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第二讲：多边形
考点一：多边形的內角线
例1.凸n边形的对角线的条数记作，例如：，那么：①=_________；②=_________；③=_________．（，用含的代数式表示）
分析：根据对角线条数的数据变化规律进行总结，然后填写．
答：解：①五边形有5条对角线；
②六边形有9条对角线，9-5=4；③n边形有 条对角线，n+1边形有条对角线，an+1-an=-=n-1．故答案为：5；4；n-1．
变式题组：1.若从一个多边形的一个顶点可以引5条对角线，则它是　　　　边形。
解析：八边形 引出的点不算 挨着的两点不算 5+1+2 八边形

2. 有一个18边形，它共有　　　　条对角线，若有一多边形有35条对角线，则它为　　　　边形。
答案：135 10

3. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线则（m-k)^n=
解析：对角线计算方法：
过m边形的一个顶点有m-3条对角线，则m个顶点共m（m-3）/2条对角线；除以2是因为有重复计算的。∴m=10；n=3；k=5∴（m-k）的n次方=5的立方=125

考点二：多边形内角和
例2：如图所示，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是 (　 )

　　A．360° 　　　 B．540°　　　 C．720°　 　　D．630°
解析：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形）的情况有以上三种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断．
如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N=540°+180°=720°；

②当直线经过一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，∴M+N=360°+180°=540°；

③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，此时矩形分割为两个三角形，∴M+N=180°+180°=360°．

故选D．
变式题组：4.正八边形的每一个内角为（　　　）
　　　　A.120°         B.135°            C.140°            D.144°
解析：每个多边形的外角和都是360°，用360/8=45，然后再用180-45=135，所以每个正八边形的内角是135°
5. 一个多边形内角和是720°，这个多边形的边数是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：设这个多边形的边数为n，根据题意可得（n-2）×180=720　解得   n=6
6.凸多边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是：　　　　
解析：∵凸n边形的内角和为1260°，∴（n-2）×180°=1260°，得，n=9；∴9-3=6．故答案为：6．
7. 一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形边数是（　　　）
A. 10 　　B. 11 　　 C. 12 　　D.以上都有可能
解析：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据（n-2）•180°=1620°，解得：n=11，则多边形的边数是10，11或12．故答案为10，11或12．
考点三：多边形的外角和
例3：小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此反复，小林共走了108米回到点P，则角α的度数为______．
A．30° B．40° C． 80° D．不存在
解析∵108÷12=9，∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个九边形，
∴α=360°÷9=40°．故答案为：40°．
变式题组：8.一个多边形内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（　　　）
　　　　(A).3 　　(B).4 　　(C).5 　　(D).6
解析：任一多边形的外角和都等于360°，所以，由题意得这个多边形的内角和=360*2=720°假设由多边形的一个顶点连接与之不相邻的其他各顶点，则可以把多边形分成（n-2)个三角形。三角形内角和等于180°。所以 180°*（n-2)=720°n=6 所以这个多边形是6边形。（三角形的外角和也等于360°）
9. 一个多边形的每一个外角都是36°，这个正多边形的边数是：　　　　　　
解析：设所求正n边形边数为n，则36°n=360°，解得n=10．故正多边形的边数是10．
10.（1）在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多有　　　　　　个。
解析：凸10边形共10个内角，内角和为（10-2）*180= 8*180度，，即相当于有8个180度的角，2个0度的角，这样的话可以拆成6个180度的角和4个90度的角，要构成凸多边形，各角必小于180度，于是最多只能有4-1=3个锐角。（锐角的个数最多，就要锐角尽量大，而锐角不能大于90度，90度最多4个，小于90度，就要比4个少，又要最多，就是4-1=3个了。）
（2） 在凸2012边形的内角中非锐角的个数至少有　　　　个。
解析：2010边形的度数为：180*（2010-2）=361440度假如有4个角接近于90度的话，2006个角接近于180度的话就接近于361440度，但比361440度小，所以不可能就4个角比90度小，最多只有3个，剩下的就不是锐角：2010-3=2007个。
（3） 一个凸n边形的内角恰好有4个钝角，则n的最大值是：　　　　　
解析：设这个多边形是n边，则它有n-4个锐角，4个钝角，它的内角和（n-2）×180＜4×180＋（n-4）×90解不等式180n－360＜720＋90n－360　，90n＜720　　，n＜8
∴n最大是7
考点四：星形角度和
例4.如图,求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数

解析：DE与AB的交点设为M，将GF与AB的交点设为N
∵∠ANE是△AGN的外角
∴∠ANE＝∠A+∠G
∵∠B+∠C+∠D+∠BMD＝360°, ∠E+∠F+∠ANE∠BME＝360°
∴∠B+∠C+∠D+∠BMD+∠E+∠F+∠ANE+∠BME＝720°
∵∠BMD+∠BME＝180°
∴∠B+∠C+∠D +∠E+∠F+∠ANE＝720-（∠BMD+∠BME）＝720-180＝540°
∴∠A+∠B+∠C+∠D ++∠E+∠F+∠G＝540°
变式题组：11.如图求∠A+∠B+∠C+∠D ++∠E+∠F+∠G+∠H的度数。

解析：连接cf，∠D+∠F=∠ECF+∠DFC则∠A+∠B+∠C+∠D ++∠E+∠F+∠G+∠H就是六边形ABCFGH的内角和为720°
12. 如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D ++∠E+∠F+∠G的度数为_度.

　解析：根据图示这几个角分别是一个三角形的三个内角和一个四边形的四个内角,故A+∠B+∠C+∠D ++∠E+∠F+∠G＝180°+360°＝540°
13. 如图所示,已知图五角星ABCDE,将图1中的点向下移动得到图2,将图中的点向上移动得图3,对于五角星及五角星的变形图,∠A+∠B+∠C+∠D +∠E的和为多少度?并选择一图加以说明.

解析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠C+∠E=∠BMN,∠A+∠D ＝∠BNM,进而利用三角形的内角和定理求解.A+∠B+∠C+∠D +∠E=180°
考点五：平面图形的镶嵌
例5：利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖（ab≠0），则a+b的值为：　　　　　　　
解析：正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°，
又∵60×4+120=360，或60×2+120×2=360，∴a=4，b=1或a=2，b=2，
①当a=4，b=1时，a+b=5；②当m=2，n=2时，a+b=4　所以a+b=4或者5
变式题组：14.一副美丽图案，在某处由四个边长相同的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则另一个为（ ）
A、正三角形　 B、正四边形 　C、正五边形　D、正六边形
解析：正四边形，另外三个图形的顶角分别是60度，90度，和120度，这个图形顶点处应该是360度，所以剩下那个图形顶角是90度，是正四边形。

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例6：一个凸多边形的内角度数按从小到大的顺序排列，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100度，最大角是140度，求这个多边形的边数。
解析：设有x个角，有x个角就有x条边则多边形的内角和为180（x-2)
有多边形的内角和可以用以上数字即（100+140）*x/2=120x　所以，120x=180（x-2)
x=6　所以又六条边
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1.若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】三角形的内角和为180°，四边形的内角和是360°，而且边数越多，内角和越大，而多边形的外角和是360°与边数无关，所以选择A．
【答案】A
2、 正n边形的一个外角为40°，则边数n为（　　　）
A.9 B.8 C.7 D.6
分析：多边形外角和360°，则有n=360°/40°＝9，所以选　A
3.有下列五种正多边形地砖：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形. 现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此不留空隙、不重叠地铺设的地砖有 [ ]
A. 4种 　　B. 3 种 　　C. 2 种 　　D. 1 种
解析：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌。
用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形。
用不同的正多边形镶嵌：
（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；
（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌。故选：B
4.按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有 （写出所有正确答案的序号）.
正三角形
①
正方形
②
矩形
③
正五边形
④

答案：2，3
3
2
4
6
图(十九）)
5.如图(十九)，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计
螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条
的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的
距离之最大值为何？
　　 (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 10
答案：C
6.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，
则求∠AED的度数。

解析：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠5=360-4×70=80°，∴∠AED=180-∠5=180-80=100°．
7. 如图，在△ABC中，∠A=50°，点D、E分别在AB,AC上，则求∠1+∠2度数

解析：因为∠A=50°∴∠AED+∠ADE=130°∵∠1=180°－∠AED，∠2=180°-∠ADE∴∠1+∠2=360°-130°=230°
8. 在凸n边形中，小于108°的内角最多可以有（　　）
　A．3个 　　B．4个 　　C．5个 　　D．6个
解析：设小于108°的角最多可以有x个，即外角大于72度的有x个，则72x＜360，解得x＜5，即小于108°的角最多有4个．故选B．
9. 凸n边形恰好只有三个内角是钝角，则n的最大值是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
解析：依题意，凸n边形恰有3个内角是钝角， 它们每个角的取值范围是 (90º,180º) 它们和的取值范围是 (3×90º,3×80º)其余n-3个内角和的取值范围是 ((n-2)180º-3×180º,(n-2)º-3×90º)平均每个角的取值满足 [(n-2)180º-3×180º]/(n-3)<α<[(n-2)180º-3×90º]/(n-3)这每个角必须满足的条件是： 0º<α<90º∴ [(n-2)180º-3×180º]/(n-3)≥0º ===>n≥5同时 [(n-2)180º-3×90º]/(n-3)≤90º ===>n≤6故n的最大值为6。
10.如图2.1（2）-1.五边行公园，已知∠1=95°，小梅沿着公园由A点经过B一C一D一E一F散步，则小梅共转了多少度？

解：360゜-（180゜-95゜）=275゜， ∴小梅共转了275゜．
11. 一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)。被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为（　　　）
A.72°　　　　B.108°或144°　　　C.144°　　D.72°或144°
解析：7 2°或144°
∵五次操作后，发现赛车回到出发点，∴正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)，那么朝左和朝右就是两个不同的结论所以
∴角α=（5-2）•180°/5=108°,则180°-108°=72°或者角α=（5-2）•180°/5=108°，180°-72°/2=144°
12. 如图观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有　　个

【分析】观察每一个图中黑色正六边形的排列规律， 第1个图中黑色正六边形有1=1x1个，第2个图中黑色正六边形有4=2x2个，第3个图中黑色正六边形有9=3x3个，„则第10个图中黑色正六边形有10x10=100个。
13.阅读材料：

如图1，AB、CD交于点4，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D=∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E=∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4=180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB=180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　　　）
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（　　　）
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=（　　）
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=（　　　）
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
解 析 解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD=∠HDE+∠BED，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=五边形CDEFG的内角和+△ABH的内角和=540°+180°=720
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=六边形BCFGHM的内角和+△AND的内角和+△NDE的内角和=（6-2）×180°+360°=1080°．

故答案为：360°；540°；720°；1080°．
（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD=∠HDE+∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．
14. 如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°，试求∠F的度数

解析：解：连接AD，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°．
∵AB⊥BC， ∴∠B=90°．又∵∠C=120°，∴∠BAD+∠ADC=150°． ∵CD∥AF，
∴∠CDA=∠DAF．在四边形ADEF中， ∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°，∴∠F+∠E=210°．
又∵∠E=80°， ∴∠F=130°．
（第16题）
考点：根与系数的关系；根的判别式．
专题：计算题．
分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=- ba，x1x2= ca，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．
解答：解：∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，
∴x1-x1x2+x2=1-a，
∴x1+x2-x1x2=1-a，
∴ 3a+1a- 2a+2a=1-a，
解得：a=±1，
故选：C．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x1-x1x2+x2=1-a，得出x1+x2-x1x2=1-a是解决问题的关键．
答题：gbl210老师
15、图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成 4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n×n的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n的值为（　　）
　　　A、7 　　　B、8 　　　　C、9 　　　D、10
答案：D
16. 一个边长为16m的正方形展厅，准备用边长分别为1m和0.5m的两种正方形地板砖铺设其地面．要求正中心一块是边长为1m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌（如图所示），则铺好整个展厅地面共需要边长为1m的大地板砖 　 块。
解析：分层：正中心1块，第三层1×3×4=12块，第五层2×3×4=24块，第七层3×3×4=36块，第九层4×3×4=48块，第十一层5×3×4=60块（此时边长为16m），
则铺好整个展厅地面共需要边长为1m的大地板砖181块．故答案为181．
17.小明在进行多边形内角和的计算时，求得一多边形内角和1125°，重新检查时，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度？小明求的是几边形的内角和?
解析：问题一：解：设这个多边形的边数为n，那个少算的内角的度数为α根据题意得：（n-2）×180°－α＝1125° 则α＝（n-2）×180°－1125° 又∵0°≤α≤180° ∴0°≤（n-2）×180°－1125°≤180° 解得：8.25≤n≤9.25 又∵n为正整数 ∴符合条件的n为9 ∴这个多边形为九边形，内角和为：（9-2）×180°＝1260° ∴α＝1260°－1125°＝135° 问题二：解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得：（n-2）×180°：360°＝9：2 解得：n=11 答：这个多边形的边数为11.
18. 如图，在凸六边形ABCDEF中∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的。
解析：任意多边形外角和是360°，六边形内角和是720°，∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F∴∠A+∠B+∠C=360°连接AC，得到△ABC，三角形内角和是180°，所以∠FAC+∠DCA=180°同旁内角相加等于180°，所以最少有AF∥CD