1、
圆锥曲线中求有关定值和定点的问题
一、定值问题
1.已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线， 的斜率分别为，，求证：为定值.
2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．
2、
二、定点问题
1.已知直线的方程为，证明直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。
2.已知椭圆的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆与M,N两点。
（1） 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2） 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否恒过x轴上的一定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭C :的离心率为，过点与的直线与原点的距离为，直线交椭圆于两点，过点作直线与椭
3、圆的另一个交点为,与直线的交点为,过点作直线的垂线.
（1）求椭圆的方程。
（2）设直线与的斜率分别为，，求证：
（3）证明：直线恒过一定点
三、圆锥曲线中的最值、范围问题
1.如图，已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A,B是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为．
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 若点是椭圆上的任意一点，和是椭圆的左右两个焦点，求的取值范围。
（3） 设点E(3，0)，点P,Q是椭圆C上的两个
4、动点，若的取值范围．
Q
P
A
E
巩固练习
1.已知椭圆C：经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求证：为定值．
2.如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线与分别于抛物线交于点
(1) 求的值；
(2) 记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值.
F
B
A
P
M
N
3.如图，椭圆E：:过点P，其左焦点为，右焦点为，离心率，M,N是椭圆右准线上的两个动点，且
o
y
x
F1
F2
M
N
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求MN的最小值
4.已知椭圆的左焦点,长轴长与短轴长的比为
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过F1作两直线m,n交椭圆与A,B,C,D，若,求：为定值．
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