第一章集合与常用逻辑用语复习讲解.doc

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第一篇　教材复习讲义篇

第1节　集　合
◆考纲·了然于胸◆
1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

[要点梳理]
1．集合的概念与表示
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈或∉.
(3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图．
(4)常见集合的符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
C

2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A⊆B，B⊆A⇔A＝B
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A中任意一元素均为集合B的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素
AB或BA
空集
空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集
∅⊆A，∅B(B≠∅)
3．集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形

符号
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
质疑探究：对于集合A、B，若A∪B⊆A∩B，那么A与B之间有什么关系？
提示：因为A∪B⊆A∩B，从而有A∩B＝A∪B，所以必有A＝B.
4．集合的运算性质
并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：A∪∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.
[小题查验]
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于(　　)
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
2．(2016·宁德质检)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．(2015·新课标卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
4．给出下列命题：
①空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．②a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.
③N⊆N*⊆Z ④(A∩B)⊆(A∪B)，(∁UA)∪A＝U.其中真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
5．(2016·中原名校联盟一模)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.

考点一　集合的基本概念(基础型考点——自主练透)
[方法链接]
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．
[题组集训]
1．(2016·洛阳统考)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为(　　)
A．3 B．6 C．8 D．9
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝______________.
3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为____________．
考点二　集合间的基本关系(重点型考点——师生共研)
【例】　(1)(2016·临沂模拟)已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是(　　)
A．{－1}　　　　 B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
互动探究　本例(1)中若A＝{x|ax＞1(a≠0)}，B＝{x|x2－1＞0}，其它条件不变，则a的取值范围是________．
【名师说“法”】
(1)由集合的关系求参数的关键点：由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．
(2)解决集合相等问题的一般思路：若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解．
提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．
跟踪训练
(1)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有(　　)
A．1个　　 B．2个　　　 C．3个　　 D．4个
(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
考点三　集合的基本运算高频型考点——全面发掘)
[考情聚焦]
角度一　求交集
1．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝(　　)
A．{－1,0} B．{0,1} C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
角度二　求并集
2．(2016·南昌模拟)集合M＝{x|x2＋px＋2＝0}，N＝{x|x2＋x－q＝0}，M∩N＝{2}，则M∪N＝(　　)
A．{1,2，－3} B．{1,2,3} C．{1，－2,3} D．{－1,2,3}
角度三　集合的交、并、补的综合运算
3．(2016·湖州模拟)已知全集为R，集合A＝{x|ex≥1}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤3} C．{x|0≤x＜1或x＞3} D．{x|0＜x≤1或x≥3}
角度四　利用集合的基本运算求参数的取值(范围)
4．(2016·宁波模拟)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是________．
[通关锦囊]
集合基本运算的常见题型与破解策略：
重点题型
破解策略
求并集、交集或补集
一般是先解方程或不等式化简集合，再由并集、交集或补集的定义求解
交、并、补的混合运算
先算括号里面的，再按运算的顺序求解
利用集合的基本运算求参数的取值(范围)
数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等.
[题组集训]
1．(2016·广东七校联考)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(　　)
A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]
2．(2016·济南模拟)已知集合P＝{log2x4,3}，Q＝{x，y}，若P∩Q＝{2}，则P∪Q等于(　　)
A．{2,3} B．{1,2,3} C．{1，－1,2,3} D．{2,3，x，y}
3．(2016·宜宾模拟)已知集合M＝{y|y＝x2－2}，集合N＝{x|y＝x2－2}，则有(　　)
A．M＝N B．M∩(∁RN)＝∅ C．N∩(∁RM)＝∅ D．N⊆M

创新探究1　以集合为载体的创新型问题
以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
典例　(2016·揭阳校级三模)对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：
(Ⅰ)∀a，b∈A，都有a⊕b∈A (Ⅱ)∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a；
(Ⅲ)∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′＝a′⊕a＝e；(Ⅳ)∀a，b，c∈A，都有(a⊕b)⊕c＝a⊕(b⊕c)，
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”；
①A＝{整数}，运算“⊕”为普通加法；②A＝{复数}，运算“⊕”为普通减法；
③A＝{正实数}，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
即时突破　(2016·潍坊模拟)设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：
(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a#b)#c＝a#(b#c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a#b∈M.则称M对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为___________________．
①{－2，－1,1,2}， ②{1，－1,0}，③Z， ④Q.
[课堂小结]
【方法与技巧】
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
【失误与防范】
1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．
课时活页作业(一)
[基础训练组]
1．(2016·赤峰模拟)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　)
A．∅ B．{2} C．{0} D．{－2}
2．(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩∁UB＝(　　)
A．{3} B．{2,5} C．{1,4,6} D．{2,3,5}
3．设集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于(　　)
A．R B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．∅
4．(2016·西安一模)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5．(2016·济南模拟)已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|y＝lg(x2＋x)}，设U＝R，则A∩(∁UB)等于(　　)
A．[3，＋∞)　　　B．(－1,0] C．(3，＋∞) D．[－1,0]
6．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
7．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
8．(2016·南充调研)已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．
9．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.
10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
[能力提升组]
11．已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}
12．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P*Q中元素的个数是(　　)A．2 B．3 C．4 D．5
13．(2016·广东二模)已知非空集合M和N，规定M－N＝{x|x∈M且x∉N}，那么M－(M－N)等于(　　)
A．M∪N B．M∩N C．M D．N
14．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.
15．(2016·福州月考)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
第2节　命题与命题的四种形式、充分条件与必要条件
◆考纲·了然于胸◆
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．

[要点梳理]
1．命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．命题的四种形式及真假关系

互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．
质疑探究：一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？
提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论而这个命题的否定仅是否定它的结论．
3．充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
pq且qp
[小题查验]
1．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　)
A．“若x＜y，则x2＜y2”　 B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
2．(2015·高考浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)A．0个　　 B．1个 C．2个　　 D．3个
4．“x＞2”是“＜”的________条件．
5．下列命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b； ②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．

考点一　命题的四种形式及其关系(基础型考点——自主练透)

[方法链接]
1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
2．命题真假的判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．
[题组集训]
1．命题“若a＜0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是(　　)
A．0 B．2 C．4 D．不确定
2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确的命题的序号)．
①“若log2a＞0，则函数f(x)＝log2x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
考点二　充分条件、必要条件与充要条件的判断(高频型考点——全面发掘)
[考情聚焦]
充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点．常以选择题、填空题的形式出现，作为一个重要载体，考查的数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面，如函数、不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等.
角度一　与不等式相关的充分必要条件的判断
1．(2015·高考天津卷)若x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
角度二　与平面向量相关的充分必要条件的判断
2．(2016·福建质检)已知向量a＝(m2,4)，b＝(1,1)，则“m＝－2”是“a∥b”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
角度三　与三角相关的充分必要条件的判断
3．(2016·石家庄一模)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
角度四　与立体几何相关的充分必要条件的判断
4．已知a，b，c是实数，则b2≠ac是a，b，c不成等比数列的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
角度五　与立体几何相关的充分必要条件的判断
5．(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[通关锦囊]
充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：
常见题型
求解策略
与不等式相关的充分必要条件的判断
可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，根据集合与充要条件之间的关系进行判断
与平面向量相关的充分必要条件的判断
该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件，可把问题转化为有关向量之间的推理
与三角相关的充分必要条件的判断
熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键
与数列相关的充分必要条件的判断
熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性an与Sn的关系
与立体几何相关的充分必要条件的判断
可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断
与解析几何相关的充分必要条件的判断
首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲线的位置关系，然后弄清题意进行判断
提醒：解答充分条件、必要条件的判断题，必须从正、逆两个方面进行判断．
[题组集训]
1．(2016·济南模拟)设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
考点三　利用充要条件求参数的取值(范围)(重点型考点——师生共研)
【例】　(1)(2016·临沂模拟)已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)＞0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
(2)已知条件p：≤－1，条件q：x2＋x＜a2－a，且非q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是(　　)
A. B. C．[－1,2] D.∪[2，＋∞)
互动探究　本例(1)中，若p：－2＜x＜10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是________．
【名师说“法”】
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练
已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1＜a＜6 B．－1≤a≤6 C．a＜－1或a＞6 D．a≤－1或a≥6

思想方法1　等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例　已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且非p是非q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．
即时突破　已知不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是________．
[课堂小结]
【方法与技巧】
1．当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．
2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．
3．命题的充要关系的判断方法
(1)定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性．
(2)等价法：p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件．
(3)利用集合间的包含关系判断：建立命题p，q相应的集合：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，转化为判定A与B间的关系．
【失误与防范】
(1)判断命题的真假及写命题的四种形式时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．
(2)判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．
课时活页作业(二)
[基础训练组]
1．(2015·高考山东卷)若m∈R，命题若“m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2．(2016·温州调研)已知a，b∈R，则“a＝b”是“＝”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2014·新课标高考全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)
A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4　 B．a≤4　 C．a≥5　 D．a≤5
5．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(2016·南昌模拟)下列选项中正确的是(　　)
A．若x＞0，且x≠1，则ln x＋≥2
B．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件
C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”
D．若命题p为真命题，则其否命题为假命题
7．若“x∈[2,5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．
8．(2016·保定模拟)设命题p：＜0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
9．写出命题“若a≥0，则方程x2＋x－a＝0有实根”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
10．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
[[能力提升组]
11．(2016·长沙模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1＜a＜2”是“f(1)＜f(3)”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知p：≥1，q：|x－a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，3] B．[2,3] C．(2,3] D．(2,3)
13．设有两个命题p、q.其中p：对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1＞0恒成立；命题q：f(x)＝(4a－3)x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
第3节　基本逻辑联结词与量词
◆考纲·了然于胸◆
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

[要点梳理]
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题真值表：
p
q
p∧q
p∨q
非p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真

2．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．
3．存在量词与存在性命题
(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)存在性命题：含有存在量词的命题．
(3)存在性命题的符号表示：形如“存在集合中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．
(4)全称命题与存在性命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，非p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，非p(x)
[小题查验]
1．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0＜0 D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
2．有下列四个命题，其中真命题是(　　)
A．∀n∈R，n2≥n B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m C．∀n∈R，∃m∈R，m2＜n D．∀n∈R，n2＜n
3．已知命题p∧q为假命题，下列结论正确的是(　　)
A．p∨q为真命题 B．(非p)∧q为真命题
C．p，q有且只有一个假命题 D．非p，非q至少有一个真命题
4．已知命题p：∃x∈R，x2＋≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．
5．已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线：命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．其中正确的是________．

考点一　含有逻辑联结词的命题的真假(重点型考点——师生共研)
【例1】　(1)(2016·吉林模拟)已知命题p：函数y＝2－ax＋1(a＞0且a≠1)恒过(1,2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q　　　 B．非p∧非q C．非p∧q D．p∧非q
(2)(2016·长春市调研)给定命题p：函数y＝sin和函数y＝cos的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ－(k∈Z)时，函数y＝(sin 2x＋cos 2x)取得极小值．下列说法正确的是(　　)
A．p∨q是假命题 B．非p∨q是假命题 C．p∧q是真命题 D．非p∨q是真命题
【名师说“法”】
(1)“p∧q”“p∨q”“非p”形式命题的真假判断步骤
①准确判断简单命题p、q的真假；②判断“p∧q”“p∨q”“非p”命题的真假．
(2)含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
①p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；
②p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；
③非p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
跟踪训练
(1)(2016·商丘二模)已知命题p：函数y＝ax＋1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过(－1,2)点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件；则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．非p∧非q C．非p∧q D．p∧非q
(2)(2016·重庆模拟)已知命题“非p或非q”是假命题，则下列命题：①p或q；②p且q；③非p或q；④非p且q，其中真命题的个数为(　　)A．1　　 B．2 C．3　　 D．4
考点二　含有一个量词的命题的否定(基础型考点——自主练透)
[方法链接]
含有一个量词的命题的否定的重点题型及破解策略：
重点题型
破解策略
全称命题的否定
把全称量词改为存在量词，把后面的结论进行否定
特称命题的否定
把存在量词改为全称量词，把后面的结论进行否定
提醒：没有量词的要结合命题的含义加上量词．

[题组集训]
1．(2016·湖北省八校联考)已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则非p为(　　)
A．所有的指数函数都不是单调函数 B．所有的单调函数都不是指数函数
C．存在一个指数函数，它不是单调函数 D．存在一个单调函数，它不是指数函数
2．(2016·洛阳市统一考试)若命题p：∀x∈，tan x＞sin x，则命题非p为(　　)
A．∃x0∈，tan x0≥sin x0 B．∃x0∈，tan x0＞sin x0
C．∃x0∈，tan x0≤sin x0 D．∃x0∈∪，tan x0＞sin x0
3．(2016·保定二模)已知命题P为：“∃x∈R，|x|≤0”，则非P为：________.
考点三　全称命题、特称命题的真假判断(基础型考点——自主练透)
[方法链接]
全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
提醒：不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
[题组集训]
1．(2016·郑州模拟)下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R,2x－1＞0 C．∃x0∈R，lgx0＜1 D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2
2．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　)
A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m) B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m) C．∀x∈R，f(x)≤f(m) D．∀x∈R，f(x)≥f(m)
3．下列命题中，真命题是(　　)
A．∃x0∈，sin x0＋cos x0≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1
C．∃x0∈R，x＋x0＝－1 D．∀x∈tan x＞sin x
考点四　利用复合命题的真假求参数范围(深化型考点——引申发散)
【例2】　已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
[发散1]　本例条件不变，若p∧q为真，则a的取值范围为________．
[发散2]　在本例条件下，若命题q∨(p∧q)真、非p真，则实数a的取值范围为________．
[发散3]　若本例条件变为：已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．
[类题通法]
根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

易错警示1　对含有量词的命题的否定不当致误
典例　(2015·济南一中高考仿真)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“非p∧q“是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2或a＝1　 B．a≤2或1≤a≤2