静电场7-电势梯度-习题 (1).pdf

1 复习上节复习上节课的课的内容内容 电势零点aal dEU 电势定义：电势定义：电势叠加原理：电势叠加原理：UUii UdUQ 求电势的方法求电势的方法 cPPldEU 均匀均匀带电球面的电势带电球面的电势 R4QURr0r4QURr0 dUUP定义定义 电势叠加电势叠加 一、等势面一、等势面 电势分布的直观图示电势分布的直观图示 由电势相等的点组成的面叫等势面由电势相等的点组成的面叫等势面 满足方程满足方程 1U2312UU nnEU CzyxU,当常量当常量C取等间隔数值时取等间隔数值时,可以得到一系列的等势面：可以得到一系列的等势面：2U3U等势面的疏密反映了场的强弱等势面的疏密反映了场的强弱 若若 U0，则，则 4.4 4.4 等势面等势面 二、等势面的性质二、等势面的性质:1)电荷沿等势面移动时电荷沿等势面移动时,电场力作功为零电场力作功为零 电荷电荷q 沿等势面由沿等势面由 A B A B baABl dEqA证明：证明：2)电力线与等势面正交电力线与等势面正交 0abA证明证明:又因为又因为 l dEqAabcosdlqE所以所以:0cosdlE E0)(baUUq+4)规定规定:画等势面时画等势面时,相邻等势相邻等势 面电势差相等面电势差相等 5)推论推论:等势面密度大的地方场强大等势面密度大的地方场强大 等势面密度小的地方场强小等势面密度小的地方场强小 E3)电力线总是指向电势降落的方向电力线总是指向电势降落的方向 如图如图,U1 U2 U3 证明：设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差证明：设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例以点电荷为例，其电势为，其电势为 rqrU041)(+U1 U2 U4 U3 342312UUUrqrU041)(drrqrdU2041)(微分微分因为相邻等势面电势差为一定值因为相邻等势面电势差为一定值，则有则有 UdUrdr,Urqr204定值定值 21rE 而而越大越大越密，越密，等势面间距越小等势面间距越小越小，越小，越小越小E E ，2rr204rrUq越小越小越稀，越稀，等势面间距越大等势面间距越大越大，越大，越大越大E E ，2rr点电荷势场 电偶极势场 电容器势场 电导块势场 综合势场图 梯度：最大的方向微商梯度：最大的方向微商 如如 速度梯度速度梯度 温度梯度等温度梯度等 沿沿 l 的方向微商可以表示为的方向微商可以表示为 lUlUollim若取垂直方向若取垂直方向,即场强方向即场强方向 n,则沿该方向的方向微商为则沿该方向的方向微商为 显然显然nUnUonlimcoslncos或,cos1nUlUlUnU有有nUlU4.5 4.5 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度 场有分布场有分布,沿各方向存在不同的方向微商沿各方向存在不同的方向微商 l Q Q P E U+U U n 结论：两等势面间结论：两等势面间U沿沿 n 方向的变化率比沿其他方向的变化率比沿其他 任何方向的变化率都大任何方向的变化率都大 结论：结论：两等势面间两等势面间U沿沿 n 方向的变化率比沿其他方向的变化率比沿其他 任何方向的变化率都大任何方向的变化率都大 电势梯度电势梯度 方向：沿电势变化最快的方向方向：沿电势变化最快的方向 大小：大小：nU在三维空间在三维空间 nU电势梯度与场强的关系电势梯度与场强的关系 nEldEUQPnUnUEn0limn很小很小,场强场强E变化不大变化不大 l Q Q P E U+U U n UE矢量微分算符矢量微分算符 考虑方向，则有：考虑方向，则有：U 或或 grad U kEjEiEEZYx kzjyix在直角坐标系中：在直角坐标系中：kzUjyUixUUndndUUExUExyyUEzUEz电场中任意一点的电场强度等于该点电势梯度的负值。电场中任意一点的电场强度等于该点电势梯度的负值。电场中某点的场强只与该点电势梯度有关电场中某点的场强只与该点电势梯度有关,只有在只有在电势处处不变的空间各点电势处处不变的空间各点,场强才等于零。电势值为零场强才等于零。电势值为零的地方的地方,场强不一定为零；反之场强不一定为零；反之,场强为零的地方场强为零的地方,电电势也不一定为零。势也不一定为零。（自己举例说明）（自己举例说明）由电势求场强的一般步骤：由电势求场强的一般步骤：a a.先求出空间的先求出空间的电势分布电势分布 b b.再利用再利用场强和电势的关系场强和电势的关系求场强求场强 “-”的意义的意义:场强的方向与电势梯度的方向相反场强的方向与电势梯度的方向相反 垂直于等势面垂直于等势面,沿着沿着电势降低最快电势降低最快的方向的方向 电势梯度的单位电势梯度的单位:CNmV场强的单位场强的单位 UEkzUjyUixU 利用电势求场强利用电势求场强 15 例例1.已知一点电荷的电势为：已知一点电荷的电势为：rqU04 求：任一点的场强求：任一点的场强 解：解：球坐标系中球坐标系中 erererrsin11 )(rUU UE rdrdU rrq)4(20 rrq420 例例2 已知已知:电势分布电势分布=4x+6xy2-10y2,求求 x=2,y=3 处处,?E解解:利用利用 jyxyiy)2012()64(25812Eij 中的“中的“-”号号 注意注意:将将x=2,y=3 代入代入,得：得：)(jyUixUE)(kzUjyUixUEUE17 例例3.应用电势梯度的概念，求应用电势梯度的概念，求半径为半径为R、电荷面密度、电荷面密度 为为 的均匀带电圆盘轴线上一点的均匀带电圆盘轴线上一点P的场强的场强 解：取半径为解：取半径为r，宽度为，宽度为 dr的圆环，圆环上电量为的圆环，圆环上电量为 dq=2 rdr,它在它在P点的电势为点的电势为:2204xrdqdU 整个圆盘在整个圆盘在P点的电势：点的电势：dUU Rxrrdr02202 )(2220 xxR Rxrdq02204x R x P dr r 18 E 整个圆盘在整个圆盘在P点的电势：点的电势：220()2URxx dxdUEx 220()2dRxxdx )1(2220 xRx 即为即为P点的场强点的场强 x R x P dr r 19 真空中静电场小结真空中静电场小结 EU 两个基本方程两个基本方程 两个物理量两个物理量 0iisqsdE0Ll dE例例1、三个点电荷三个点电荷q1、q2q3沿一条直线分布，沿一条直线分布，已知已知 其中任一点电荷所受合力均为零，且其中任一点电荷所受合力均为零，且 q1=q3=Q 求在固定求在固定q1、q3的情况下，的情况下，将将q2 2从从oo,外力需作功外力需作功A=？解：解：由已知由已知q1所受静电力所受静电力 1 32 1220004(2)4q qq qfaa4412Qqq eAA外20oq2024Qqa aQ028静电场习题课静电场习题课1 1 eWa a q1 q2 q3 x o=Q=Q L L a 解：任意一根棒上一解：任意一根棒上一段电荷元在其延长线段电荷元在其延长线上一点产生场强上一点产生场强 dE:xlxdlEd)(420LlxdlE020)(4Llx00)(4例例2、长为、长为L,线电荷密度线电荷密度 的两根均匀带电细棒，沿同的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距一直线放置，两棒近端相距 a，求两棒间的静电力。，求两棒间的静电力。xLx1140dl dE L x o l此棒在其延长线上该点产生的总场强此棒在其延长线上该点产生的总场强E:各电荷元受力方向一致各电荷元受力方向一致,则右棒受左棒的静电力则右棒受左棒的静电力f:右棒上一段电荷元右棒上一段电荷元(x x+x)受左棒的静电力受左棒的静电力df:EdqdfdxxLxfaLaL114202dxxLx1140)2()(ln4202aLaaLxLxE1140L L a E(x)x x+x o x 例例3、一半径为、一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为的无限长带电圆柱，其体电荷密度为 =0r(r R),0为常数。求场强分布。为常数。求场强分布。解：由于电荷是轴对称分布的故电场解：由于电荷是轴对称分布的故电场轴对称分布，且场强沿径向。作闭合轴对称分布，且场强沿径向。作闭合同轴柱面为高斯面，如图示：同轴柱面为高斯面，如图示：Rr 0底底侧侧SdESdESdES侧侧侧侧SEEdS0rhE2R h r iidVqhr3032由高斯定理：由高斯定理：rhE203032hrdrrhrr200h R r 20031rE内内rRdVqiirhdrrR200hR3032rRE0303外外Rr 0rhE203032hrrhE2hR3032R 例例4、上题中求电势分布（取柱面为零势面）、上题中求电势分布（取柱面为零势面）解：解：E0203rRr 0rR0303l dEU rdEdrrRr0203rRl dEUdrrRrR0303RrEdr33009rR rdErRRln3030 dr dl dr dl Rr 0rR例例5、点电荷、点电荷-q 位于圆心处，位于圆心处，A、B、C、D位于同位于同一圆周上的四点如图示。将一圆周上的四点如图示。将 q 0 从从A移至移至B、C、D点，点，电场力的功。电场力的功。-q A B C D A=0 例例6、已知无限长均匀带电平已知无限长均匀带电平板板,宽度为宽度为 b,面电荷密度面电荷密度,p 点与带电平板共面点与带电平板共面,且到平板且到平板右边线距离为右边线距离为 a，求求:p点的场强点的场强?E思路思路:用迭加原理用迭加原理 x b a P 解：将带电平面分解成无数个宽解：将带电平面分解成无数个宽 dx的平行细条，每个细条可的平行细条，每个细条可 视为无限长带电直棒视为无限长带电直棒 o b a+b x Edr 1)在坐标在坐标 x 处任取宽为处任取宽为dx的无限长带电棒的无限长带电棒 rdE02 此无限长带电棒在此无限长带电棒在P点处产生的场强为：点处产生的场强为：x b a P o b a+b x Edr rdE02其中：其中：xbardx1dx方向如图方向如图 PE)ln(20abaEPdEdxxbab00)(2作作 业业 11.24.27.32 教科书教科书 P67 习题习题 30 oxycosA04EAiR 1.半径为半径为R的细圆环，圆心在的细圆环，圆心在 坐标系的原坐标系的原点上。圆环所带电荷的线密度点上。圆环所带电荷的线密度 ，其中，其中A 为常量，如图所示。则圆心处的电场强度为为常量，如图所示。则圆心处的电场强度为 。O x y R 求解电场求解电场 2002cos4xxRdEdER31 2.两块无限大的均匀带电平面相互垂直放置，其两块无限大的均匀带电平面相互垂直放置，其电荷密度分别为电荷密度分别为 和和 ，P 点到两个平面的距离点到两个平面的距离分别为分别为 a 和和 2a，如图所示。则如图所示。则 P 点的电场强度大小点的电场强度大小为为 。02232 2Ar dR 3015rdEAe dR 50225rARedE 3.一半径为一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度为的带电球体，其电荷体密度为 ，A 为正的常数，为正的常数，r 为球心到球内一点的距离。为球心到球内一点的距离。则带电球体内则带电球体内 处的电场强度处的电场强度 ；带；带电球体外电球体外 处的电场强度处的电场强度 。设无。设无穷远处为电势零点。穷远处为电势零点。1E 2E 33 RDEABo 5.真空中一均匀带电线如图所示，其中真空中一均匀带电线如图所示，其中 线电荷密度为线电荷密度为 ，则圆心，则圆心O点的电势点的电势 02ln24 o A B D E y x 求解电势求解电势 34 6 6、三根等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均、三根等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中匀分布等量同号电荷，测得图中P、Q两点（均为相两点（均为相应正三角形的重心）的电势分别为应正三角形的重心）的电势分别为 P和和 Q，若撤去若撤去BC棒，则棒，则P、Q两点的电势为两点的电势为 P=；Q=。A B C P Q 求解电势求解电势 辅导辅导P144:填空填空6 35 A B C P Q 设设AB、BC、CA三棒对三棒对P点的电势点的电势贡献及贡献及AC对对Q点的电势贡献皆为点的电势贡献皆为U1；AB、BC棒对棒对Q点的电势贡献皆为点的电势贡献皆为U2。则：。则：1123;2pQUUUUU撤去撤去BC棒后，应有：棒后，应有：1122;pQUUUUU12111;326pQpUUUUU211;326ppQQPUUUUU36 7.如图所示试验电荷如图所示试验电荷q，在点电荷在点电荷+Q 产生的电场中，产生的电场中，沿半径为沿半径为R的整个圆弧的的整个圆弧的3/4圆弧轨道由圆弧轨道由a点移动到点移动到d点的过程点的过程中电场力作功为中电场力作功为 ；从；从d点移到无穷远处的过程中，电场点移到无穷远处的过程中，电场力作功为力作功为 。04qQR0+Q R q a d 电场力做功电场力做功电势能电势能 37 0 8.如图所示，在边长为如图所示，在边长为 a 的正方形的四个顶点各有一个固的正方形的四个顶点各有一个固定的点电荷，其电量分别为定的点电荷，其电量分别为Q、-Q、Q 和和 -Q。现将电荷量。现将电荷量为为 q 的点电荷从正方形中心的点电荷从正方形中心O点移动到右边的中点点移动到右边的中点 P，则在此，则在此过程中电场力对电荷过程中电场力对电荷q所做的功为所做的功为 。38 9、面电荷密度为、面电荷密度为 的两个无限大带电平板平的两个无限大带电平板平行放置。则每个板上单位面积受到的静电力大小行放置。则每个板上单位面积受到的静电力大小为为 .0?Ei-x 202F39 10、两个固定的均匀带电球面、两个固定的均匀带电球面A、B的球心间距的球心间距d远大于远大于A、B的半径，的半径，A的带电量为的带电量为4Q（Q0），），B的带电量为的带电量为Q。由两球。由两球心确定的直线记为心确定的直线记为MN，在，在MN与球面相交处均开出一个足够小与球面相交处均开出一个足够小的孔，随小孔挖去的电荷量可忽略不计。如图所示，将一带负的孔，随小孔挖去的电荷量可忽略不计。如图所示，将一带负电电q（q0）的质点）的质点P静止地放在静止地放在A球面的左侧某处，假设球面的左侧某处，假设P被释被释放后恰能穿经三个小孔而越过放后恰能穿经三个小孔而越过B球面的球心，试确定开始时球面的球心，试确定开始时P与与A球面球心的距离球面球心的距离x。M N 4 Q Q P x A B d S r1 r2 40 M N 4 Q Q P x A B d S r1 r2 S 处：处：12220 10 24,44QQrrdrr12323rdrd 设质点到达设质点到达S时刚好静止，则：时刚好静止，则：000 10 2444444QQQQxxdrr 21019xd