制作一个尽可能大的正方体盒子.doc

课时课题：制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子
教学目标：
1．经历从实际问题抽象出数学问题―建立数学模型―综合应用已有的知识解决问题的过程。
进一步发展学生的空间观念和符号感。
2.通过借助已有的信息去预测事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力。让学生获得一些研究问题的方法和经验，体验数学知识之间的内在联系。
3.通过经历克服困难和获得成功的过程，增进学生应用数学的自信心。
教法与学法：
通过活动对图形的展开与折叠、字母表示数、列代数式、求代数式的值以及利用代数式的值去探索代数式所反映的规律等，了解数形结合的思想，发展学生的符号感；学会从实际问题中建立数学模型、分析、猜测、交流、推理和反思等活动，学会应用数学，增强学好数学的自信心。通过学习与实践，发展应用数学知识解决问题的意识和能力。
教学重点：借助统计表,推断无盖长方体盒子容积变化与剪去的小正方形边长变化之间的关系.
教学难点：感受数量之间相依变化的状态和趋势，体验分割逼近的方法和从特殊到一般的探究过程.
课前准备：
1.准备：一张边长为20 cm的正方形纸板，一个无盖的长方体，以及剪刀、直尺、透明胶、细沙。
2．操作：展开一个无盖长方体(学生实际操作，为用一张正方形的纸制成一个尽可能大的无盖长方体的折叠打好基础)。
3．设疑：一张正方形的纸怎样才能制成一个无盖的长方体?(留出足够的时间让学生充分思考，以便在课堂上可以用更多的时间尝试“无限逼近”。)
教学过程：
教学过程
师生互动
设计意图

一.创设情境导入新课
（课件展示）生活中的实际问题:
2014年元旦期间，小英的爸爸正为家里缺少一个用来盛放煤炭的长方体形的盒子发愁。现有一张边长为50cm的正方形铁皮，怎样制作才能使长方体盒子的容积最大。爸爸就把这项任务交给小英帮助来完成，要求小英用正方形的纸制作无盖的长方体形盒子模型。聪明的同学们，你能帮助小英设计一下吗？

切合学生生活实际，展示给学生一个自然有趣的问题，激发学生探究热情。

二.动手实践积极探索

①.以学习小组为单位，学生用正方形纸片制作无盖长方体形盒子。

②学生讲述制作过程，展示自己的研究成果。

③.初步发现容积与剪掉小正方形的大小有关。

师：引导学生用一张正方形的纸怎样制作无盖的长方体形盒子。鼓励说生说一说，试一试。
【学生活动】：画一画；剪一剪；折一折。
1．学生讲解制作过程
2．老师展示学生制作的一些盒子：如四边高低不等的；底面不是长方形的等。这些都不符合要求。
3．引导学生说出：剪掉的四个角是大小一样的正方形。

4．同学们举起自己制作的盒子互相比较，发现他们的不同。
5．老师展示各种不同形状大小的盒子，并用细沙让学生填满，然后倒入有刻度的烧杯内，观察长方体盒子的容积大小与剪掉小正方形边长之间的关系。
（各小组间用装细沙的方法验证：用透明胶将长方体粘好，将本组的长方体装满细沙，然后再倒入相邻组制作的长方体中，通过沙的多少来判断无盖长方体的容积的大小。）
让学生通过画、剪、折等亲自动手操作活动，感受纸盒的长、宽、高和原来的纸片的边长以及剪去的小正方形的边长之间的关系，用填细沙的方法看体积，初步体会到剪下的小正方形的边长对长方体的体积有较大的影响，调动学生进入主动学习的状态。
三.数学建模
式子表达
①教师明确要求

②学生小组探究

③小组展示结果
a

师：如果设这张正方形纸的边长为a cm，所折无盖长方体形盒子的高为h cm，你能用a与h来表示这个无盖长方体形盒子的容积吗？（课件展示）

h

a-2h
h
a-2h
h
V

【学生活动】请各组探究后展示结果，各选一名代表为大家讲解
【生1】长方体的体积=底面积×高
即： 
1． 明确v随h的变化而变化。
【生2】体积（ⅴ）随着高度（h）的增大而增大。
【生3】（立即站起）不一定。我取h= 4和5时，发现体积又变小了。
【师】同学们太棒了：你能想到用字母表示数，还能取特殊值求体积。（激励）
以小组为单位，集体探究无盖长方体盒子的容积，体会实际问题转化为数学问题的过程，学会构建数学模型的方法；发现学生会用代数式取特殊值求体积，发现问题的实质，教师适时表扬，给予鼓励。为下一步分割逼近寻找最大值做准备。

四.合作探究分段逼近
①引导学生观察式子，探究h取什么值时，ⅴ最大？
②取h的整数值计算v的值，并观察v的变化，找到最大值.

③讨论v最大时h的取值范围是什么？

④用统计图表示：

④重复上面过程，分段逼近 。

【师】：若a=20cm，h的取值范围是什么?先取哪些值计算ⅴ的值？
【生】：h的取值可在０cm至１０cm之间,为方便计算，h取整数1到9计算ⅴ的值。
师：指导小组合作列表，用计算器进行计算.
h
1
2
3
4
5
6
7
8
8
10
ⅴ

【生】独立完成表格：
h
1
2
3
4
5
6
7
8
8
10
ⅴ
324
512
588
576
500
384
252
128
36
0
【师】：引导学生思考：h取什么值时，v最大？ 应有3种情况：当h=3时，v最大；在整数点的左边v最大；在整数点的右边v最大。
生：计算h=2.9, h=3.1时v的值，综合前面得出结论，v取值在3到4之间v最大.
指导小组合作，选取适当的统计图表示（小组交流后达成共识）
用统计图表示：
【学生活动】自己设计表格，然后借助计算器完成表格并画出统计图：
h
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
ⅴ

【生】：得出当h=3.3时，v最大；得出当h=3.33时，v最大

探究当x取什么值时，v的值最大，归纳出结论；体会分割逼近的思想；体会探究学习的方法。

综合运用所学知识并用统计图表示，清晰可见。
五．分组探究猜想验证
1．将问题由特殊到一般

2.归纳总结

【师】（课件展示）
以四个学习小组为单位，分别完成以下问题研讨。（给学生充分思考时间，师参与学生的活动。）
1.若a=10cm， h= ______  时 ，ⅴ最大；
2.若a=30cm, h= ______  时 ，ⅴ最大；
3.若a=50cm, h=______   时 ，v最大；
……
4.若正方形纸片边长为acm，当h=_____  时，v最大，v最大值为_____
【师】引导小组合作，共同探究，形成结论：（课件展示）
①. 若正方形纸片边长a=10cm,当h=  时 ，v最大；
②. 若正方形纸片边长a=30cm,当h= 5 时 ，v最大；
③. 若正方形纸片边长a=50cm,当h=  时 ，v最大；
……
④若正方形纸片边长为acm，当  时，v最大，v最大值为

熟悉强化探究过程；在教师引导下学生进行不完全归纳，把问题由特殊到一般，结论一般化。

引导学生进行分析、归纳，得出一般结论。

六.回归实际
解决问题

【师】：现在谁能帮小英解决生活中的实际问题呢？
（小组研讨、交流后回答）
【生】：（立即站起、抢答正方形的边长50cm，在四角剪去四个边长为的小正方形，就可以制作符合要求的盒子了。
【师】若小英家的正方形铁皮不知道边长是多少呢？怎么制作符合要求且容积最大。
【生】先量出正方形的边长，在四角剪去四个六分之一边长的正方形就可以制作符合要求的盒子了。

学有所用，前后呼应，体现出数学来源于生活，数学学习为生活服务。

七、总结反思
作业布置

【师】1.本节解决问题的过程和方法是什么?
2.你还有什么疑惑?
（由学生自由谈体会、说感想、讲收获。学生相互补充：
（课件展示）
【归纳总结】
实际问题 抽象成数学问题 建立数学模型 再综合应用所学的知识解决问题。

作业布置：
1.自己任取数值验证课堂上所得结论的正确性。
2.思考：如果把正方形纸片换成矩形纸片，结论又如何？

小结本课的知识要点，反思探究过程中的方法和解决问题中遇到的疑惑。
强化所得结论、方法；启迪学生更多思考。

八.板书设计
教学反思
板书设计：
课题：综合与实践
制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子
1. 制作
方法
步骤

2．容积表达式

3.归纳总结：
若正方形纸片边长为acm，当  时，v最大，v最大值为
学生展示区：

多媒体展示区：

教后反思：
本节“综合与实践”对学生而言是一种全新的学习方式。对本课题的研究，需要学生综合应用已经学习过的图形的展开与折叠、字母表示数、列代数式、求代数式的值以及利用代数式的值去探索代数式所反映的规律等方面的知识和方法。全面调动学生学习的积极性。通过研究这一现实的、有趣的、富有挑战性的课题，让学生了解数形结合的思想，体验数学来源于生活，又为生活服务。本节成功之处：
　　(1)课堂设计以问题引入，生动有趣，层层深入，有效地调动了学生学习的积极性。
　　(2)教学中教师是组织者、合作者、帮助者，充分体现学为主体、教师以引导为主，学生是学习的主体。把课堂时间还给学生，给学生创建一个平等和谐,合作、交流的平台。
　　(3)采用从实际问题中抽象出数学问题―建立数学模型―综合应用已学过的知识解决问题的模式。有效地调动了学生学习的兴趣，让学生独立思考与合作交流相结合，培养了学生的创新思维与实践能力。
　　(4)体现了数学教学中的理论联系实际的原则。
存在问题：在用加逼法求代数式的值考察无盖长方体容积的变化趋势时，学生讨论时间过多，时间把握不是很好。