第2章 动力学基本定律补充习题.pdf

1第 2 章 动力学基本定律补充题1.一质量为m的质点以不变速率v沿 T2-2-10 图中正三角形ABC的水平光滑轨道运动质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小为vm32.一质点受力ixF23=(SI)作用,沿x轴正方向运动.在从x=0到x=2m 的过程中,力F作功为8 J3.一个质点在几个力同时作用下的位移为:kjir654+=(SI),其中一个恒力为:kjiF953+=(SI)这个力在该位移过程中所作的功为67 J4.一 质 点 在 如 图 所 示 的 坐 标 平 面 内 作 圆 周 运 动，有 一 力)(0jyixFF+=作用在质点上在该质点从坐标原点运动到)2,0(R位置过程中，力F对它所作的功为=202RF5.质量为m=0.5kg 的质点在xOy平面内运动,其运动方程为x=5t,y=0.5t2(SI),从t=2s到t=4s 这段时间内,外力对质点作的功为3J6.一长为l，质量为m的匀质链条，放在光滑的桌面上，若其长度的 1/5 悬挂于桌边下，将其慢慢拉回桌面，需做功mgl5017 一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力2/rkF=的作用下，作半径为r的圆周运动，此质点的速度=vmrk若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机械能=Erk2T2-2-10 图ABCXYROT2-2-14 图28.两小球的质量均为m，小球 1 从离地面高为h处由静止下落，小球 2 在小球 1 的正下方地面上以初速0v同时竖直上抛设空气阻力与小球的速率成正比，比例系数为k(常量)试求两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度解：两小球均受重力和阻力的作用小球 1 向下运动，速度为负，阻力-kv沿+y向，所受合力为-kv-mg.小球 2 向上运动，速度为正，阻力、重力均沿-y向，合力亦为-kvmg，故两小球的动力学方程具有如下相同的形式mgktym=v22dd(1)由动力学方程(1)有gmkt=vvdd分离变量tgmkdd=vv(2)对小球 1，其初始条件为t=0 时，v10=0，y10=h积分(2)式=ttgmk00dd1vvv得)e1(-1tmkkmg=v(3)对小球 2，其初始条件为t=0 时，v20=v0，y20=0积分(2)式=ttgmk0dd20vvvv得kmgkmgtmk+=-02e)(vv(4)对小球 1，由(3)式有)e1(dd-1tmkkmgty，利用初始条件积分得tkmgkgmhytmk+=)e1(-221(5)对小球 2，由(4)式利用初始条件积分得tkmgkmgkmytmk+=)e1)(-02v(6)(1)两小球相遇时，y1=y2，由(5)、(6)式可得相遇时间T2-3-2 图10vyh2OA2-3-2 图10vyh2O3)1ln(0vmkhkmt=(7)(2)将(7)代入(5)或(6)式得相遇地点为)1ln()1(0220vvmkhkgmhkmgy+=(8)(3)将(7)式分别代入(3)和(4)中可得相遇速度：001)1(1 vvvghmkhkmg=(9)mkhghkmgmkhkmg=+=)()1)(00002vvvvv(10)9.已知一水桶以匀角速度绕自身轴z转动，水相对圆筒静止，求水面的形状(z-r关系)解：以水表面任一小体积隔离体m作为研究对象，m受力为重力mg及水对水面m的作用力N(水面)，稳定时无切向力(见 A2-3-6 图)m作匀速圆周运动ra2=Z方向0cos=mgN(1)-r方向rmN2sin=(2)由(1)、(2)式有rzgrddtan2=积分有rrgzzzrd)(d002=得022)2(zrgz+=水面是旋转抛物面10.如 T2-3-9 图所示，砂子从h0.8m 高处下落到以 3 ms-1的速率水平向右运动的传送带上取重力加速度g10 ms-2，求传送带给予沙子的作用力T2-3-7 图hT2-3-9 图水rOmmgN0zzrz面A2-3-7 图4解：设单位时间内落到传送带上砂子的质量为p以tttd+时间内落下的砂子 dm为研究对象，视为质点tpmdd=根据质点的动量定理，在 dm落到传送带上到与传送带一起运动的过程中0ddddvv=mmtFI式中()101sm48.01022,sm3=ghvv()0vv=pF由 A2-3-9 矢量图可见，F与水平方向夹角为5334tgtg01=vv11.矿砂从传送带A落到另一传送带B(如 T2-3-10 图)，其速度的大小11sm4=v，速度方向与竖直方向成 30角；而传送带B与水平线成 15角，其速度的大小12sm2=v如果传送带的运送量恒定，设为1hkg2000=mq，求矿砂作用在传送带B上的力的大小和方向解：设在极短时间t内落在传送带B上矿砂的质量为m，即tqmm=，如 A2-3-10 矢量图所示，矿砂动量的增量()12vvvmmm=设传送带对矿砂平均作用力为F，由动量定理,=tF()12vvvmmm=()75cos221222112vvvvvv+=mqtmF()N21.275cos242243600200022=+=方向由正弦定理确定:()sin75sin2vvmm=29=由牛顿第三定律，矿砂作用在传送带B上作用力与F大小相等，方向相反，即大小为2.21N，方向偏离竖直方向 1，指向前下方A2-3-9 图0dvmhmdvmdtFIdd=A2-3-10 图2vm1vm()vm1530T2-3-10 图301v2v15BA512.高为h的光滑桌面上，放一质量为M的木块质量为m的子弹以速率v0沿图示方向(图中角已知)射入木块并与木块一起运动求：(1)木块落地时的速率；(2)木块给子弹的冲量的大小解：(1)m和M完全非弹性碰撞,水平方向无外力，系统水平动量守恒vv)(cos0Mmm+=1m和M一起由桌边滑下至落地，无外力，只受重力(保守内力)作用系统机械能守恒以地面为重力势能零点，22)(21)()(21VMmghMmMm+=+v2由1、2式得m和M落地的速率ghMmmghV2)cos(2202+=+=vv(2)对m用质点的动量定理，M对m的冲量的两个分量为MmmMmmIx+=coscos00vvvsin)sin(000vvmmIy=M对m的冲量的大小为202022)sin()cos(vvmMmMIIIyx+=+=13 一人从 10m 深的井中提水，起始时桶中装有 10kg 的水，桶的质量为 1kg，由于水桶漏水，每升高 1m 要漏去 0.2kg 的水求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功解：如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为y正方向因为匀速提水，所以人的拉力大小等于水桶和水的重量，它随升高的位置面变化而变化，在高为y处，拉力为kgymgF=式中,kg11)110(=+=m1mkg2.0=k人作功为T2-3-14 图m0vhMA2-3-14 图Omyxvm0vmIOhyA2-3-15 图6(J)980d)8.92.08.911(d)(d1000=yyykgymgyFAh14 有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一垂直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v水平地运动 忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：(1)若每秒有质量为tMMdd=的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v运动，需要多大的功率?(2)若11sm5.1,skg20=vM,水平牵引力多大?所需功率多大?解：(1)设t时刻落到皮带上的砂子质量为M，速率为v；tdt时刻，皮带上砂子的质量为MMd+，速率也是v根据动量定理，砂子在 dt时间受到的冲量()()vvv=+=MMMMMtFd0ddd所以得MtMF=vvdd由牛顿第三定律，砂子对皮带的作用力大小也是F为维持皮带作匀速运动，动力源对皮带的牵引力大小也等于F，且与F同向，因而，动力源提供的功率为tMMFpdd22vvv=(2)将题中数据代入(1)中结果得水平牵引力大小为()N30205.1dd=tMMFvv所需功率()W45205.122=MPv15.两物块分别固结在一轻质弹簧两端,放置在光滑水平面上先将两物块水平拉开，使弹簧伸长l，然后无初速释放已知：两物块质量分别为m1，m2和弹簧的的劲度系数为k，求释放后两物块的最大相对速度解：选地面参考系，考查（m1-m2-弹簧）系统无水平外力，系统动量守恒设两物块相对速度最大时，两物块的速度分别为v1、v2，则在x向有02211=+vvmm1无非保守内力，系统机械能守恒，最大相对速度对应其初势能全部转化为动能，有T2-3-20 图1m2mxlk72222112212121vvmmkl+=2联立1、2式可得)(211221mmmklm+=v，212212()m klm mm=+v两物块的最大相对速度的大小为21221122121)(mmklmmmmm+=+=vvv16.水平面上有一质量为M、倾角为的楔块；一质量为m的小滑块从高为h处由静止下滑求m滑到底面的过程中，m对M作的功W及M后退的距离S（忽略所有摩擦）解：如 A2-3-21(a)图所示，设m相对于M的速度为v，m相对于地的速度为v对mM作的功为221MVW=(1)在m下滑、同时M后退的过程中，以(m+M)为系统，系统在x向不受外力，动量守恒0=+xmMVv(2)对(m+M+地球)系统，m与M之间的一对正压力作功之和为零，只有保守力作功，系统机械能守恒mghMVmyx=+22221)(21vv(3)由相对运动关系V+=vv得tan)(=+xyVvv(4)联立(1)-(4)式解得)sin)(1(cos22+=mMmMMghW设下滑时间为T，由(2)式，=+TTxtmtVM000ddvA2-3-21(a)图xVhmMyVxvyvvvxVShmMT2-3-21 图80=mmSMS(5)位移关系：tan=+mSSh(6)由(5)、(6)式解得tan)1(mMhS+=17.地球可看作半径R=6400km 的球体，一颗人造地球卫星在地面上空h=800 km 的圆形轨道上以v1=7.5 kms-1的速度绕地球运行今在卫星外侧点燃一个小火箭，给卫星附加一个指向地心的分速度v2=0.2 kms-1 问此后卫星的椭圆轨道的近地点和远地点离地面各多少公里?解：火箭点燃处即为卫星由圆轨道转为椭圆轨道的转轨点 设此处卫星对地心的位矢为r，卫星的速度应为21vvv+=对卫星，在转轨点所受的力（反冲力和地球引力）和在其他位置所受的力（地球引力）均指向地心，对地心外力矩为零，所以卫星在运动过程中角动量守恒对卫星和地球系统，只有万有引力作功，满足机械能守恒设卫星在近(远)地点时，位矢为r，速度为v，对卫星，由角动量守恒得vv=mrrm1(1)对(卫星+地球)系统，由机械能守恒定律，有+=+rGMmmrGMmm2222121)(21vvv(2)卫星作圆周运动时的动力学关系为21212 vvrGMrmrMmG=(3)联立式(1)、(2)、(3)得r有两个解，分别对应近地点和远地点：km 70132.05.7)8006400(5.72111=+=+=vvv rrkm 73972.05.7)8006400(5.72112=+=vvv rr近地点高度km 6136400701311=Rrh远地点高度km 9976400739722=RrhT2-3-22 图1vRO2vA2-3-21(b)图xVShmMvmS