等速螺线.docx

等速螺旋(阿基米德螺线）
一、什么是等速螺旋
1、从点O出发的射线l绕点O作等角速度的转动。
2、同时点M沿l作等速直线运动，点M的轨迹叫等速螺旋
或阿基米德螺线。

二、等速螺线的极坐标方程
1、建立极坐标系
取O点为极点，以l的初始位置为极轴，建立极坐标系如上图。
2、建立参数方程
设点M的初始位置为（ρ0,0），点M在l上的运动速度为v,l绕点O转动的角速度为w，经过时间t后，l旋转了θ角，点M到达位置（ρ,θ）根据螺旋线的定义可得：
ρ-ρ0=vt, θ=wt
这就是以时间t为参数的参数方程。
3、建立极坐标方程
参数方程消去t后得：ρ-ρ0=vθ/w
这是所求得的等速螺线的极坐标方程。
设v/w=a
则ρ=ρ0+aθ
此为等速螺线极坐标的一般形式，ρ是θ的一次函数。
特殊情况下，ρ0=0时，ρ= aθ，ρ是θ的正比例函数。
三、ρ=aθ的图像

其中虚线为ρ和θ取负值时的图像
四、等速螺线的笛卡尔坐标系方程
1、极坐标系和直角坐标系的换算公式
x=ρcosθ
y=ρsinθ

ρ^2=x^2+y^2
tanθ=y/x
2、等速螺线的笛卡尔坐标系方程
由ρ=vt θ=wt
可得x=vtcosθ
y=vtsinθ
五、CREO下的参数方程
1、笛卡尔坐标系
第一个例子
s=v*t
angle=t*360
x=s*cos(angle)
y=s*sin(angle)
图中：v=50
表示螺线的极径在0-50
之间变化，转角在360
度之内，当达到360°时
极径长度为50
当转过90°时，
t=90/360=1/4
s=50/4=12.5
当转过180时，t=180/360=1/2，s=50/2=25
第二个例子
s=50t
angle=5*t*360
x=s*cos(angle)
y=s*sin(angle)

第三个例子
s=50*t
angle=60+3*t*360
x=s*cos(angle)
y=s*sin(angle)

第四个例子
s=50*t
angle=-60-2*t*360
x=s*cos(angle)
y=s*sin(angle)

2、圆柱坐标系（极坐标系）
r=50*t
theta=t*360
z=0
（柱坐标系的三个参数为r，theta，z）
此方程与第一个例子等价的。
六、等速螺线的面积问题
1、扇形的面积公式
S=12R2θ
S——扇形面积
R——半径
θ——圆心角，弧度
2、计算曲边扇形面积的数学模型

如上图，由曲线ρ=ψ(θ)，射线θ=α，θ=β围成曲边扇形，要计算其面积，取极角θ为积分变量，它的变化区间在[α，β]，相应于任一小区间[θ，θ+dθ]的窄曲边扇形的面积，可以用半径为ρ=ψ(θ)，圆心角为dθ的扇形的面积来近似代替，从而得到窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素：
dA=12[φ(θ)]2dθ
以此面积元素作为在闭区间[α，β]上作定积分，便得所求曲边扇形面积的面积为：
αβ12[φ(θ)]2dθ

3、计算等速螺线的面积

如图，计算阿基米德螺旋θ变化区间为[0，2π]的一段圆弧与极轴围成图形的面积
根据数学模型，可得：
A=02π12[αθ]2dθ=02π12α2θ2dθ=α22θ3302π=43α2π3
当α=10时，θ变化区间为[0，2π]时，等速螺线的柱坐标系参数方程为
theta=t*360
r=10*2*pi*t
（由theta化为弧度，即t*360*π/180=2*t*π）
则
A=43α2π3=43100π3=4134.17

计算等速螺旋θ变化区间为[0，4π]的一段圆弧与极轴围成图形的面积
如下图：

根据等速螺线的定义起始点为0时的极坐标方程为，ρ= aθ。如图此时的起始点位置为ρ0=2πα
由ρ-ρ0=vθ/w=αθ可得
ρ-2πα=αθ。于是改图像所示的极坐标方程为ρ=2πα+αθ=α（θ+2π）
此时，当α=10时，θ变化区间为[0，4π]时，等速螺线的柱坐标系参数方程为
theta=2*t*360
r=10*4*pi*t
（此方程表示螺线从圆心开始绕两圈）
如果只考虑外圈，不考虑图中的虚线部分，则参数方程为
r=2*π*10+10*2*π*t
theta=t*360
（此方程表示螺线从2πα点开始绕一圈）
下面计算此图形的面积
A=02π12[α(θ+2π)]2dθ=02π12α2(θ+2π)2dθ=α22(θ+2π)3302π
A=50×(4π)33-50×(2π)33=33073.36-4134.17=28939.19

七、等速螺线的弧长问题
1、弧长元素

如图，设x，x+Δx为（a,b)内相邻的两个点，它们在曲线y=f(x)上对应的点为M,M'。当Δx足够小时，弧MM近似等于其对应的弦长，用Δs表示弧长，于是有
∆s=∆x2+∆y2 由函数微分学可知，∆x≈dx，∆y≈dy则∆s≈ds
由此可得直角坐标系下的弧长元素为ds=(dx)2+(dy)2
2、各种形式方程下的弧长
——直角坐标方程
由ds=dx2+dy2可推出
ds=(dx)2+(dy)2=dx(dx)2+(dy)2dx=dx1+(dy)2
故此，直角坐标系下区间（a,b)的弧长为
abds=ab1+(dy)2dx
——由参数方程所确定的弧长
x=∅(t)y=φ(t)
dx=∅(t)'dt
dy=φ(t)'dt
ds=([∅t'dt]2+[φt'dt]2=[∅t'2+φt'2dt
故此，在区间（a,b)的弧长为
abds=ab[∅t'2+φt'2dt
——由极坐标方程确定的弧长
x=ρ(θ)cos⁡(θ)y=ρ(θ)sin⁡(θ)
dx=[ρ(θ)'cosθ-ρθsin⁡(θ)]dθ
dy=[ρ(θ)'sinθ+ρθcos⁡(θ)]dθ
ds=([ρ(θ)'cosθ-ρθsin⁡(θ)]2+[ρ(θ)'sinθ+ρθcos⁡(θ)]2dθ=[ρθ']2+[ρθ]2dθ
故此，在区间（a,b)的弧长为
abds=ab[ρθ']2+[ρθ]2dθ
3、计算等速螺线的弧长
1、θ变化区间为[0，2π]时，等速螺线的弧长s
abds=ab[ρθ']2+[ρθ]2dθ=02πα2+αθ2dθ=α02π1+θ2dθ
s=α2θ1+θ2+ln⁡(1+θ2+θ)02π
当α=10时,
s=5(39.975+2.537)=212.56

2、θ变化区间为[0，4π]时，等速螺线的弧长s
s=α2θ1+θ2+ln⁡(1+θ2+θ)04π
当α=10时,
s=5(158.412+3.266)=808.19