课题学习--最短路径问题.doc

课题：课题学习——最短路径问题
教 材：义务教育教科书《数学》八年级上册(人民教育出版社)
说课教师：南充市大通中学 白萍
一 教材分析
1、教材地位与作用 最短路径在生活中经常遇到，初学阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”为知识基础，有时还借助轴对称，平移等变换进行研究，体现化归思想，本节课以数学史中一个经典问题将军饮马为知识载体，展开了对最短路径问题的课题研究，将实际问题转化为数学问题，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”“两边之和大于第三边”问题，让学生体会化归思想。
2、教学重难点及关键
重点：利用轴对称的知识解决实际中的最短路径问题.
难点：将“最短路径问题”抽象为线段和最小问题以及最短的证明.
关键：利用轴对称将“最短路径问题”转化为“两点之间，线段最短”.
二 学情分析
1、学习的有利因素：
通过前面几何知识的学习,学生积累了一定的知识基础;有一定的生活经验和直观感受;学生学习积极性较高、求知欲较强、课堂活动参与较主动.
2、学习的不利因素 ：
本节内容是新教材的新增章节, 学生很难将实际问题转化成数学模型;加之,“最短路径问题”从本质上说就是最值问题,作为初中生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手.

三 目标分析
【确定依据】 依据初中数学新课程标准的要求,结合教材分析、学情分析我制定了以下三维教学目标:
1 知识与技能目标 掌握最短的路径问题的分析方法和解决方法。
2 过程与方法目标 体会转化的数学思想，感受轴对称作图在生活中的作用。
3 情感、态度与价值观目标 提高建立数学模型分析问题，解决问题和勇于创新的精神。
四 教学方法
【确定依据】 为实现以上教学目标，结合教学内容和学生的认知水平及充分体现“教师主导，学生主体”的新课标理念，我采用了以下教与学的方法：
教学方法 激趣教学法、引导教学法、发现教学法
学习方法 自主学习法、合作学习法、探究学习法
五 教学过程
【确定依据】为充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位，我设计了以下六个教学环节：
分层作业因材施教
梳理知识形成系统
走进中考提升自我
拓展能力变式探究
合作探究发现方法
创设情境导入新课

1 创设情境 导入课题（2分钟）
(1)如图,牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，牧马人到河边什么地方饮马，可使他所走的路线最短?为什么?
(2)牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后回到B地.牧马人到河边什么地方饮马,可使他所走的路线全程最短?为什么?（河的宽度不计）

【设计意图】通过创设情景使学生以轻松愉快的心情进入了本节课的学习,既达到复习旧知的目的,又让学生体会到数学来源于生活,并服务于生活,同时让学生对新知识的学习有了期待,为顺利完成教学任务作知识上的准备.
2 合作探究 发现方法（15分钟）
问题1:相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:如图,从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
A
B

【设计意图】美国教育学家布鲁纳说:“探索是教学的生命线.”故我将书中的问题1设计成探究活动.通过创设情境,激发学生的求知欲,使学生急于想知道解决“最短路径问题”的方法,让学生进入愤悱状态.
教师引导：在学生合作探究过程中我充分发挥教师的主导作用,引导学生用数学语言将实际问题抽象成数学模型,即:将A、B两地抽象成两个点,将河l抽象成一条直线,设C为直线上一个动点.将问题转化为:当点C在直线l的什么位置的时,AC与BC的和最小?并引导他们通过观察、比较、分析,将该问题转化成他们学过并熟悉的知识和方法.
学生活动:学生通过合作、交流得出解决“最短路径问题”的方法,并进行展示.

师生合作:写出作法:(1)作点A关于直线l的对称点A';

(2)连接A'B，与直线l相交于点C.
则点C即为所求.
【设计意图】通过本环节的探究活动,培养学生分析、抽象、比较、猜想的能力,体会研究数学的方法和轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想.
追问:在问题1中,你能用所学的知识证明C点的位置即为所求吗?
【设计意图】该问题的设立是为了进一步让学生体会做法的正确性,提高学生逻辑思维能力.
教师引导：在直线l上另取一点C',连接AC',BC',A'C',证明AC+CB＜AC'+C'B.
学生活动:学生独立完成证明过程,并进行展示.
c'

证明:在直线l上另取一点C',连接AC'、BC'、A'C'.
由轴对称的性质可知, AC=A'C, AC'=A'C'.
∴ AC+CB=A'C+CB=A'B, AC'+C'B=A'C'+C'B.
在△A'BC'中,A'B＜A'C'+C'B,
∴AC+CB＜AC'+C'B.
即AC+CB最短.
追问:回顾前面整个探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么方法解决问题的?
师生合作:学生思考作答，教师归纳提升.
归纳：轴对称
两点一线同侧
两点一线两侧

【设计意图】培养学生的归纳能力,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想.
3 拓展能力 变式探究（14分钟）
变式1:如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一牧马,再到河边饮马,然后回到A处,请画出最短路径.

教师引导：在学生探究活动中,我将进一步引导学生将实际问题抽象成数学模型,并将该问题转化成“问题1”中“两点一线同侧”的情景,即:在直线MN的上方找到一个点A1,使得点A与点A1到直线MN上任意一点的距离始终相等.并借鉴“问题1”的方法解决“变式1”.
学生活动：学生尝试画图、合作交流得出解决问题的方法，并展示结果.

作法:(1)分别作点A关于直线MN、NP的对称点A1、A2;
(2)连接A1A2,与直线MN、NP分别相交于点C、D.
则点C、D即为所求.
引导学生归纳：轴对称
一点两线
两点一线两侧

追问：如果这里的牧马人和帐篷不在同一点又怎么解决呢?
变式2:如图:牧马人从A地出发,先到草地边某处牧马,再到河边饮马,然后回到B处,请画出最短路径.

教师引导：引导学生借鉴“问题1”与“变式1”的方法解决“变式2”.
学生活动：学生尝试画图、合作交流得出解决问题的方法，并展示结果.

作法:(1)作点A关于直线MN的对称点A',作点B关于直线NP的对称点B';
(2)连接A'B',与直线MN、NP分别相交于点C、D.
则点C、D即为所求.
引导学生归纳：轴对称
两点两线
两点一线两侧

【设计意图】通过本环节的探究活动,进一步培养学生分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识,深刻体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想.
4 走进中考 提升自我（6分钟）
1、（2011•庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场,
使飞机场到A、B两个城市的距离之和最小,请作出机场的位置．

2、（2012•凉山州）如图在△ABC中,点D、E分别是AB、
AC边的点,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小
（保留作图痕迹,不写作法）．

【设计意图】通过中考真题练习,检测学生对新知识的掌握情况,注重知识间的灵活运用,达到巩固,消化新知识和拓展学生思维的目的.让学生享受成功带来的乐趣,建立学好数学的信心.
D
思 考 题
1、 （2012•鄂州）在△ABC中,AB=AC,AD平分∠CAB,N点是AC
上的一定点,M是AD上一动点,要使MC+MN最小,请找点M的位置.

2、 (2012•兰州)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=
∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使三角形AMN周长最小
时,求∠AMN+∠ANM的度数．

【设计意图】两道思考题的设置是为了让学优生在完成“走进中考”后有事可做,也为他们课后的进一步学习提供有利条件.
5 梳理知识 形成系统（2分钟）
（1）这节课我们学习了哪些内容呢？（最短路径问题及其应用）
（2）解决本节课问题的关键是什么？（利用轴对称知识将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”）
（3）你从本节课中还收获到了什么？
【设计意图】通过画龙点睛,提纲挈领的小结，将所学知识纳入学生已有的知识系统之中，形成学生自己的认知结构.突出重点,抓住关键,培养学生概括能力.
6 分层作业 因材施教（1分钟）
【设计意图】数学新课程理念指出要让：“不同的人在数学上得到不同的发展.”故我将作业设计成：
必做题：
1、 （2007•山西）如图,直线l是一条河,欲在l上的某点M处
修建一个水泵站,分别向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图
中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是（　　）

A. B． C． D．
2、 如图,点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2,连接P1P2,交
OA于M,交OB于N,若P1P2=18,则△PMN的周长为 .

选做题：思考题第1题.
加分题：思考题第2题.
六 板书设计

七 教学反思
本课值得肯定的
1、创造性地使用教材,从引入到变式探究的过程中,通过不断改变牧马人的位置设置问题,步步深入,形成一个系统,贯穿整节课堂,使学生感受到数学的实用价值,较好地完成了课前预设的目标.
A
B

2、在教学活动中,充分了发挥教师主导、学生主体作用,真正做到“学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者、合作者”,重视“学生的主体参与,师生互动”,课堂气氛活跃.改变了传统教学的注入式、重教轻学、重结论轻过程的做法,体现了“把课堂还给学生”的新课标理念.
本课存在的不足
1、“变式探究”中没有涉及证明所求路径最短,虽课堂时间有限,但也可留作思考让学生课后解决.
2、对于三个探究的归纳具有局限性,若改成“动点”与“定点”之间的关系更为恰当.
3、作为年轻教师,课堂语言不够精炼,仍需加强.

教学设计说明
本节课的教学设计充分发挥新课程理念的指导作用.教学的“基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展”,为此设立了三维教学目标.在教学活动中,充分发挥教师主导、学生主体作用,真正做到“学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者、合作者”,重视“学生的主体参与,师生互动”.改变传统教学的注入式、重教轻学、重结论轻过程的做法,教师“创造性地进行教学,有利于改进学生的学习方式”,“鼓励学生自主探究,并在独立思考的基础上进行合作交流”.改过去以教为主、以教定学、学生适应教师的作法为以学为主、以学定教、以学反思教、教师适应学生的作法.
在教材处理上,改变过去的“教教材”为现在的“用教材教”,做到“创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,为学生提供丰富多彩的学习素材”.例如,通过创设情景,将教材中的问题1设计成探究活动,并立足该情景将情节进行改编,形成不同的问题,贯穿整节课堂,充分调动学生学习的积极性，“注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生感到数学就在自己身边,数学的应用无处不在”.让学生感受到数学的实用价值.
改革传统教学模式,优化教学结构,提高教学效益.设计的六个教学环节由浅入深,环环相扣,逻辑性强,符合学生的心理特点、认知规律,便于学生学习.
重视数学思想方法的教学.例如,要解决“最短路径问题”,需利用轴对称知识将问题转化成“两点之间,线段最短”;要证所求路径最短,需在直线上另取一点.强调转化思想方法的重要性和重视培养学生的逻辑思维能力.
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课后作业设计分层次要求,因材施教,体现“不同的人在数学上得到不同的发展”.

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