借助直观理解算理构建算法.pptx

借助直观 理解算理 构建算法,以竖式教学为例谈计算教学的一般过程,熊口小学 何雄燕,关于竖式,1,2,关于算法多样化,3,关于竖式教学,竖式是什么？,1,、,一年级下册两位数加两位第一次出现加法竖式，教师用书中指出：竖式是把计算过程按一定程序记录下来的，用竖式计算，减少了记忆的过程，具有普适性。多位数的四则运算经常用这种计算形式。,2,、,如何培养学生数感,一书中指出：,在学习更为复杂的计算情况下，首先会用到笔和纸,并且要形成某种书面的记录形式来支持心算：,正式地解释和讨论自己和其他孩子的计算方法，将获得大量的心算策略，在这一阶段，对孩子而言，在头脑中记住所有中间步骤是很困难的。所以，对解决问题过程中的非正规的记录，就变成了心算的一部分。,学校传统的算术教学方法（为笔算设定的程序）可能给孩子提供了最简洁的书面记录，但是这些算法的缩略形式本身超出了许多学生的理解能力。,关于竖式,从以上可以看出：竖式是心算的一种最简洁的书面记录形式，,它是在心算的基础上，优化得来的，具有抽象性。,竖式是什么？,3,、,三年级乘法竖式的学习中，教师用书指出：利用点子图等直观模型圈一圈、算一算是一种直观运算，进行直观运算，进而把直观运算的过程和结果记录成书面形式，就是笔算的由来。当学生理解了算理，就能逐渐摆脱对直观的依赖，在掌握了一定的口算技巧之后，就可以进入算法运算阶段。直观运算是算法运算的基础，算法运算是直观运算的抽象与提升。在掌握口算的基础上，学习笔算（包括横式和竖式）才有意义。,4,、,如何培养学生数感一书中指出：书面记录是从图像开始进行的，这种图像呈现和实际物体的图像是紧密联系的，而且，这些实际物体的图像也会逐渐被相应的数学符号所取代。,目前普遍认为：口算和心算能力是在学习笔算之前形成的，但这并不指孩子们不需要书面记录数字和符号，而是指他们要学习用形式化的方式记录思维过程，而且他们首先要学习用数字记录能口头说出的结果。,关于竖式,从以上可以看出：竖式具有过程性。它要经历从直观运算到算法运算的过程。直观运算,依赖于对现实问题的数学抽象，不同的算法体现了对问题不同角度的理解。,竖式是什么？,5,、,在学生学习心算之前就开始介绍这种书面的记录方法，会阻碍他们心算策略的发展，并容易让他们产生误解和错误。,6,、,在计算中引入书面记录有许多方法，这些方法都遵循着某一个发展过程，即从心算发展到部分笔算，在发展到可以提高计算效率的更正规的有组织的笔算。在笔算的早期阶段，不介绍竖式运算是很重要的，因为孩子们还没有机会自己建构不同的笔算方法。尽管孩子们喜欢在算法中体验到某种成就感，但是这些算法的简化性质使得他们在计算过程中，只是纯粹地利用数字而不是利用数字的准确数值里进行计算，在对这些算法不理解的情况下，他们可能会利用更机械的计算方法。,7,、,在早期阶段，他们的方法可能是杂论无章、毫无效率的，但教师应该帮助每个学生把书面记录条理化并提高计算效率。通过公开讨论交流记录问题的最佳方法，孩子们会获得口头的以及用传统数学符号交流的经验。,关于竖式,从以上可以看出：竖式具有优化的特点。它的优化包括两个方面：一是对不同记录方式,的讨论，哪种方式更具有一般性，形成早期的竖式。二是对竖式内部的优化，哪些步骤,还可以进一步优化简略。因此，竖式教学中引导学生讨论、指导其有条理记录很重要。,为什么会出现算法多样化？,直观运算体现了对现实情境的理解，不同的人因为所处的环境不同，所具有的数学活动经验和对数学的理解程度也不一样，所以出现了算法多样化。,虽然算法多样，但解决的是同一问题，其落脚点是一致的，因此，多样化的算法，无论优劣，必然有其共通点，这一共同点就是计算的算理。,在对多样化算法的记录方式的讨论中，优化出最为简洁的记录方式，就是竖式。,关于竖式,关于竖式教学,竖式教学的呈现形式：,理解题意，提出问题,通过对应，利用直观模型将萝卜问题抽象数学问题，通过操作，理解不同算法的道理，在观察和对比中发现不同算法的共同点。为理解竖式算理打基础。,对应计数器，形成竖式算法，进一步认识相同数位才能直接相加的道理。,脱离模型，巩固算法，经历由直观算法到抽象运算的过程。,关于竖式教学,前三步同加法竖式,通过反思自己的错误，进一步巩固算法，内化成程序性知识。,竖式教学的呈现形式：,关于竖式教学,理解题意，提出问题,抽象成数学问题，借助模型，进行直观运算。,沟通不同算法之间的联系，理解算理；在交流中对比中，优化竖式第二层积的,0,，形成竖式算法。,对照横式笔算，写出竖式，巩固算法。,竖式教学的呈现形式：,关于竖式教学,理解题意，提出问题,抽象成数学问题，借助模型，进行直观运算。,通过交流，沟通直观运算与竖式的联系，理解除法竖式每一步的含义，理解算理。,脱离操作与模型，抽象地理解算法，进一步理解算理。,竖式教学的呈现形式：,关于竖式教学,理解题意，提出问题,抽象成数学问题，借助模型，进行直观运算。,通过交流，沟通直观运算与竖式的联系，理解除法竖式每一步的含义，理解算理。,脱离操作与模型，抽象地理解算法，进一步理解算理。,四则运算竖式教学的呈现形式：,竖式教学的共同点,数学问题,在理解的基础上将现实问题抽象成数学问题，建立模型。,直观运算,理解 算理,形成算法,借助直观模型，进行操作性的直观运算，体会蕴含的算理。,沟通算法间的联系，理解算理；观察、交流、对比优化算法。,抽象运算,脱离模型，进行抽象的算法运算，在交流中深化理解算理。,将现实问题抽象成数学问题。,怎样开展竖式教学？,在教学中，很多教师，特别是年轻教师根据情境提出问题，要求学生理出算式后，没有让学生说一说为什么这样列式，就开始让学生计算结果。这时，学生虽然列出了算式，但可能并没有真正理解运算的意义，也有可能有的学生心里明白，但无法用语言来描述，这是可以让学生根据自己的理解，用直观模型对应表示出题目的意思，这一步是对现实问题的刻画，把现实的问题转化成用数学模型表示的问题，这样，模型的图像与现实的图像紧密联系，前面提到过，这就是竖式（书面记录）的开始。因此，这一步是理解竖式非常关键的一步。,竖式,做好直观运算和竖式之间的双向沟通。,怎样开展竖式教学？,皮亚杰的心理认知理论认为，,711,岁的孩子处于认知水平处于“具体运算阶段”。学生的思维正处于由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维转变的过程。这时学生的认知水平具有可逆性，但是离不开具体事物的支持。这段话告诉我们，学生单纯地从具体到抽象，或者从抽象到具体学生可以知晓，但不代表学生真正理解。,以除法竖式 为例：我们教师很容易根据情境引出问题，然后根据问题列出算式，再口算，再到竖式的学习（如图所示）。这种学习，,只经历了由具体,到抽象的过程，却没有经历由抽象回到具体的,过程，因此，当学生遇到竖式不会书写,时，不能用具体的直观操作来支撑。这,种学习中，学生可能通过大量的练习会,巩固竖式计算，但学生对为什么会这样,算，心里不是很清楚。,竖式,做好直观运算和竖式之间的双向沟通。,怎样开展竖式教学？,教学中，应该沟通多样的直观算法与竖式算法之间的联系（如图所示）。让学生能够从,具体到抽象，又能从抽象,回到具体，学生头脑中的,竖式始终以想象中的操作,为依据，学生才理解竖式,每一步的含义。,（横框中表示的是除法意义的表象表征、动作表征、符号表征，是学生已有的知识；斜框中表示的是符号表征中三种不同的表现形式；竖框中则是本节课要建立的直观操作与另两种符号表征间的关系。）,注意思维层次的提升，发展运算能力,怎样开展竖式教学？,竖式教学都是以情境,+,问题串的形式呈现的：从情境,直观算法（操作）,半直观半抽象竖式,抽象的竖式。这是理解算理的过程，也是思维由形象思维向抽象思维跨越的一个过程。我们在教学中也应该遵循这一思维发展过程，促进学生思维层次的提升，以此发展运算的能力，不要把竖式学习的过程停留在某一个层面上，以免阻碍学生思维和运算能力的发展。,一点值得注意的地方,第四版教材，在竖式的教学前，一般都运用了大量的时间来积累口算和直观运算的经验，但是由于教材是一个静态的，竖式教学课时，呈现压缩后竖式和分正规的记录方式一同出现，比如：乘法第二层积个位的“,0,”。,教师们总是很快讲解并要求学生掌握这种简化的竖式，学生往往理解困难。特级教师徐斌建议：“形成初始竖式后，不必过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式在计算几道题”，在此过程中进一步理解算理，内化算法，再来简化竖式。,谢谢！,QQ:451109648,