答案概率统计测验卷.doc

2013-2014（2）《概率论与数理统计》练习题
一、 填空题
1.以A、B、C的运算及关系来表示事件 ；
2.设事件A,B为两随机事件，且则____1/3______。
3.设事件A,B相互独立，A,C互不相容，且
则概率 .（提示：
4. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是=_______0.6___________.
5．设随机变量服从上的均匀分布，方程有实根的概率=__3/5_
6. 设随机变量服从泊松分布，且，则＝ 。
7.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

则______1/4___________.
8.随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 。
9. 在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 。
10. 掷硬币次，正面出现次数的数学期望为 n/2 .
11. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为
（答案用标准正态分布函数表示）.
12. 设，，则= 1 .
13.设随机变量和的相关系数为0.5，，则____6________。
14.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计______
15. 设为来自二项分布总体的样本，分别为样本均值和样本方差，记统计量，则_______.
二 、选择题
1.袋中有3个白球2个红球，从中无放回地取3次，每次取1个球，则恰有两次取得白球的概率为（ C ）
A B
C D
2.设A和B任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ D ）
A B
C D
3. 对于任意二事件和，则( B )
A．若,则一定独立； B. 若,则有可能独立；
C. 若,则一定独立； D. 若,则一定不独立
4. 某仓库有同样规格的产品8箱，甲，乙，丙3个厂各生产3箱，2箱和3箱。甲，乙，丙3个厂的次品率分别为。现从8箱中任取1箱，再从取得的1箱中任取1件，则取得次品的概率是（ C ）
A B C D
5. 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为（ C ）
（A） （B） (C) （D）
6. 设随机变量的密度函数为，设表示对的3次独立观察中事件出现的次数，则＝( A )。
A. B. C. D.
7.随机变量的概率密度为，若，则
＝( C ).
. . . .
8. 设是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为分布函数分别为，则 (   D   )
A. 必为某一随机变量的概率密度；
B. 必为某一随机变量的概率密度；
C. 必为某一随机变量的分布函数；
D. 必为某一随机变量的分布函数。
9．已知二维随机变量 在三角形区域 上服从均匀分
布, 则其条件概率密度函数 是 ( D ).
. 时 ,
. 时 ,
. 时 ,
. 时 ,
10. 设 ( C ).
A. 2 B. C. D. 1
11. 已知，则随着的减小，将（ D ）

A. 单调减小 B. 单调增加 C. 无法判断 D. 保持不变
12. 设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布,，则(　　B　　)
A. B. 　　 C. D.
13. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y
X 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
则 =（ B ）.
. . . .
14. 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（ C ）
(A) X+Y服从正态分布. (B) X2+Y2服从c2分布.
(C) X2和Y2都服从c2分布. (C) X2/Y2服从F分布.
15. 设随机变量，求的分布.则（ C ）
(A) (B)
(C) Y～F(n，1) (D) Y～F(1，n)
16. 设为来自总体X的样本，且，下列关于总体均值的估计中，其中最有效的是：( C )

17.设一批零件的长度服从正态分布，现从中随机抽取16个零件，测样本均值为，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是（ C ）
(A) (B)
(C) (D)
三、计算应用题
1. 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是多少？
解：设为第1人取得黄球，为第2人取得黄球，
则由全概率公式，有

2. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一个人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解： 设A表示事件“抽到一个男性”；B表示事件“抽到一名女性”；C表示事件“抽到一名色盲者”，
由全概率公式得到：

由贝叶斯公式得

3. 随机变量 与 相互独立 , 服从参数为2的指数分布 , 服从 上的均匀分布 . 求 (1) 的联合密度函数 ； (2) 概率值 .
解:
,
.
4. 设的联合概率密度为
（1）分别求出的边缘概率密度；（2）是否相互独立，为什么？
解：(1)

(2)因为
所以不相互独立
5.设随机变量X的概率密度为，求随机变量的概率密度。
先由分布函数法求出Y的分布函数，再求导可得到
由于
当时，

则

综上。
6. 在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量（单位：），它在上服从均匀分布。若每售出，可得外汇3万元。如果销售不出而积压，则需要浪费保养费1万元/t，问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？
解：，则设随机变量表示平均收益，货源为s吨，由题意，

7.某型号电子管寿命X（以小时计）近似地服从分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
解：设为四只电子管寿命小于180小时的只数， ，其中

8. 设二维随机变量服从区域上的均匀分布。
求随机变量的概率密度函数；
（1） 求条件概率密度函数；
（2） 求随机变量的概率密度函数。

9. 设总体的概率分布为
X
0
1
2
3
P
θ 2
2θ(1 – θ)
θ2
1 – 2θ
其中是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和最大似然估计值．
解：（1）
令，即，解得，
计算得，
代入得，故的矩估计值为。
（2）似然函数为
取对数
整理得
解得（由于，故舍去），
故的最大似然估计值为。
10.设总体X的分布函数为

其中参数为未知参数. 为来自总体X的容量为n的样本, 其观测值为
(1)求参数的矩估计量；
(2)求参数的最大似然估计量.
解：随机变量X的概率密度函数为

（1）由于X只有一个未知参数，故总体X的一阶原点矩，即

用样本一阶原点矩代替E(X),有 ,
故参数的矩估计量为.
（2）似然函数为
取对数，得

上式关于求导，

解得

故的最大似然估计量为

11. 设总体服从指数分布，其中抽取样本
证明：（1）虽然样本均值是的无偏估计量，但却不是的无偏估计量；
（2）统计量是的无偏估计量。

证明：（1）首先证明是的无偏估计量，即证明
事实上，

由 知

不是的无偏估计量。
（2）
是的无偏估计量。

12. 自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观测值，算得样本均值为8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体，未知。试依据这一样本取显著性水平检验假设，并给出检验过程。
（其中可供参考数据
）
解：由于未知，检验，应使用双侧t检验法。
检验假设
在显著性水平下，当为真时，选择检验统计量

临界值，故拒绝域为
，
由题知，算出检验统计量的观测值

所以拒绝。

备用题（考研同学）
1. 设随机变量的概率密度为
，是的分布函数。求随机变量的分布函数。
解：当时，，故

，
当时，

故
2. 设为两个随机事件,且令
求：（1）二维随机变量的概率分布； （2）的概率分布。
解：(1)
X Y
0
1
0
2/3
1/12
1
1/6
1/12
(2)
Z
0
1
2
P
2/3
1/4
1/12

3．设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记，求：
（1）求
（2）求的概率密度。
解：（1）

(2)当时 ，
当时 ，
当时 ，
当时 ，
当时 ，
故
4.设随机变量独立同分布，且方差，令随机变量，则[ A ]
(A) (B)
(C) (D)
5. 设总体X的概率密度为，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2=_____2_____.
6. 设总体X的分布函数，其中未知参数，为来自X的简单随机样本，求(1)的矩估计量;（2）的最大似然估计量．
解：（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量
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