第二课时：充分条件与必要条件.doc

充分条件与必要条件
教学目标：使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．在师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．
教学重点：充分不必要条件、必要不充分条件的概念；
教学难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件
教学过程：
一、复习四种命题形式：

二、回忆型练习：
练习1．前面讨论了“若，则”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？
（1）若x＝y，则x2＝y2
（2）若ab = 0，则a = 0
（3）若x2>1，则x>1教学说明：本小题要求说出另外三种命题形式，并判定真假。
（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
引入新符号：推断符号“”的含义
“若则”为真，是指由经过推理可以得出，也就是说，如果成立，那么一定成立，记作，或者；如果由推不出，命题为假，记作.
简单地说，“若则”为真，记作（或）；
“若则”为假，记作（或）.
非可以记为
练习2 ．利用符号表示“若则”的逆命题、否命题和逆否命题。
命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出，即如果p成立，那么一定成立，此时可记作“p”，命题(2)、（3）为假，是由经过推理得不出，即如果成立，推不出成立，此时可记作“”。
练习3 ．命题①，命题②分别表示什么意思？并判定它们的真假。
说明： (1)“”表示“若则”为真，可以解释为：如果具备了条件，就有足够的、充分的理由说明成立，即表示“蕴含”。
(2)“”表示“若则”为假，可以解释为：如果具备了条件，仍然不足以说明成立，即可能成立，也可能不成立。教学：导入充分条件的概念
三、新课：充分条件与必要条件
1.什么是充分条件？什么是必要条件？
一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件；并且是的必要条件；
如果已知，且，那么就说：是的充分且必要条件，简记充要条件；
如果已知，那么就说：不是的充分条件；不是的必要条件；
回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.
命题(1)中因x＝y x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2x＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；
命题(2)中因a = 0 ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 0”的必要条件；
命题(3)中，因“x>1x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件. x2>1 x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件.
命题4)中，因x＝1或x＝2 x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件.
由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
(1)充分不必要条件，即，而.
(2)必要不充分条件，即：，而.
(3)既充分又必要条件，即，又有.
(4)既不充分又不必要条件，即，又有.
2.充分条件与必要条件的判断
（1）直接利用定义判断：即“若成立，则是的充分条件，是的必要条件”.（条件与结论是相对的）
（2）利用等价命题关系判断：“”的等价命题是“”。即“若┐┐成立，则是的充分条件，是的必要条件”。
五、巩固运用
例1 指出下列各组命题中，是的什么条件，是的什么条件：
（1） ：x-1=0；：(x-1)(x+2)=0.
（2） ：两条直线平行；：内错角相等.
（3） ：a>b；：a2>b2
（4）：四边形的四条边相等；：四边形是正四边形.
分析：可根据“若则”与“若则”的真假进行判断.
解：⑴由，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知是的充分条件，是的必要条件.
⑵由，即两条直线平行内错角相等，知是的充要条件，是的充要条件；
⑶由，即a>b a2>b2，知不是的充分条件不是的必要条件； ，即a2>b2a>b，知不是的充分条件，不是的必要条件.
综述：是的既不充分条件又不必要条件。
⑷由，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知是的充分条件，是的必要条件. 由，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知不是的充分条件，不是的必要条件；
综述：是的必要不充分条件。
以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.
例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
教学：引入从集合角度思考充要性的方法
解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.
先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”它符合上述的“若则”为真（即）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非则非”为真（即┐┐）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
给定两个条件, ，要判断是的什么条件，也可考虑集合：A={x |x满足条件},B={x |x满足条件}
①AB,则为的充分条件，为的必要条件；
②BA, 则为的充要条件，为的充要条件；
六、回顾反思
本节主要学习了推断符号“” 和非符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.
（1）若（或若┐┐），则是的充分条件；若（或若┐┐），则是的必要条件.
（2）条件是相互的；
（3）是的什么条件，有四种回答方式：
①是的充分而不必要条件；②是的必要而不充分条件；[来源:学+科+网]
③是的充要条件； ④是的既不充分也不必要条件。
七、课后练习
1．用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数的 条件；
②“x＞5”是“x＞3”的 条件；
③“x3”是“|x|3”的 条件；
④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；
⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；
⑥对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 条件；
2．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．
4．是的什么条件?并说明理由.
5．已知∶x2-8x-20＞0，q∶x2-2x+1-a2＞0。若是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.
6．，是的充分条件，还是必要条件？充要条件？
八、参考答案：
1．①充分 ②充分 ③充分 ④充分 ⑤必要 ⑥必要 2．A 3．充分
4．解： 但反之却不一定成立。例如取α=1,β=5,显然满足
但不满足所以是的必要但不充分条件.
5．解：∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0
如图，依题意，，但不能推出，说明AB，则有
解得0＜a≤3.
6． 充分不必要条件