振动习题答案.doc

《振动力学》——习题

第二章 单自由度系统的自由振动
2-1 如图2-1 所示，重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物从高度为h处自由下落到上且无弹跳。试求下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
x
x0
x1
x12
平衡位置

解：
，
动量守恒：
，
平衡位置：
，
，
故：

故：

2-2 一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角q
q＝ha
2F＝mg
由动量矩定理：

其中

2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求
其摆动的固有频率。

图2-3 图2-4
2-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况
系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
k2
k1
m
l1
l2

mg
l1
l2
x1
x2
x

图 T 2-9 答案图 T 2-9

解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：

故：

2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m，A
端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？

图2-5 图2-6
2-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m=50kg，，
，。试问：
（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？
｛2.17｝ 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
k1
k2
k3
k4
m

图 T 2-17
解：

（1），
（2），
2-7 图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。

图2-7
解：
系统动能为：

系统动能为：

根据： ，

2-8 如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼
系数及阻尼固有频率。

图2-8
a
b
l

解：

，

由
2-9 图2-9所示的系统中，m＝1kg，k＝224N/m，c＝48N.s/m，l1＝l＝0.49m，l2＝l/2，l3＝l/4，不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率及阻尼。

图2-9
｛2.26｝ 图T 2-26所示的系统中，m = 1 kg，k = 144 N / m，c = 48 N•s / ml1 = l = 0.49 m，l2 = 0.5 l， l3 = 0.25 l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率及阻尼。
l1
m
k
c
l2
l3
m
O

图 T 2-26 答案图 T 2-25
解：
受力如答案图T 2-26。对O点取力矩平衡，有：

第三章 单自由度系统的强迫振动
3-1 如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力。试求质量块的振幅。

图3-1
解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，
（A）
由图（1）和图（2）的受力分析，得到
（B）
（C）
联立解得，

所以，n = 0，得，

mg

q

B

P0sinwt

A

XA

YA

FC

FK

图3-2
3-2 图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值：（1）系统发生共振；（2）等于固有频率的一半。
解：图（1为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图（2）

又 I＝ml2

则

1）系统共振，即

2）

3-3 建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率，阻尼比以及稳态响应振幅。

图3-3
解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理

即
令，，，，，得到

3-4 一机器质量为450kg，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm，机器有一偏心重，产生偏心激振力，其中是激振频率，g是重力加速度。试求：
（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。
解：设系统在平衡位置有位移，
则
即
又有 则（1）
所以机器的振幅为（2）且，（3）
又有（4）
将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅=0.584 mm
则传入地基的力为
2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B =5 cm ，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。

3-5 证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为

证明

3-6 单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，已知。试求系统的响应。

图3-6
解：由图得激振力方程为

当 0 < t < t1时，，则有

由于，所以有

当t1 < t < t2时，，则有

当 t < t2时，，则有
+ 0

图3-7
3-7 试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。
解：由图得激振力方程为

当 0 < t < t1时，，则有

当t < t1时，，则有

3-8 图3-8为一车辆的力学模型，已知车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度k以及车辆的水
平行驶速度v。道路前方有一隆起的曲形地面：

（1）试求车辆通过曲形地面时的振动
（2）试求车辆通过曲形地面以后的振动。

图3-8
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，
由曲形地面∶，得到
得到系统的激振力为，。

（1）车通过曲形地面时的振动为

（2）车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后以初位移和初速度作自由振动，即
，
由公式，得到车通过曲形地面后的振动响应为

其中，，。
或积分为

3-9 图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。

3-10 图3-10所示的箱子从高h处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量m运动，并且箱体质量远大于m。若箱子触地后不再跳起，试求：（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。

图3-9 图3-10
第四章 多单自由度系统的振动
4-1 图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设，
。试求系统的固有频率及振型矩阵
图4-1
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为

，
由频率方程，得

解出频率为
，，
由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

将代入得系统的第一阶主振型为

满足如下关系：
，
展开以上二式得，。取，，可得到。即有

满足如下关系：
，
展开以上二式得，，，联立得。取，，可得到。即得

主振型矩阵为

图4-2
4-2 试计算图4-2所示系统对初始条件和的响应。
解：在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
主质量振型为

正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为

正则坐标初始条件为

= 0，=
正则坐标的响应为，，，其中频率为。
最终得到响应,由，展开得到

解：从6—6中可得主频率和主振型矩阵为

,
由质量矩阵，可求出主质量矩阵

则正则振刑矩阵为

于是

于是得

所以响应为
，
即， 其中，.

4-3 试确定题4-2的系统对作用于质量m1和质量m4上的阶跃力的响应。
4-4 如图4-4所示，已知机器质量为，吸振器质量为，若机器上有一偏心质量，偏心距e=1cm，机器转速n=1800r/m。试问：
（1）吸振器的弹簧刚度k2多大，才能使机器振幅为零？
（2）此时吸振器的振幅B2为多大？
（3）若使吸振器的振幅B2不超过2mm，应如何改变吸振器的参数？

图4-4

第六章 弹性体系统的振动
6.1 一等直杆沿纵向以速度v向右运动，求下列情况中杆的自由振动：
（1）杆的左端突然固定；
（2）杆的右端突然固定；
（3）杆的中点突然固定。

图6-1
解；(1)杆的左端突然固定；
杆的初始条件为：
有题可知
得
，

所以有：进而有：
%全部改成：

图6-2
6-2 图6-2所示一端固定一端自由的等直杆，（1）若受到均匀分布力的作用，
试求分布力突然移去时杆的自由振动响应；（2）若杆上作用的轴向均匀分布干扰
力为，试求杆的稳态强迫振动。
解：t-=0时的应变为
杆的初始条件为

一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为

将主振型代入上式归一化为

以正则坐标表示初始条件为

以正则坐标表示对初始条件的响应为

于是杆的自由振动为

杆左端固定端，右端为自由端

边界条件

得固有频率，主振型
i=1,2,……

杆在x处的应变

初始条件

由得

再利用三角函数正交性

得

(2) 解：
因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为

将主振型代入归一化条件，得

得到正则振型

又第i个正则方程为

所以可得正则坐标的稳态响应为

杆的稳态响应振动为

其中。

6-3试写出图6-3所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。

解：边界条件为：

由得，

由条件（2）得
所以
这就是我们所要求的频率方程
所以主振型关于质量的正交性
主振型关于刚度的正交性为
解：⑴ 该题中杆的振动方程为：
<1>
其中
由于边界条件中U（0）=0
代入U（x）中得C=0
再将U（x）代入<1>中 ，由<1>知：
=

再由边界知：
EA
得：
即：
⑵ 已知方程

由乘并对杆积分得
所以
由
得：
所以，其解为正交。