NO.8 量子力学基础参考答案.pdf

物理系_2015_09 大学物理大学物理 AII作业作业 No.8 量子力学基础量子力学基础 班级班级 _ 学号学号 _ 姓名姓名 _ 成绩成绩 _ 一、判断题：（一、判断题：（用“T”表示正确和“F”表示错误）F F 1根据德布罗意假设，地球只有粒子性，没有波动性。解：解：教材188页表16.1.1，宏观物体也有波动性，不过是其物质波波长太小了，所以其波动性就难以显示出来，而微观粒子的物质波波长可以与这些例子本身的大小相比拟，因此在原子大小的范围内将突出表现其波动性。F F 2关于粒子的波动性，有人认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动式变化。解：例如电子也有衍射现象，这是微观粒子波动性的体现。与其轨迹、速度无关。解：例如电子也有衍射现象，这是微观粒子波动性的体现。与其轨迹、速度无关。T T 3波函数12c=(c为任意常数)，则1与2描述的粒子状态相同。解：教材 208.波函数必须满足归一化条件。F F 4只有当粒子总能量高于势垒高度才能贯穿势垒。解：教材222页，“隧道效应”:总能量低于势垒高度的粒子也能穿过势垒到达势垒另侧。解：教材222页，“隧道效应”:总能量低于势垒高度的粒子也能穿过势垒到达势垒另侧。T 5 T 5如果两种不同质量的低速微观粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的动量相同，动能不同。解：解：由hp=，二者相同，所以动量肯定相同；低速微观粒子，由经典关系，动能mpEK22=，所以动能会不同。二、选择题：二、选择题：1静止质量不为零的微观粒子作高速高速运动，这时粒子物质波的波长与速度 v 有如下关系：C (A)v (B)v1 (C)2211cv (D)22vc 解：解：由德布罗意公式和相对论质 速公式有 2201cvvmmvhp=得粒子物质波的波长22011cvmh=，即2211cv 故选 C 2不确定关系式hxpx表示在 x 方向上 D (A)粒子位置不能确定 (B)粒子动量不能确定(C)粒子位置和动量都不能确定 (D)粒子位置和动量不能同时确定 解：不确定关系式hxpx微观粒子的位置和动量不能同时准确确定。3 将波函数在空间各点的振幅同时变为原来的 1/M，则粒子在空间的分布概率将 D (A)增大2M倍 (B)增大 2M 倍(C)增大 1/M 倍 (D)不变 解：教材208.波函数必须满足归一化条件。4.已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：)(23cos1)(axaaxax=那么粒子在65ax=处出现的概率密度为 A a21(A)a1(B)a21(C)a1(D)解：解：概率密度)23(cos1)(22axax=将65ax=代入上式，得 aaaax21)6523(cos1)(22=5.波长 =5000 的光沿 x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量=103，则利用不确定关系hpxx可得光子的 x 坐标的不确定量至少为C (A)25cm （B）50cm (C)250cm (D)500cm 解：解：由公式p=h知,322105000=hhp 利用不确定关系hpxx，可得光子的 x 坐标满足 91025=xphx=250cm 三、填空题：三、填空题：1.低速运动的质子 P 和粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的 动量之比pp:p 1:1 ；动能之比EE:p 4:1 。解解：由hp=，二者相同，所以1:1:p=pp。由经典关系，动能mpE22=，所以1:4:pp=mmEE 2.若令cmhec=(称为电子的康普顿波长，其中 me为电子静止质量，c 为光速，h 为普朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是=31 c。解：解：由题意,202kcmmcE=所以220222cmcmmcEe=又hcmEEcpEcpEe=+=31,20220222Q 所以有cecmhph313=。3同时测量动能为 1keV 的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm()m10nm19=内，则动量的不确定值的百分比pp/至少为 。(电子质量kg1011.931=em，J1060.1eV119=，普朗克常量sJ1063.634=h)解解：电子的动能()J106.1keV116=kE，又ekmPE22=，得电子的动量大小()1231631smkg1071.1106.11011.922=keEmp 根据不确定关系hxpx，得动量不确定量()124934smkg1006.1101.014.321063.6=xph 所以有%2.6062.01071.11006.12324=pp 如果用如果用hpxx，得到动量不确定量为：，得到动量不确定量为：()124934smkg1063.6101.01063.6=xhp%3939.01071.11063.62324=pp 两个答案都正确两个答案都正确 4若一个电子处于原子某能态的时间st810=，这个原子能态的能量的最小不确定值=E 。解：解：根据不确定关系htE得到:JthE268341063.6101063.6=如果用不确定关系htE，那么JtE2683410055.11021063.6=h 批改时注意，两个答案都正确批改时注意，两个答案都正确 5 1）不确定关系式hpxx或者 hxpx，约束了微观粒子永远不可能静止。批改时注意答对其中一个就可以批改时注意答对其中一个就可以 2）不确定关系式htE或者 htE，可以解释为什么原子光谱存在自然宽度。批改时注意答对其中一个就可以批改时注意答对其中一个就可以四、计算题：四、计算题：1、在宽为a的一维无限深势阱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图(a)所示，对应的总能量为 4eV,若它处于另一个波函数如图(b)的态上，它的总能量是多少？粒子的零点能又是多少？解：解：一维无限深势阱的能级表达式为：12EnEn=由（a）图知：n=2，即 eV1eV44211122=EEEE 由（b）图知：n=3，即 eV9931123=EEE 2一粒子被限制在相距为 l 的两个不可穿透的壁之间，如图所示。描写粒子状态的波函数为)(2xlcx=，其中 c 为待定常量。求在l310区间发现该粒子的概率。解：解：由归一化条件1d|02=xl，即1d)(2402=xxlxcl，可以解出7105lc=，2472)(105|xlxl=l310区间发现粒子的概率为%53.424311d)(105243/07=xxlxlPl 3质量为 m 的粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，其定态波函数为：)0(3sin2)(axaxax=试求：1）粒子处于该定态时的能量表达式；2）粒子出现概率最大的各个位置；3）粒子出现在区间)26(axa的概率。解解：1）：对于一维无限深势阱而言，manE2222h=，由定态波函数ll31Ox)0(3sin2)(axaxax=，知3=n，所以有：maE2922h=2）粒子出现概率最大的各个位置，两种方法两种方法：a)较复杂的方法较复杂的方法 ()axax3sin2223=，要求求粒子出现概率最大的各个位置，就有：0dd,0dd22=xPxP，根据()0dddd,0dd23=xxxPxP，得到()取整数。nnaxaxaxaaxaaxaxx,606sin06sin63cos33sin.2.2dd223=（1）aaaaaax,65,32,2,3,6,0=处，概率密度有极值。要取极大值，得有 23262206cos06cos6.60dd222+naxnaxaxaaxP （2）当0=n时，有axa123121 当1=n时，有axa127125 当2=n时，有axa121143 由上面的分析，得出，在65,2,6aaax=处，粒子出现的概率最大。b)简单方法：简单方法：()aaxaxaaxax6cos126cos123sin2223=，上式要取极大值，只有()65,2,661212616cosaaaxanxnaxax=+=+=3）粒子出现在区间)26(axa的概率()xxaxaxaxxPaaaaaa=262622623d2a6cos-12d3sin2d%33.330316sin6126=aaaxaxa