课时跟踪检测(四十二) 平行关系.doc

课时跟踪检测(四十二)　平行关系

第Ⅰ组：全员必做题
1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
2．(2014·石家庄模拟)已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是(　　)
A．①③　　　　　　　　　 B．②④
C．①④ D．②③
3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，不一定在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
5.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是(　　)
A．MC⊥AN
B．GB∥平面AMN
C．平面CMN⊥平面AMN
D．平面DCM∥平面ABN
6．(2013·惠州调研)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________．
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.
7．在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
8．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________．
9．(2014·保定调研)已知直三棱柱ABC ­A′B′C′满足∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA′＝2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
(1)求证：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥C ­MNB的体积．

10．(2013·江苏高考)如图，在三棱锥S ­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.

第Ⅱ组：重点选做题
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
A．平行 B．平行和异面
C．平行和相交 D．异面和相交
2．(2014·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．
①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；
②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；
③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β；
④若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行．

答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选A　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
2．选C　对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.
3．选B　由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选B.
4．选C　由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD没有论证来源．
5．选C　显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊄平面AMN，MH⊂平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．
6．解析：若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．
答案：④
7．解析：假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
8．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
答案：①或③
9．解：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，
∵四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，
∴AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点，
∴MN∥AC′，
又MN⊄平面A′ACC′，且AC′⊂平面A′ACC′，
∴MN∥平面A′ACC′.
(2)由图可知VC ­MNB＝VM ­BCN，
∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝2，
又三棱柱ABC ­A′B′C′为直三棱柱，且AA′＝4，∴S△BCN＝×2×4＝4.
∵A′B′＝A′C′＝2，∠B′A′C′＝90°，点N为B′C′的中点，∴A′N⊥B′C′，A′N＝.
又BB′⊥平面A′B′C′，
∴A′N⊥BB′，∴A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点，
∴M到平面BCN的距离为，
∴VC ­MNB＝VM ­BCN＝×4×＝.
10．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
第Ⅱ组：重点选做题
1．选B　因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊂平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．
2．解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m，n也可能异面，故为假命题．
答案：②