1、距离最值（最小）问题
图1
问题1：（图1）小河（直线l）表示，A点B点为河同一
侧的两个点，请在河上找到一点P,使PA+PB的
长度最短？
答案：（图2）作点B关于直线的轴对称点B’,连接点A和点
图2
B’，交直线于点P，则点P为所求点。（理由：因为 B. B’关于直线l轴对称，所以PB=PB’，而两点之间，线段
最短，所以AB’=AP+B’P‘即AB’=AP+BP）
问题2：（图3）在菱形ABCD中，边长AB=4，∠D=120º，E
为AB 边上的中点，P为对角线上一动点，连接PB PE,
2、
图3
则△PBE周长最短为多少?
图4
答案：(图 4)∵菱形ABCD的对角线互相平分且垂直∴点B关 于AC的对称点为点D，则线段DE 与对角线AC交点为点P.此时△PBE周长最短。而菱形AD=AB=4 ∠ADC=120º,那么∠DAB=60º，△ABD为等边三角形，又E为中点，
据三线合一，得Rt△DEF,据勾股定理，
△得DE=，∴△PBE的周长=PB+PE+BE=DE+ER=2+.
问题3：（图5）△ABC中，CA=CB=2，∠C=90º,点D为边BC的
中点，P为斜边AB上的一个动点，连接PC和
3、PD，使PC+PD
值最大，试求最大值为多少？
图5
答案：（图6）做点C关于AB的对称点C’,连接C’D交边与点
P，则C’D=PC+PD最短。理由：∵C’C关于岸边对称，
CA=CB, ∴得正方形ACBC’,D为中点，在Rt△C’DB中， DB=1，C’B=2，据沟谷定理，得C’D=,
故PD+PC=C’D=图6
为最短。
问题4：(图 7)在四边形ABCD中找一点P,是的P和四个
顶点所连线段距离最短。
图7
答案：（图8）连接对角线AC和BD,交点为P,因为两点之间，
线段最短。图8
则AP+C
4、P+BP+DP=AC+BP.所以对角线交点为所 求点。
问题5：（图9）点A和点B为于直线l的两侧，请在直线上
找到一点P，使得PA+PB最短。
图9
答案;（图10）连接AB,交直线与点P,则点P为所求点。理由：
两点之间，线段最短，故PA+PB=AB最短.
图10
问题6：（图11）∠AOB=45º 射线OP为角内一条射线，P
为OP上一点且OP=2，请在OA OB上找到点C D,
使得△ACD周长最短,试求之。
图11
答案：（图12）做点P关于OA和OB的对称点P’和P”，连接P
5、’ P”，交OA OB
于C D点，则P’ P”=PC+CD+PD(△ACD周长最短).理由：
∵PP’ P P”成轴对称，故CP=CP’DP=DP”,而
DP=CP’+CD+DP”=CP+CD+DP
图12
∠COP’=∠COP ∠DOP”=∠DOP
∴∠P’OP”=2∠AOB=90ºOP’=OP=OP”=2,根据勾股定理
，P’P”=2，即△ACD周长=2。
在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A(1,0)，B(2,0)是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为
已知圆内接矩形ABCD,圆的半径为2，A8=2，E.F为AC.CD上的两点，且CF=AE,连接BE.BF，则BE+BF的最小值是多少？
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