号 1000-6915(2004)18-3162-06 EFFECT OF PHENOMENOLOGICAL CORRECTION ON P-WAVE FOR BIOTS THEORY Xi Daoying，Yi Liangkun，Zhang Chengyuan (Dept.of Earth and Space Sci.，and Advanced Centre for Earth Sci.and Astro.，Third World Academy of Sci.，Univ.of Sci.and Tech.of China，Hefei 230026 China)Abstract In this paper 1D P-wave characteristics are discussed when complex modulus is introduced into Biot equation.It is clear that thermal relaxation attenuation peak and Biot attenuation peak appear on both frequency and temperature domains.These two peaks change while temperature increases.The relaxation peak moves from low frequency side to high one，and Biot peak moves from high frequency side to low one.Also they change when frequency increases.The relaxation peak moves to high temperature side and Biot peak moves to low side.It is found that the combination of thermal relaxation and Biot mechanism leads to increment of wave velocity with two inflection points when its frequency rises.For the same reason，wave velocity decreases and then increases as temperature rises.The results are testified by experiments which are made by the authors.Some published experimental results are also well modeled in this way.Key words rock physics，thermal relaxation peak，Biot peak，P-wave velocity，frequency spectrum，temperature spectrum 1 前前 言言 自 1956 年 Biot 建立粘滞液体饱和孔隙介质唯象力学波动理论1，2以来，它在饱和多孔介质波动过程研究中一直占据着主导地位。Biot 理论是在假定孔隙流体为 Darcy 渗流的情况下，当流体运动方向与波传播方向一致时，流体与固体骨架之间的差 第 23 卷 第 18 期 席道瑛等.Biot 理论的唯象修正对 P 波特性的影响 3163 异运动才引起波的衰减。表现在饱和多孔介质中存在快 P 波、慢 P 波和 S 波。根据文3的建议，可以在本构关系中引入复模量，这样就能够在 Biot 方程中引入其他的衰减机制。在波的衰减和速度色散方面，Biot 理论给出的结果与实验结果出现了系统偏差。除了 Biot 机制外，文4提出了另一种描述流体饱和孔隙岩石中，因弹性波传播而引起的孔隙流体与固体骨架相互作用的喷射机制，这种机制是由于垂直于弹性波传播方向的细小孔隙因弹性压缩，使细小孔隙中流体向粗大孔隙挤出而形成的。喷射机制可以引起衰减和色散。文4，5则根据部分饱和及全饱和在喷射模式上的差异，建立了关于 P 波的BISQ 模型，将喷射理论和 Biot 理论统一了起来。BISQ 模型继承了 Biot 模型，仅有的变化就在于流体在波传播方向的压力依赖于固体和流体的位移。在 Biot 理论中，这一压力为一常数；而在 BISQ 模型中它变成与频率有关的量，即 BISQ 模型考虑了喷射流对流体动态压力的影响。Devorkin 等在推导BISQ 模型从三维过度到一维时，将其中关于固体的模量部分改为复模量；BISQ 模型在频率谱存在两个衰减峰，在低频部分是 Biot 峰，在高频部分为喷射峰。随着粘滞系数的增大，这两个峰发生相向移动，Biot 峰向高频方向移动，喷射峰向低频方向移动。上述模型着重研究频率谱的声波特性，对温度谱的声波特性的理论研究却很少进行，对其在温度谱得到的一些实验结果的解释有些牵强，机理不够清楚。文68近年通过低频共振和-法实验，进行了频率谱和温度谱的对比实验研究取得了一些有意义的结果。根据文3的建议，在 Biot 方程中引入了唯象的复模量，替换有关固体骨架模量的部分，这就可以在新的Biot方程中同时引入Biot机制和热弛豫机制提出另一种唯象孔隙介质波动理论，它给出的弛豫衰减峰是在假定饱和流体满足 Arrhenius 方程，其复模量满足 Cole-Cole 分布而得到。这一弛豫衰减峰与 Biot 峰是有本质区别的，物理上前一衰减峰是 Debye 峰，后一衰减峰是 Biot 衰减峰。由于考虑了温度的影响68，修改后的 Biot 方程中，耗散函数那一项也相应地修改为与温度有关的函数，与复模量中引入温度一样，是由于流体的粘滞系数满足 Arrhenius 方程所带来的。2 Biot 理论唯象修正的一维方程理论唯象修正的一维方程 由Debye方程9得到滞弹性固体的低频(零频率)极限时的模量RM，因介质随频率变化，完全有足够的时间松弛，因此可称为松弛模量；uM为高频极限时的模量，由于频率太高，介质来不及松弛，因此可称为未弛豫模量。滞弹性固体的高频模量uM大于低频模量RM，根据文8得到复模量为 i1i1iuuR+=+=uRMMMMMM (1)令=)(iuuMMMM (2)因此，和是复平面上正交的两个矢量9，且有 uRMM=+(3)可以在复平面上画出Debye理论给出的和。实验结果表明，和两个矢量并不正交，而存在某一角度为2/)1(9的偏差。为此，Debye方程的复模量M可修改10为+=+=1uRuuR)i(1i1iMMMMMM (4)化简得到实模量和虚模量分别为+=+=)2/sin()1cosh()2/cos()(21)2/sin()1cosh()1sinh(1)(21RuimuRuRexMMMxxMMMM(5)式中：)ln(=x。由上式可知，当0=x时，也即1=时，衰减达到峰值。通过修改的Debye方程的复模量和式(3)可以发现，当0=时，修改后的模型回归到了Debye模型9。假定孔隙介质符合Debye方程和Cole-Cole分布，由于热激活弛豫过程满足Arrhenius公式，流体的粘滞系数为 kTH/0e=(6)式中：T为绝对温度，0为温度趋于无穷大时的粘滞系数，H为越过势垒的激活能，k为Boltzman常数(k23100538.1=)。随着温度的升高，流体的粘滞系数减小。3164 岩石力学与工程学报 2004 年 根据局部流动理论4，饱和多孔岩石衰减的峰值频率为 3)/(Kf=(7)式中：K为岩石骨架的体积模量，为孔隙的纵横比。一般情况下，1，当岩石孔隙为球状时，1=，仅与岩石的孔隙形状有关。将式(7)代入 式(6)，有 kTHkTHK=ee)/(2030 (8)式中：300)/(2K=，针对某一具体岩石饱和液体时，0为常数，可以称作为参考频率或特征频率。将式(8)左边作为变量x，代入式(5)，得到含温度效应的唯象理论模型，即P波的波动方程。采用文4在推导BISQ模型从三维过渡到一维的方法，将其中关于固体的模量部分改为()=+=AMMMAkTTHMMMM)2/cos()(21)/1/1()/lg()1(sinh1)(21Ruim00RuuRe(9)式中：()+=kTTHA/)/1/1()/lg()1(cosh00 )2/sin(。由于喷射机制发生的频率比Biot机制产生的频率更高，往往超出了超声频率范围。为便于问题的讨论，这里仅考虑单轴情况，且忽略可能存在的喷射机制对理论模型的影响，并假定文献8提出的唯象模量理论模型适用于描述一维情况下的流体饱和固体介质模型。式(9)描述的是孔隙介质宏观模量模型8。其中给出的结果能较好地解释前人的实验观测结果11，12，在理论上更清晰，更完善。同时，还可根据简单的理论模型，设计比较系统的实验来研究流体饱和孔隙介质中的声学问题。在推导时还假定固体相体积模量、骨架的体积模量不影响复模量，它们均为一常数。在此情况下，将式(9)代入无耗散的Biot方程8，得到有耗散的孔隙介质宏观模型为=+=)()()1(tt2ttttattfttfttfwukwuwPwuPuMxxxx (10)式中：u和w分别为固体骨架和流体的位移；f为流体密度；P为流体的平均压力；为连通孔隙，可看作一般意义上的孔隙度；M为轴向模量；为孔隙弹性系数；k为渗透率。由式(10)得此时压缩波的Biot方程为+=+=tttttttttattfttftts)()()1(xxxxxxuwFPwubFwuwPwuPuM(11)式中：令复模量M由式(9)给出。)(F为Biot2高频校正函数，采用Biot2给出的方程式为=+=231 8)(i21)(41)(ibeiberibeiber)(c，TTFT (12)式中：k/c=，ber和bei分别为第一类和第零阶开尔文函数。这里仅修改了复模量式(9)，其余变量的定义与BISQ5模型一致。假定u，w，p具有波动方程解的形式，即为=)(iexp)(iexp)(iexp000tlxpptlxwwtlxuu (13)把式(12)代入式(9)，消去u0，w0，p0，并令2)/1(=Z，得到关于Z的方程为 02=+CBZAZ (14)其中，4MFA=+=a3)(MFMibB)()(fa+F+=acfafsfsi)1(1)1(C 求解一元二次方程(14)，可得 ACABABTZ=22122)(，(15)波速和衰减分别为()()()=21211212121ReIm2Re/1，ZZQZv (16)由式(16)可知，波速和衰减分别是频率和温度的函数。下面分别就频率谱和温度谱讨论 P 波速度和衰减的一些特征。第 23 卷 第 18 期 席道瑛等.Biot 理论的唯象修正对 P 波特性的影响 3165 3 频率谱和温度谱波的特性频率谱和温度谱波的特性 图 1 给出了不同温度 T 条件下的 P 波波速和衰减的特性。仔细分析这些图，可以发现下面几点：(1)在频率谱上速度随频率的增高而增大，在 某些频段(如图中的 AB 段)，波速随频率的对数基本成线性增大，波速与频率对数的非线性效应是比较明显的。由图 1(a)(d)可见，波速随频率的变化受温度的影响较大，也就是说波速与频率关系受流体粘滞系数的影响较大。在图 1(d)波速与频率对数的关系中可以看到，波速变化存在有 2 个拐点，而在 (a)温度条件为 T (b)温度条件为 T+30 (c)温度条件为 T+60 (d)温度条件为 T+90 图 1 P 波速度和衰减随频率的变化 Fig.1 P-wave velocity and attenuation vs.frequency Vp/ms1 Vp/ms1 Vp/ms1 Vp/ms1 lg f lg f lg f lg f lg f lg f lg f lg f 3166 岩石力学与工程学报 2004 年 低温段(图 1(a)(c)就不太明显。(2)衰减在频率谱出现两个衰减峰。低频段的峰较强，是热弛豫衰减峰；高频段的峰较弱，是 Biot衰减峰。随着温度的升高，两峰的位置发生移动，较低温度时处于低频段的衰减峰向高频方向移动，处于高频段的峰向低频段移动。随着温度的升高，粘滞系数减小，两个衰减峰相互靠近，并随着温度的继续升高而发生倒置现象。由于这一现象发生在一个非常宽的频率范围，采用常规的办法很难观测到这一现象，目前还没有一种观测设备能够在如此宽的频率范围内精确观测某一频率的波速和衰减。就超声衰减而言，由于技术条件的限制，观测的波速和衰减往往集中在某一中心频率附近，更不可能有这样宽的频带。(3)可见，在频率谱内，波速和衰减随频率的变化受到两种不同机制的主导，这两种机制同时又受到温度即流体粘滞系数的控制。热弛豫机制随温度的升高，衰减峰向高频方向移动，并使波速增高。Biot 机制随温度的升高，衰减峰向低频方向移动，Biot 峰的存在也使波速上升。这就是为什么在图 1中观测到的波速随频率对数增大而升高，并出现两个明显的拐点。在更高频率时，可能还存在喷射机制产生的衰减峰。图 2 给出了不同频率下的 P 波波速和衰减随温度变化的曲线。分析这几组曲线，可以得到以下几点认识：(1)在温度谱内，P 波波速的变化较频率谱复杂。一般而言，P 波波速随温度的升高而下降，当温度升高到一定程度，波速下降变平缓，随着温度的继续升高，波速又上升。就这一现象，在不同的频段，曲线变化不同，如图 2(d)，波速随温度的升高一直呈现下降趋势。要观察到波速随温度的升高而下降，随之又上升的频率在几十到几百 Hz 比较合适，到了更高的超声频率将很难观测到，而在更低的频率则需要更高的温度。(2)在温度谱内，同样可以观测到 2 个衰减峰：即在较低频率时，存在于低温段的热弛豫衰减峰和存在于较高温度段的 Biot 峰。随着频率的升高，热弛豫峰向高温方向移动，Biot 峰向低温方向移动；随着温度的升高，热弛豫峰和 Biot 峰慢慢靠近，当达到某一频率范围时，两峰会出现叠加，从而在温度谱内只能观测到一个衰减峰。当频率继续增高，这两个衰减峰逐渐分开，并出现与低频时倒置的现象，Biot 峰出现在低温段，而热弛豫峰出现在高温段。与此同时，随频率的增大，波速随温度的下降 (a)频率条件为 10 Hz (b)频率条件为 100 Hz (c)频率条件为 1 000 Hz (d)频率条件为 10 kHz 图 2 P 波速度和衰减随温度的变化 Fig.2 P-wave velocity and attenuation vs.temperature 部分和上升部分慢慢接近，进而相互叠加。由于强弱关系的影响，在高频时，Biot 机制导致随温度的升高波速上升，这一部分将淹没在热弛豫机制中，在这一频段很难观测到波速随温度下降后又上升的现象。(3)与频率谱一样，温度谱的波速和衰减同样受到上述两种机制的主导，热弛豫机制可以用局部流体流动理论来解释，Biot 机制可以用 Biot 理论来解释。在温度谱更高温度段(已超出该图的温度范Vp/ms1 Vp/ms1 Vp/ms1 Vp/ms1 T/T/T/T/T/T/T/T/00 00.00 00 0 0.00 0.00 00.000 第 23 卷 第 18 期 席道瑛等.Biot 理论的唯象修正对 P 波特性的影响 3167 围)，还可能存在喷射机制引起的衰减峰。(4)在很多实验中，观察到波速随温度升高而下降，而不是由 Biot 机制引起的随温度的升高波速上升9，这说明还存在着另一种衰减机制，这种机制与 Biot 机制有着根本的差别，而且单纯用 Biot机制无法解释这一现象。这是本文在 Biot 理论中用唯象复模量修正 Biot 理论的实验基础，也是其实验根据。很多实验观测结果证实了波速随温度升高而下降的这一趋势，文11甚至给出了一个经验的线性下降关系。从笔者给出的波速与温度的关系中可以看出，在实验能够观测到的大部分频段，波速与温度基本上呈现出近似线性关系(图 2(d)。(5)用同一方法观测到的波速与其他物理参量的关系，和用其他方法观测到的波速与相同物理参量的关系具有一定的类比性。在图中给出的波速与温度的关系中，当温度超过一定范围后，波速随温度上升而增大的那一部分，按常理是难以理解的，在实验中很难观测到这一现象。可喜的是，文10，文12利用共振法观测到了这一现象。虽然这方面的实验证据现在还不多，但也足以作为本文建立的热激活弛豫波动理论模型的实验检验。4 讨讨 论论 在唯象的复模量模型的基础上，进一步拓展了Biot 方程，对 P 波的数值分析结果作了讨论。在频率谱和温度谱上均可获得两个衰减峰。温度谱低频段存在一热弛豫衰减峰，而高温段则存在一 Biot 衰减峰。随着频率的提高，热驰豫峰向高温方向的 Biot 峰移动，而 Biot 峰则向低温方向的热驰豫峰移动，这时随温度升高，P 波速度先下降后上升，当频率提高到某一范围时，两峰出现迭加现象，这时在温度谱上只能观测到一个衰减峰。且 P 波速度随温度升高成线性下降。当频率继续提高时，两峰逐渐分开，Biot 峰继续向低温段移动，而热驰豫峰则继续向高温段移动，这一结果与文9所作的共振杆实验结果类似。由于受热弛豫和 Biot 两种机制的影响，温度谱上出现随温度升高波速下降后又回升的现象。这一结果可用来解释文10，11做的局部含水饱和 Berea砂岩的共振实验结果。在频率谱上衰减也出现了同样的两个峰，低频段较强的衰减峰为热驰豫峰，高频段较弱的衰减峰为 Biot 峰。随着温度的升高，弛豫峰向高频方向的Biot 峰移动，而 Biot 峰向低频方向的弛豫峰移动。与温度谱一样随着温度的不断升高，两峰靠近迭加，再发生倒置。这一现象发生在一很宽的频带上，所以现有的仪器由于受频带限制很难观测到这一移动过程。由于两种机制的影响，一般速度随着频率增高而加快，但在温度较高时也导致波速随频率的变化出现两个拐点的现象。在频率谱上如果频率再提高，以及在温度谱上温度升得更高时还可能存在喷射机制的影响。参参 考考 文文 献献 1 Biot M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid，I low-frequency rangeJ.Acoust.Soc.Am.，1956，28(2)：168178 2 Biot M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid，I high-frequency rangeJ.Acoust.Soc.Am.，1956，28(2)：179191 3 Biot M A.Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous mediaJ.Applied Phys.，1962，33(4)：1 4821 498 4 Devorkin J，Richard Nolen Hoeksema，Nur A.The squirt-flow mechanism：macroscopic descriptionJ.Geophysics，1994，59(3)：428438 5 Devorkin J，Gary Mavko，Nur A.Squirt flow in fully saturated rocksJ.Geophysics，1995，60(1)：97107 6 席道瑛，程经毅，席 军.饱和砂岩滞弹性弛豫热激活过程机理探讨J.石油地球物理勘探，1998，33(3)：348354 7 席道瑛，刘 斌，刘 卫等.饱和多孔岩石弛豫衰减对时间和温度的依赖性J.地球物理学报，2000，43(6)：873880 8 易良坤，席道瑛，刘小燕.孔隙介质热激活弛豫波动理论J.岩石力学与工程学报，2003，22(5)：803809 9 Nur A，Tosaya C，Vo-Thanh D.Seismic monitoring of thermal enhanced oil recovery processesR.RS6，Presented at the 54th SEG Meeting，1984 10 Jones T，Nur A.Velocity and attenuation in sandstone at elevated temperatures and pressuresJ.Geoph.Res.Lett.，1983，10(2)：140143 11 Han Dehua.Effects of porosity and clay content on acoustic properties of sandstones and unconsolidated sedimentsPh.D thesisD.California：Stanford University，1986 12 Murphy W F.Effects of microstructure and pore fluids on the acoustic properties of granular sedimentary materialsPh.D thesisD.California：Stanford University，1982