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本章热点专题训练

【知识与技能】
进一步加深对一元二次方程及其解的理解，能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力.
【过程与方法】
经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识.
【情感态度】
进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.
【教学重点】
理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.
【教学难点】
综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.

一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错.
思考 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一根为0，则常数m的值为.（参考答案：m=2）
2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.
3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b2-4ac与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b2-4ac＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2，则x1+x2=-,x1·x2=.（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b2-4ac是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视.
4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.
【教学说明】在对上述知识的回顾过程中，既可师生根据教材的主要知识点进行剖析，也可由教师设置问题，让学生思考后进行总结交流，从而整体上加强对本章知识的理解，同时，对易错点给予强调，引起学生注意.
三、典例精析，复习新知
例1已知关于x的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n的值为 .
分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n1≠0，∴m+n≠1,从而可知m+n=-1.
例2已知a是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式a2-2013a+的值.
解：根据方程根的定义有a2-2014a+1=0,从而a2-2013a=a-1.a2+1=2014a,故原式=a-1+= = =2013.
在评讲本例时，要防止少数学生利用求根公式求出a的值再代入计算的做法，解释这种解法的弊端，并引导学生学会用整体代入思想解题的方法和技巧.
例3已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个实数根，试求m的最小整数值.
解：由题意有Δ=［-2(m+1)］2-4×1×m2=8m+4≥0，∴m≥-1/2,故m的最小整数值为0.
例4已知关于x的方程x2-2x-a=0.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根为x1,x2，则的值能等于吗？如果可以，请求出a的值；如果不能，请说明理由.

例5某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元销售时，每月可销售360件；若按每件25元销售时，每月能卖出210件，假定每月销售件数y（件）是价格x的一次函数.
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）当销售价定为多少时，每月获得1800元利润？
（3）每月的利润能达到2000元吗？为什么？
解：在1）中，设y=kx+b，把(20,360),(25,210)代入，可得y=-30x+960(16≤x≤32);在（2）中，设获利为w(元)，则w=(x-16)(-30x+960),当w=1800时，有（x-16）(-30x+960)=1800，解得x1=22,x2=26,故销售价定为22元或26元时，每月可获得1800元利润；在（3）中，令（x-16)(-30x+960)=2000,整理，得3x2-144x+1736=0,此时Δ=b2-4ac=（-144）2-4×3×1736=-96＜0，原方程无解，即每月利润不可能为2000元.
【教学说明】在具体教学时，教师可根据自己的设想设置例题，对所选例题的处理仍应先让学生自主探究，尝试着独立完成，让学生边回顾边思考，加深对本章知识的掌握.
四、复习训练，巩固提高
1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根为1，则m的值是多少？
2.若方程3x2-5x-2=0有一根为a，则6a2-10a的值是多少？
3.已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，a为何非负整数时，（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不等实数根？
4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降价多少元？
【教学说明】这4个小题的设置旨在帮助学生复习知识，其中第1、2题较简单，由学生自主完成，第3、4题可由师生共同完成.
【答案】1.m=± 2.4 3.(1)a=2;(2)a=3;(3)a=0或a=1
4.每件降价20元.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课学习，对本章的知识你有哪些新的认识？有何体会？
【教学说明】师生共同进行小结反思，让学生进一步加深对本章知识的理解和领悟，积累解题方法和经验，完善知识体系.

1.布置作业：从教材“复习题21”中选取.
2.完成本课的热点专题训练.

1.本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容.
2.本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.