几何概型定案.doc

教学课题
3.3.1 几何概型

授课年级
高 一（115）
授课类型
新授课
教
学
目
标
知识与技
能目标
(1)了解几何概型的概念
(2)会用公式求解随机事件的概率
过程与方
法目标
通过试验，将已学过计算概率的方法做对比，提出新问题，师生共同探究，引导学生继续对概率的另一类问题进行思考，分析，进而提出可行性解决问题的建议或想法。
情感态度与价值观目标
通过试验，感知生活中的学习，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，增强学生思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。
教学重点
了解几何概型的概念，特点及会利用几何概型概率公式求解随机事件的概率。
教学难点
如何判断一个试验是否为几何概型，弄清在一个几何概型中构成事件A的区域和试验的全部结果所构成的区域的几何度量。
教学方法
引导发现和归纳概括
教学用具
绳子，水杯，图片

教
学
流
程
1
提出问题

引出新课

2
思考交流

形成概念

3
类比
归纳

得出公式

4
例题分析

推广应用
5
总结概括

加深理解

导入：
前面我们学习了一种解决一类概率问题的模型，那就是古典概型。现在请同学们利用已经学过的知识解决下面两个概率问题。
问题1：在区间[0,5]上任取一个整数，取在区间[1,3]上的概率为多少？
问题2：在区间[0,5]上任取一个实数，取在区间[1,3]上的概率为多少？
我们首先看问题1，要解决这个概率问题我们首先要判断它是否为古典概型，同样对于问题2我们首要判断它是否为古典概型，大家判断之后发现不是，那么我们怎么解决这个概率问题呢？其实这就是我们今天要学习的另一种概率模型，我们称为几何概率模型，简称几何概型。
什么是几何概型呢？接下来我们就通过下面的3个问题来了解一下几何概型的有关知识，首先请同学们看这三个试验（展示教具绳子，正方形，杯子）接下来请同学们打开学案完成问题1中的表格.
请同学们先独立完成，然后小组讨论，完成下面这个表格。
一
思考交流

形成概念

问题1：根据以前学习的内容，小组讨论，完成下表.

试验
试验结果能否一一罗列？若不能，则所有的试验结果构成一个什么图形？
试验一
取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断
不能 线段
试验二
取一个边长为20cm的正方形及其内切圆，向正方形里随机丢一粒豆子
不能 正方形的面
试验三
在500ml的水杯中放有一个微生物，在显微镜的观察下，此时微生物的位置。
不能 圆柱体
我们发现这三个试验的试验结果都不能一一罗列，但是每个试验的所有试验结果都可以构成一个图形，试验一中试验的所有结果构成一个线段，“线段”与“长度”有关。试验二中试验的所有结果构成一个正方形的面，“面”与“面积”有关。试验三中试验的所有结果构成一个圆柱体，“圆柱体”与“体积”有关。因而我们可以得到这样一个结论，当试验的结果无法一一罗列，首要考虑的就是所有试验结果构成的图形是否与“长度，面积，体积”有关

1.结论：当试验的结果无法一一罗列，首要考虑的就是所有试验结果构成的图形是否与“长度，面积，体积”有关

同样是这三个试验，那么接下来请同学们根据问题1的解题思路，阅读下面三个试验来完成问题2中表格的前一个问题，我们给出了三个试验以及三个随机事件，求随机事件的概率。
问题2：阅读三个试验，完成表格。
试验一：取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，问剪得两段的长都不小于1m的概率为多少？记“在绳子上任意位置剪断剪得绳子两段的长都不小于1m” 为事件A
试验二：取一个边长为20cm的正方形及其内切圆，现随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率为多少？记“向正方形里丢一粒豆子恰好落入圆内”为事件A
试验三：在一个500ml的水杯中有一个微生物，现从中随机取出0.2ml的水样放到显微镜下观察，求在水样中发现微生物的概率为多少？记“恰好在水样中发现微生物”为事件A

试验
事件A包含的基本事件能否一一罗列？若不能，则事件A包含的所有基本事件构成一个什么图形？
类比古典概型，猜测每个试验
中事件A发生的概率
试验一
不能 线段
P(A)=
试验二
不能 圆的面
P(A)=
试验三
不能 圆柱体
P(A)=

至于我们猜测的对不对，大家可以看我们的试验二，我们发现在试验二中，向正方形里丢一粒豆子，恰好丢在圆里的概率就跟圆的面积占正方形面积的比值有关，而与圆的位置及形状无关，同样类比可以发现试验一和试验三分别是长度比和体积比，换句话说也就是事件A发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，这样的概率模型就称作是几何概率模型，简称几何概型。

2.几何概型的定义：事件A发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，这样的概率模型就称作是几何概率模型，简称几何概型。

清楚了几何概型的定义之后，有些同学可能会把几何概型和咱们刚刚学习过的古典概型相混淆，那么我们有必要对这两种模型进行比较，寻找一下这两者之间的不同和相同之处。请同学们类比古典概型完成我们的问题3

问题3：类比归纳，完成表格，总结特点及公式。

二
类比归纳

得出公式

古典概型
几何概型
基本事件的个数
有限个
无限个
基本事件发生的可能性
等可能
等可能
概率公式P(A)=

3.几何概型的特点：
⑴ 无限性
⑵ 等可能性
4.几何概型计算概率公式
P（A）=

5.概括几何概型解题步骤
⑴ 判断是否为几何概型
⑵ 找出试验所有结果构成的区域长度（面积或体积）及构成事件A的区域长度（面积或体积）
⑶ 利用公式计算

清楚了几何概型的概率公式，那么我们现在返回去看一下我们刚才的问题2，请看黑板上遗留的问题。

三例题分析

推广应用
问题2 ：
在区间[0,5]上任取一个实数，取到区间[1,3]上的概率为多少？
① 这是几何概型吗？
是

②试验的全部结果构成的图形和构成事件A的图形是什么？
长度为5的线段和长度为2的线段

③计算事件A的概率。
P(A) =

解：记 “在区间[0,5]上取实数取到区间[1,3]上”为事件A

事件A发生恰好是取到[1,3]上的任何一个实数，试验结果是无限个，且取到任何一个实数都是等可能的，所以是几何概型

事件A 的所有试验结果构成了一个长度为3的线段，试验的所有结果构成一个长度为5的线段

所以P(A)=
例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，问他等待的时间不多于10分钟的概率为多大？

分析：因为电台每隔1小时报时一次，他在0—60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，这符合几何概型。

解：设A={等待的时间不多于10分钟}。我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，因此几何概型的求概率的公式得
P(A)=

练习：一海豚在水中自由游弋，水池长30m,宽20m的长方形，问海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率？

解：

四
总结概括

加深理解
1． 你今天学到的知识点：
知识点
几何概型
定义

基本
特点

概率
公式

2． 本节重难点及思想：
(1) 重点：正确判断几何概型及会利用几何概型概率公式计算随机事件的概率
（2）难点：构造试验全部的结果构成的几何区域
（3）思想：数形结合和转化思想
五布置作业
教材 习题3.3 A题1, 2, 3题

六
板书设计
几何概型
1. 定义
事件发生的概率
只与构成该事件
区域的长度（面积
或体积）成比例，
则称这样的概
率模型为几何概型
2. 特点
①试验包含的基
本事件是无限个
②每个基本事件
发生的可能性相等
3. 公式

4.解题步骤

5. 例题
例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，问他等待的时间不多于10分钟的概率为多大？
解：设A={等待的时间不多于10分钟}。我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，因此几何概型的求概率的公式得
P(A)=
（学生板书）
练习：一海豚在水中自由游弋，水池长30m,宽20m的长方形，问海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率？

问题2的解答
问题2 ：
在区间[0,5]上任取一个实数，取到区间[1,3]上的概率为多少？
解：记 “在区间[0,5]上任意取一个实数取到区间[1,3]上”为事件A
在区间[0,5]上任取一个实数是这个试验的一个结果，而区间上的实数是无限个，所以
试验的所有结果是无限个，且取到任何一个实数都是等可能的，所以是几何概型
事件A 的所有试验结果构成了一个长度为3的线段，试验的所有结果构成一个长度为5的线段

所以P(A)=

课堂检测
1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于3m的概率为 （20分）
2.已知1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是 （20分）
3.如下图1和图2所示，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率为 和 （30分）
图 1
图 2

4.如图3和图4所示，有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。在这两种情况下分别求甲获胜的概率为 和 （30分）
图 4

图 3

附加题：
5.在等腰三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.

7