概率论与数理统计 试题(含答案).docx

第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）1. 事件表达式AUB的意思是 ( )(A) 事件A与事件B同时发生(B) 事件A发生但事件B不发生(C) 事件B发生但事件A不发生(D) 事件A与事件B至少有一件发生答：选D，根据AUB的定义可知。2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件AIB( )(A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C) 发生的概率为1(D) 是必然事件答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2Y2服从 ( )(A) 自由度为1的c2分布(B) 自由度为2的c2分布(C) 自由度为1的F分布(D) 自由度为2的F分布答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的c2分布。4. 已知随机变量X,Y相互独立，XN(2,4),YN(-2,1), 则( )(A) X+YP(4)(B) X+YU(2,4)(C) X+YN(0,5)(D) X+YN(0,3)答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+YN(0,5)。5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=m, D(X)=s2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是m的无偏估计(B) 是m的无偏估计(C) 是s2的无偏估计(D) 是s2的无偏估计答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为( )(A) 2(B) 3(C) 3.5(D) 4答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上）1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(AIB)= _答：填0.18, 由乘法公式P(AIB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为_答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_答：填0.25或，由古典概型计算得所求概率为。4. 已知连续型随机变量 则PX1.5=_答：填0.875，因PX1.5。5. 假设XB(5, 0.5)(二项分布), YN(2, 36), 则E(X+Y)=_答：填4.5，因E(X)=50.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.56. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)_答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）解：已知X的概率密度函数为Y的分布函数FY(y)为因此Y的概率密度函数为五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示： YX-112-10.10.20.320.20.10.1(1) 试求X和Y的边缘分布率(2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数rXY(满分10分)解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：X-12p0.60.4将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表：Y-112p0.30.30.4(2) E(X)=-10.6+20.4=0.2, E(X2)=10.6+40.4=2.2,D(X)=E(X2)-E(X)2=2.2-0.04=2.16E(Y)=-10.3+10.3+20.4=0.8, E(Y2)=10.3+10.3+40.4=2.2D(Y)= E(Y2)-E(Y)2=2.2-0.64=1.56E(XY)=(-1)(-1)0.1+(-1)10.2+(-1)20.3+2(-1)0.2+210.1+220.1= =0.1-0.2-0.6-0.4+0.2+0.4=-0.5cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.5-0.16=-0.66六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分)解：已知样本均值, 样本标准差s=300, 自由度为15-1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出, 因此平均使用寿命的置信区间为，即(1784, 2116)。附：标准正态分布函数表F(x)0.90.950.9750.99x1.2815511.6448531.9599612.326342t分布表Pt(n)ta(n)=a a N0.10.050.025141.34501.76132.1448151.34061.75312.1315161.33681.74592.1199第二部分 附加题附加题1设总体X的概率密度为其中q-1为未知参数，又设x1,x2,L,xn是X的一组样本观测值，求参数q的最大似然估计值。（满分15分）解：似然函数令，解出q的最大似然估计值为附加题2设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分）Y Xy1y2y3PX=xi=x1x2PY=yj=1解：已知X与Y独立，则pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)gP(Y=yj), 经简单四则运算，可得Y Xy1y2y3PX=xi=x1x2PY=yj=1概率论与数理统计试卷 A卷 第 4 页 共 4 页