随机变量及其分布综合检测.doc

随机变量及其分布综合检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（　　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

2．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝(　　)
A．2　　　　 B．8　　　　 C．18　　　　 D．20
3．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是(　　)
A．50， B．60， C．50， D．60，.
4．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是(　　)
A．68.26% B．95.44% C．99.74% D．31.74%

5．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（　　）
Ａ．甲学科总体的方差最小
Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中
Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同

6．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为(　　)
A．0.9 B．0.2 C．0.7 D．0.5
8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)
A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的
9．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2.又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)
A. B. C. D．3
10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是(　　)
自然状况

A1
A2
A3
A4
S1
0.25
50
70
－20
98
S2
0.30
65
26
52
82
S3
0.45
26
16
78
－10
A.A1 B．A2 C．A3 D．A4

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．)
11．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.
12．一离散型随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
且E(X)＝1.5，则a－b＝________.
13．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E(ξ)________(结果用最简分数表示)
14.在高三某个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B则P(X＝k)＝Ck·5－k取最大值时k的值为________
15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．

17．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．
(1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
(3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．

18．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，
Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．

19．(本题满分12分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．

20.(本题满分13分)坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．

21．(本题满分14分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求甲同学能进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.

参考答案
一、选择题：
1、D 2、C 3、B 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、D 10、C
二、填空题：
11、 12、0 13、 14、1 15、②④
三、解答题：
16. [解析]　取球次数X是一个随机变量，X的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X的均值和方差，可先求X的分布列．
P(X＝1)＝＝0.2，
P(X＝2)＝×＝0.2，
P(X＝3)＝××＝0.2，
P(X＝4)＝×××＝0.2，
P(X＝5)＝××××＝0.2.
于是，我们得到随机变量X的分布列
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由随机变量的均值和方差的定义可求得：
E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2
＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
D(X)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.
17. [解析]　(1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝，
所以甲坑不需要补种的概率为1－＝＝0.875.
(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
C××2≈0.041.
(3)因为3个坑都不需要补种的概率为3，所以有坑需要补种的概率为1－3≈0.330.

18. [解析]　分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2A3.
Ⅰ.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
P(E)＝P(A1··)＋P(·A2·)＋P(··A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.
Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以X～B(3,0.3)，故E(X)＝np＝3×0.3＝0.9.
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则
P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，
所以P(X＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，
P(X＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441，
P(X＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，
P(X＝3)＝0.33＝0.027.
于是，E(X)＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.

19. [解析]　(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝＝.
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝＝.
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝.
(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝＝.所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝，X的分布列为：
X
1
2
P

20. [解析]　设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A＝20.
又μ(A)＝A×A＝12.于是P(A)＝＝＝.
(2)因为μ(AB)＝A＝6，所以P(AB)＝＝＝.
(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)＝＝＝.
解法二：因为μ(AB)＝6，μ(A)＝12，所以P(B|A)
＝＝＝.

21.[解析]　(1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1－×＋××＋××＝.
(2)ξ可能取2,3,4，则
P(ξ＝2)＝×＝；P(ξ＝3)＝××＋××＝；
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝，
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P(ξ)

数学期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.