电动力学 第2章 2-6.pdf

2.6 电 多 极 矩2.6 电 多 极 矩一、电势的多极展开一、电势的多极展开真空中给定电荷分布 激发的电势为真空中给定电荷分布 激发的电势为0()()4Vx dVxrxxr=vvvv式中体积分遍及电荷分布区域，r为场点 和源点 的距离。式中体积分遍及电荷分布区域，r为场点 和源点 的距离。xvxv()xv在区域在区域V内取一点内取一点O作为坐标原点，以作为坐标原点，以R表示由原点到场点表示由原点到场点P的距离，有的距离，有222222)()()(|zzyyxxxxrzyxxR+=+=rrr当电荷分布区域的线度远小于R时，可以把 各分量 看作小参量。设 为 的任一函数，则在附近的泰勒展开式为当电荷分布区域的线度远小于R时，可以把 各分量 看作小参量。设 为 的任一函数，则在附近的泰勒展开式为xv)(xxfrr xxrr0=xrLrrrrrLrrrrr+=+=)()(!21)()()(!21)()()(231,231xfxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfjijijiiii取，有取，有rxxxxf1|1)(=rrrrLr+=RxxxxRxRrjijiji1!21111,2将此式代入电势的表达式中得将此式代入电势的表达式中得1!2111)(41)(,20dVRxxxxRxRxxVjijiji+=Lrrr令即令即Q为体系的总电量，为体系的总电量，P为体系的电偶极矩，为体系的电偶极矩，D为体系的电四极矩，则上式可以改写为为体系的电四极矩，则上式可以改写为VjiijVVdVxxx DdVxxPdVxQ)(3 ,)(,)(rrrrrLrrrLrr+=+=)()()(161141)()2()1()0(,20 xxxRxxDRPRQxjijiij从展开式来看，每项比前一项多1/R数量级，因此贡献最大的项为 从展开式来看，每项比前一项多1/R数量级，因此贡献最大的项为(1)，其次为，其次为(1)，再次为，再次为(2)，可根据实际问题的要求精度确定展开项数。因此这个展开称作，可根据实际问题的要求精度确定展开项数。因此这个展开称作电荷体系激发的电势在远处的多极展开。电荷体系激发的电势在远处的多极展开。下面讨论展开式中各项的物理意义：下面讨论展开式中各项的物理意义：二、电多极矩的概念二、电多极矩的概念(0)04QR=（1）代表原点处点电荷代表原点处点电荷Q激发的电势，即整个体系在远 点产生的势相当于把整个体系的电荷都集中于原点 处的贡献。激发的电势，即整个体系在远 点产生的势相当于把整个体系的电荷都集中于原点 处的贡献。(1)3001144P RPRR=v vv（2）代表放于原点处的电偶极矩P在远处产生的电势，即 体系产生的电偶极矩P放在原点处时产生的势。代表放于原点处的电偶极矩P在远处产生的电势，即 体系产生的电偶极矩P放在原点处时产生的势。若体系的电荷分布满足若体系的电荷分布满足中心中心对 称，则因此电偶极矩反映了电荷分布是否具有原点对称性。对 称，则因此电偶极矩反映了电荷分布是否具有原点对称性。()()xx=vv0P=viiiPQ x=vv对于分立的点电荷组成的电荷体系，电偶极矩为课本以电偶极子所产生的电势为例加以了讨论。对于分立的点电荷组成的电荷体系，电偶极矩为课本以电偶极子所产生的电势为例加以了讨论。对电偶极矩的讨论：对电偶极矩的讨论：2(2)011146ijijijDx x R=（3）由电四极矩 产生的 势由电四极矩 产生的 势ijD电四极矩D电四极矩Dij ij 是对称张量，它有六个分量 D是对称张量，它有六个分量 D11 11，D，D 22 22D，D3333，D，D12 12 DD2121，D，D2323 D D3232，D，D31 31 DD13 13，因此有6个分量。，因此有6个分量。下面讨论各个分量的物理意义。下面讨论各个分量的物理意义。分量的物理意义：分量的物理意义：Z 轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系。这体系可以看作由一对电偶极子Z 轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系。这体系可以看作由一对电偶极子+P+P和和-P-P组成。设正电荷位于组成。设正电荷位于bb，负电荷位于，负电荷位于a a。这体系的总电荷和总电偶极矩都为零，但它的电四极矩为。这体系的总电荷和总电偶极矩都为零，但它的电四极矩为PlababQabQzQDiii6)(6)(6322233=+=其中:P=Q(b-a)是其中两对电荷的电偶极矩，l=a+b是两个电偶极子中心的距离。因此其中:P=Q(b-a)是其中两对电荷的电偶极矩，l=a+b是两个电偶极子中心的距离。因此电四极矩的Z分量可以看作是由Z轴上的一对反向的电偶极矩（两对正负电荷）构成，其产生的电势为两对电偶极矩产生的电势的叠加电四极矩的Z分量可以看作是由Z轴上的一对反向的电偶极矩（两对正负电荷）构成，其产生的电势为两对电偶极矩产生的电势的叠加与与(2)(2)中的33分量相同。同理，11和22分量的最简单电荷体系分别由x轴和y轴上两对正负电荷组成；12分量的电荷体系由 xy平面上两对正负电荷组成；13和23分量也类似。中的33分量相同。同理，11和22分量的最简单电荷体系分别由x轴和y轴上两对正负电荷组成；12分量的电荷体系由 xy平面上两对正负电荷组成；13和23分量也类似。RzDRzPlrrzP161411411141223302200=+如果我们重新定义电四极矩D如果我们重新定义电四极矩Dijij=)()3(2 dVxrxxDijjiijr由于，此时由于，此时(2)(2)形式不变，仍为形式不变，仍为=jijiijRxxD,20)2(16141012=R但是电四极矩满足，对只有5个独立分量。以后我们也将沿用此定义形式。但是电四极矩满足，对只有5个独立分量。以后我们也将沿用此定义形式。0332211=+DDD可以验证：可以验证：球对称球对称电荷分布没有电荷分布没有电四电四极矩；反过来，电荷分布偏离球对称性，电四极矩不为零。极矩；反过来，电荷分布偏离球对称性，电四极矩不为零。因此电四极矩反映了电荷分布是否具有球对称性。因此电四极矩反映了电荷分布是否具有球对称性。三、小区域电荷体系在外电场中的能量三、小区域电荷体系在外电场中的能量设外电场电势为设外电场电势为e e，具有电荷分布(x)的体系在外电场中的能量为，具有电荷分布(x)的体系在外电场中的能量为=dVWe设电荷分布于设电荷分布于小小区域内，取区域内适当点为坐标原点，把区域内，取区域内适当点为坐标原点，把e e 对原点展开对原点展开Lr+=)0(!21)0()0()(31,231ejijijieiiieexxxxxxxLLLr+=+=+=(2)(1)(0),2,2WWW )0(61)0()0(Q )0(!21)0()0()(jiejiijieiiejiejijiieiiexxDxpdVxxxxxxxW展开式中各项的意义:展开式中各项的意义:(0)(0)eWQ=小区域电荷集中于原点时与外场的相互作用能小区域电荷集中于原点时与外场的相互作用能(1)(0)(0)eeWPP E=vv v体系电偶极矩与外场相互作用能小区域电四极矩与外场的相互作用能体系电偶极矩与外场相互作用能小区域电四极矩与外场的相互作用能)0(:61)0(61,2)2(ejiejiijEDxxDWrt=下面我们讨论电四极矩的贡献。由于电四极矩有两种定义形式，分别考虑例题1：求图中所示电荷系统的电偶极矩和电四极矩，并求出远处的电势(精确到四极势)。解：系统的总电荷为qk=0,所以0)0(=系统电偶极矩的三个分量为=0 ,0 0,xqpkkxkkzkkyzqpyqp0)1(=（2）RzqaRzyxqaRzqaRzDRyDRzD141122411624111124122202222222022202233222222110)2(=+=+=RzqaRzD1411241222022330)2(=kjkikkxxQ=3Dij（1）=qaD2600000000结论：结论：尽管两种定义得到的电四极矩不同，但它们给出的电势是相同的。尽管两种定义得到的电四极矩不同，但它们给出的电势是相同的。例2:均匀带电的长形旋转椭球体半长袖为a，半短轴为b，带总电荷Q，求它的电四极矩和远处的电势。例2:均匀带电的长形旋转椭球体半长袖为a，半短轴为b，带总电荷Q，求它的电四极矩和远处的电势。解：取z轴为旋转轴，椭球方程为122222=+azbyx椭球所带电荷密度为243abQ=利用电四极矩的定义dVrxxDijjiij)3(2=QbaQbaQbaD)(52000)(51000)(51222222电四极矩产生的势为同理利用电偶极矩的计算公式可以计算电偶极矩0=pr考虑到椭球的总电荷为Q，于是远处准确至四极的势为球面镜像：平面镜像：解：方程和已知条件如下方程的解：球内展开系数的确定：球内展开系数的确定：利用 可得+=+=+=+=+=+=)12()1(42)2(311-0 )(P )1()(P 212 )(P )(P 212 sin)(cosP sin)(cosP 212 sin)(cosP|212 cos)(cosP|21221010100011002/02/000R11R000为奇数）（为偶数内内llllldxxdxxldxxdxxlddldldlRAllllllllllllLL当l为奇数当l为偶数同理可以得到